非理想情況下磁化球形重質氣體物理爆炸的數值模擬*

林震亞,陳志華,劉 迎,洪延姬

(1.南京理工大學瞬態物理國家重點實驗室,江蘇 南京 210094;2.解放軍裝備學院激光推進及應用國家重點實驗室,北京 101416)

非理想情況下磁化球形重質氣體物理爆炸的數值模擬*

林震亞1,陳志華1,劉 迎1,洪延姬2

(1.南京理工大學瞬態物理國家重點實驗室,江蘇 南京 210094;2.解放軍裝備學院激光推進及應用國家重點實驗室,北京 101416)

采用磁流體力學(magnetohydrodynamics,MHD)方程組對非理想情況下磁場對球形重質氣體物理爆炸的作用過程進行數值模擬，同時，為了保證每一步中磁場散度為零，引入由12-solve CTU算法衍生出的CTU+CT算法。結果清晰地顯示了重質氣體團在磁場影響下的整個爆炸過程。在非理想情況下，爆炸過程中氣體團界面產生液滴狀結構，隨著氣體團被壓縮，不穩定性現象最終得到抑制。從結果中看出，電阻和雙極擴散效應會阻礙磁場對氣體團的作用，同時，雙極擴散效應還會增大磁壓力的作用范圍。

不穩定性；爆炸；MHD；雙極擴散；激波

當2類不同的流體被激波加速，界面上的小擾動會線性增長，接著會形成以“尖釘”和“氣泡”為特征的非線性結構。這類現象被稱為Richtmyer-Meshkov(RM)不穩定性。這種不穩定性先由R.D.Richtmyer[1]在1960年理論預測，10年后，E.E.Meshkov[2]用實驗證明了R.D.Richtmyer的預言。RM不穩定性在慣性約束聚變(inertial confinement fusion, ICF)中扮演著重要的角色，由于界面不穩定性產生的流體混合是ICF中限制能量獲取的重要因素。RM不穩定性同樣存在于其他很多自然以及人造現象中，如超新星爆發、爆燃及爆炸中等。此外，RM不穩定性可以誘導流場的湍流混合[3]。研究不穩定性對理解湍流機理很有幫助。

RM不穩定性和Rayleigh-Taylor(RT)不穩定性關系密切，它們有相似的特征，如“氣泡”和“尖釘”的形成與增長。其中，“氣泡”是輕質流體滲入重質流體的部分，“尖釘”是重質流體滲入輕質流體的部分。此外，由于不同的外部作用力，這2種不穩定性表現出不同的特征。RT不穩定性的驅動機制是均勻重力場對流體的作用，它使界面的小擾動指數增長。相對的，RM不穩定性由激波驅動，無論激波是由重質流體流入輕質流體時的界面碰撞還是輕質流體流入重質流體時的界面碰撞產生[4-6]，它都不穩定。初始界面沉積的渦度控制不穩定性的增長率，接下來，該渦度由追趕上界面的反射波進行修正。

不穩定性的演變與系統的壓縮能力有密切聯系，實際上，固有的壓縮性物理是其中重要的因素[7]。壓縮性現象，如激波的相互作用、激波的折射以及界面上的不穩定性，包括線性及非線性的增長和隨后過渡到湍流的過程，對于理論學家和實驗學家一直是巨大的挑戰[7-8]。C.A.Zoldi[9]利用激波管開展了激波加載SF6氣柱RM界面不穩定性實驗，并采用RAGE程序模擬了SF6氣柱在空氣沖擊波作用下界面的演化、發展過程以及后期空氣和SF6氣體的混合。G.Layes等[10]采用高速攝影方法研究了不同密度的氣泡在激波作用后的變形過程。鄒立勇等[11]利用高速攝影測試技術，對弱激波沖擊下空氣中的SF6氣柱和氣簾界面的演變過程進行了實驗研究，對演變過程中渦的產生和發展進行了初步解釋。

然而，在大多數實際應用中，如ICF或超新星爆發，RM不穩定性呈現彎曲的幾何結構，顯著增加了系統的復雜度。首先，非微擾系統沒有彎曲幾何區域中的解析解，然而該系統在平面幾何區域中存在解析解；再者，由于彎曲的幾何結構，初始擾動即使在RM不穩定性的初始階段也呈現非線性增長；更進一步的，在反射激波的作用下，物質界面產生二次加速，從而使整個系統更復雜。目前，沒有在圓形或球形幾何下RM不穩定性的解析理論，數值模擬結果也很少。Zhang Qiang等[12]開展了關于SF6氣體內爆及爆炸產生的圓形激波的數值模擬研究。同時，他們[13]采用界面追蹤的方法研究了圓形幾何下由強激波驅動的不穩定界面的比例定律并發現了臨界馬赫數。S.Dutta等[14]、J.Glimm等[15]采用界面追蹤法對球面幾何下坐標對稱流動的RM不穩定性進行了數值模擬，證明了關于激波馬赫數對于流體混合統計的標度不變性，如增長率和體積分數。

RM不穩定性在很多領域[16]的應用中，如慣性約束融合[17]、天體物理現象[18]等，流體可能是離子化的，因此會受磁場的影響。R.Samtaney[19]通過數值模擬證明了RM不穩定性的增長會受到磁場的抑制,他研究的問題關于二維理想磁流體力學(magnetohydrodynamics,MHD)中不同密度下由斜平面接觸間斷(contact discontinuity,CD)分離的導電流體中的激波相互作用;結果表明了加入磁場時不穩定性的抑制作用主要由接觸間斷處激波折射過程的變化引起[20]，這些變化阻止了接觸間斷處沉積物的流通。本文中，同樣采用磁場來控制重質氣體爆炸過程中的RM不穩定性；同時，為了保證每一步中磁場散度為零，引入CTU+CT算法對其進行數值求解；由于現實情況下不可能出現電導率為無窮的情形，擬隨后加入電阻率及雙極擴散效應并和之前的結果進行對比，從而分析每個因子對RM不穩定性的影響。

1 方程與數值算法

除滿足流體力學的條件，帶電荷的流體團有形成團塊更有利的條件，主要原因如下：(1)帶電粒子之間的碰撞頻率遠大于中性粒子之間的碰撞頻率，因此碰撞平均自由程較短。(2)當有磁場時，磁場對帶電粒子有側向約束。洛倫茲力使帶電粒子在垂直于磁場方向只能保持在回轉半徑范圍內運動。等離子體通常比中性粒子有更低的密度與更高的溫度，由于爆炸可在短時間內完成,爆炸的速度非常快，本文中只考慮高磁雷諾數的情況，采用MHD方程[21]來研究爆炸中出現的不穩定性:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

式中:ρ為質量密度，v為速度矢量，p為壓力，E為能量，B為磁場強度，μ為磁導率，Π為包含各向同性與各向異性部分的黏性應力張量，分別由系數ν0和ν‖表示。在各向異性的情況下，黏性通量限制在平行于磁場線方向。Q為熱通量，同樣包含各向同性與各向異性的情況，分別由系數κ0和κ‖控制。在各向異性的情況下，熱通量同樣限制在平行于磁場線方向。同時，感應方程包含多種非理想MHD效應，包括歐姆損耗(由電阻率η控制)、霍爾效應(由系數ηH控制)和雙極性擴散(由系數ηAD控制)。

為了求解該方程，采用CTU+CT算法。CTU算法是為了求解守恒雙曲系統的一種不分離的2D有限體積算法，它的3D變形隨后由J.Saltzman[22]提出。不幸的是，傳統的12-solve CTU算法不能成為理想MHD方程的有效算法。這是可以理解的，而一般的理由指出算法的中間步驟使用基于守恒形式方程的維度分解的部分更新，這反過來又忽略了不同方向通量梯度的潛在平衡，即忽略了在MHD方程中始終存在約束·B=0。因此，構建一個Godunov通量中網格單元邊緣的平均電場的算法是必要的，這種算法通常稱為CT算法。該算法可以描述為以Godunov電場為預測值、以CT電場為校正值的預測過程。T.A.Gardiner等[23]提出了一個構建CT算法的簡單框架，并構建和測試了一些CT算法。鑒于εcCT算法顯示的最佳性能[23]，本文中采用εcCT算法，εcCT算法包含逆風偏差，并為網格對齊的平行平面流動降低到正確的Godunov電動勢。

為了使這一點更具體，注意到平行通量梯度條件(x-界面的x-通量梯度等)都包含在使用尺寸分割的PPM(piecewise parabolic method)界面狀態算法中，這也是MHD方程的原始形式。與此同時，橫向通量梯度條件包含在使用保守形式的方程中。由于在尺寸上分解的原始和守恒形式的MHD方程不相稱，這相當于忽略了某些MHD源項導致的一階準確的集成算法。此外，這種算法也顯示了Gedanken實驗中垂直于磁場回路的磁場分量的長期演化。這種相對簡單的3D綜合算法有二階精度，且沒有源項需要包含在垂直于磁場的分量的界面演化中，這也是和12-solve CTU算法相比的優勢所在。同時，該算法對于網格對齊流動的相關對稱問題可以恰好減少到二維CTU或是一維 PPM算法。該算法的缺點是，該算法在Courant-Friedrichs-Lewy(CFL)因數<1/2時才是穩定的。因此，在很多情況下，6-solve和12-solve算法表現出類似的計算成本: 6-solve算法在CFL因數為1/2時的2個時間步幾乎相當于12-solve算法在CFL因數為1時的一個時間步。

2 計算域與初始條件

本文中采用加入等離子體的SF6氣體團，爆炸初始氣體團密度為150 kg/m3，比熱比為1.09，高密度氣體團氣壓為10.13 MPa;外界空氣密度為1.205 kg/m3，比熱比為1.4，外界氣壓為101.3 kPa。同時，初始SF6氣體團的半徑為0.1 m，黏性系數約為1.57×10-5Pa·s，整個計算域為邊長為1.5 m的正方形。這里，采用1 200×1 200的方形網格，并且通過檢驗，滿足網格收斂性條件。由于加入了等離子體，電導率、熱導率以及雙極擴散系數由下面的方法確定。

首先計算電導率，這里，電導率采用玻爾茲曼方程的Spitzer公式計算。它從碰撞積分的玻爾茲曼方程出發，在方程中忽略了短程碰撞的影響，考慮剩余的碰撞項，得到了在弱電場的情況下，離子和電子所組成的等離子體的電導率：

(10)

如果碰撞積分到德拜長度為止，則庫侖對數項為：

(11)

式中：ne為電子數密度。根據式(10)計算，本文中初始電導率約為106S/m。

接下來計算熱導率。當氣體中相當部分的原子被電離，靜電力將對粒子間碰撞起主要作用。若考慮遠程作用，則離子碰撞將不能被視為雙體方式。通過求解玻爾茲曼方程，可推得電離氣體熱導率的一階近似：

(12)

由于準電中性條件，電子和離子在等離子體內獨立運動是不可能的，電子很快離開等離子體某一單元，不可避免地引起電場的出現，這個電場將進一步阻礙它們離開所在的體積單元，并促使離子更快地離去。這種擴散狀態被稱為雙極型狀態。由于電子的擴散系數遠大于離子的擴散系數，因此可以得到[25]：

(13)

3 結果與討論

在數值模擬過程中，為了更清楚地看到不穩定性，在爆炸界面處加入正弦微擾。對于沒有加磁場的情況，當激波從重質氣體傳向輕質氣體時，會產生向內傳播的稀疏波和向外傳播的透射激波，從而引起失穩，加速界面混合。激波作用不同密度氣體界面后，界面演化一般經歷3個階段[26]：(1)振幅線性增長階段；(2)振幅非線性增長階段；(3)湍流混合階段。在膨脹初期，隨機擾動在氣體界面發生，擾動振幅在界面線性增長，隨著膨脹的加劇，振幅經歷非線性增長，氣泡狀和尖釘狀結構出現，隨著膨脹的結束以及球心處低壓區的形成，圓球界面開始向球心回流，尖釘狀結構破碎，不同流體開始形成湍流混合狀態。下面給出外加磁場為0.05 T時，理想磁流體的演化情況，首先是密度分布圖。

這里，加入方向為右上方45°的初始均勻強磁場并忽略電阻。從圖1可以發現，與不加磁場的情況相比[27]，由于磁場的抑制作用，垂直于磁場方向爆炸界面的尖釘狀及氣泡狀結構明顯減少，而平行于磁場方向的爆炸界面并沒有受到明顯影響。從圖1可以看出磁場的作用好比垂直于磁場方向的壓力，并阻礙界面處的輕質流體流入重質流體，反之亦然。為了更清楚地說明這一現象，將動量方程中與磁場相關的項拆開，分為磁壓力(B·B/(2μ))和磁張力·(BB/μ)，它們都是二階張量。由于結果中磁壓力的值比磁張力的值大很多，下面只討論磁壓力的變化情況。

首先，從公式角度進行分析。根據張量公式:

(14)

式中：等號后第1項表示磁場能量在磁感線方向上的變化的投影，κ=b·b=-b×(×b)為磁感線上某點的法向曲率，其大小為，方向(與切線斜交)指向法向曲率中心。

初始時刻，磁場強度處處相等，由磁感應方程(4)，開始時磁場在速度垂直于磁場的分量的梯度較大處變化較快，如垂直于磁場方向的爆炸界面處。因此，隨著時間的推移，爆炸界面處的磁場強度越來越大，并妨礙輕、重質氣體的相互混合。漸漸的，SF6氣體團受到y=-x方向磁壓力的作用被壓縮，空氣和SF6開始混合并沿著初始磁場方向形成尖釘狀和氣泡狀結構，同時，磁壓力作用于尖釘狀結構及氣泡狀結構的橫向部分，從而減緩其進一步演化。由公式(14)曲線坐標系下的形式可以看出，磁壓力只作用于垂直于磁場的方向上，這也可以解釋為什么氣體團最終被壓扁，而平行于初始磁場的方向并沒有受到明顯的影響。

圖1 理想情況下激波結構及流動界面的演化Fig.1 The shock wave structure and the evolution of the interface under the ideal conditions

由于初始磁場沿直線y=x方向，因此沿直線y=-x處受磁場影響最大。圖2顯示了沿著y=-x的壓力分布，與不加磁場的情況相比[26]，發現在界面處出現小的突起，這一現象預示著磁場的作用。同時，與不加磁場的情況相比二次激波衰減速度更快。

圖2 在B0=0.05 T,η=0,ηAD=0的情況下，不同時刻沿著y=-x的壓力分布Fig.2 Pressure distribution along y=-x at different times when B0=0.05 T,η=0,ηAD=0

圖3展示了不同時刻沿著y=-x的磁壓力分布情況。初始時刻，磁壓力很小且對稱，隨著透射激波的傳播，界面在內部高壓的作用下向外傳播，因此，磁場最大值出現在邊界上，同時，可以獲得界面在y=-x方向的移動軌跡。可以看到界面從t=3.6 ms起開始向內移動，二次激波在t=6.9 ms于爆炸中心產生，并與爆炸界面在t=9.6 ms左右相遇。同樣，從圖中可以清楚地看到，二次激波傳播速度非常快，同時在與界面交匯后，產生了巨大的磁壓力。

圖3 在的情況下，不同時刻沿y=-x的磁壓力分布Fig.3 Magnetic pressure distribution along y=-x at different times when B0=0.05 m2·Pa/s

接下來研究加入電阻和雙極擴散效應后的爆炸情況，首先是密度分布圖。從圖4可以看出，與理想情況相比，磁場對氣體團的壓縮作用明顯減弱了，在垂直于初始磁場的方向上出現了RM不穩定性現象。與之前的情況不同的是，此時RM不穩定性并沒有出現尖釘狀結構，不穩定性末端出現了球狀突觸，同時，在磁場的作用下，該滴狀結構沒有破裂，而是逐漸沿著垂直于初始磁場的方向被壓縮，最終，不穩定性也得到了一定程度的控制。

圖4 B0=0.05 T時非理想情況下激波結構及流動界面的演化Fig.4 The shock wave structure and the evolution of the interface under the nonideal conditions when B0=0.05 T

下面是垂直于磁場方向的磁壓力分布情況。從圖5可以看出，磁壓力與之前相比明顯減小，同時，在二次爆炸的過程中，磁壓力的作用范圍增大了，可以理解為電阻和雙極擴散效應阻礙了磁場的作用，其張力減緩了界面突變，從而使邊界處過渡更平緩。二次爆炸后，二次激波與界面交匯時受到磁壓力的作用明顯減小。由此也可以看出，在考慮電阻以及雙極擴散效應時，磁場對不穩定性的抑制作用明顯減弱了。

圖5 在的情況下，不同時刻沿著y=-x的磁壓力分布情況Fig.5 Magnetic pressure distribution along y=-x at different times

為了更清楚地看到2種作用分別對磁壓力的影響，下面分別研究只考慮電阻和只考慮雙極擴散效應的情況。由于除壓縮程度不同外整個流場結構類似，因此接下來重點討論垂直于初始磁場方向的磁壓力分布圖像。首先是加入電阻的情形，結果如圖6所示。從圖6可以看出，在二次爆炸前和二次爆炸后，界面處的磁壓力減小了一半以上。因此，可以認為電阻對磁場也是起阻礙作用的。在二次爆炸前(圖6(a))，電阻不僅顯著減小了磁壓力，同時延緩了磁壓力增大的速度以及界面向內移動的時間；在二次爆炸時(圖6(b))，由于之前磁壓力的減小產生的不穩定性現象，磁壓力增大，外側界面向內移動速度減緩；在二次爆炸后(圖6(c))，磁壓力再次得到了抑制，尤其是在激波與界面交匯處，并在距離爆炸中心0.5 m附近取得最大值。從圖中也可以看出，電阻并沒有增大磁壓力的作用區域，僅從數值上減小了磁場對流體的作用強度。

圖6 在B0=0.05 T,η=10-6 Ω·m,ηAD=0的情況下，不同時刻沿著y=-x的磁壓力分布Fig.6 Magnetic pressure distribution along y=-x at different times when B0=0.05 T,η=10-6 Ω·m,ηAD=0

下面是忽略電阻只考慮雙極擴散效應的情況。從圖7可以看出，整體趨勢和同時考慮電阻和雙極擴散效應的情況類似，只是磁壓力的大小比考慮電阻的情形要大。在二次爆炸前(圖7(a))，磁壓力的值在t=1.2 ms后迅速減小，磁壓力的作用區域在界面開始向內移動時逐漸增大(t=3.6 ms后)；在二次爆炸時(圖7(b))，磁壓力進一步減小，磁壓力作用區域繼續增大；在二次爆炸后(圖7(c))，磁壓力同樣在距離爆炸中心0.5 m附近取得最大值，由于忽略了電阻作用，該值和同時考慮電阻和雙極擴散效應的結果相比有所增大，與只考慮電阻的情形相比還是大大減小了。綜上，可以判斷雙極擴散效應不僅可以顯著減小磁壓力，還能加大磁壓力的作用區域。

圖7 在的情況下，不同時刻沿著y=-x的磁壓力分布情況Fig.7 Magnetic pressure distribution along y=-x at different times when B0=0.05 m2·Pa/s

4 結 論

基于CTU+CT算法，對非理想磁場環境下球形重質氣體的物理爆炸進行數值模擬，并與不考慮電阻以及雙極擴散效應的情況進行對比,得到以下結論：

(1)RM不穩定性會在重質氣體爆炸的過程中產生，并會在剪切速度的影響下產生尖釘狀及氣泡狀結構。同時，二次激波加速流場的湍流過度。在磁場作用下，RM 不穩定性得到了有效的控制，尤其是沿著垂直于初始磁場的方向，整個高密度氣體團會隨著時間的推移逐漸被壓縮。

(2)在考慮電阻和雙極擴散效應的情況下，磁場對氣體團的作用明顯減弱，不穩定性會逐漸產生。在爆炸后期，由于速度梯度的增加引起的界面磁場強度增大，不穩定性的發展再次受到磁壓力控制，尖釘狀與氣泡狀結構沒有出現，取而代之的是液滴狀結構。最終，液滴狀結構在磁場的作用下沿垂直于初始磁場的方向被壓縮，不穩定性得到控制。

(3)在只考慮電阻的情況下，磁壓力與理想情況相比有所減小。同時，它還延緩了磁壓力增大的速度以及界面向內移動的時間。在這種情況下，氣體團爆炸的整個過程與理想情況類似，與之前不同的是磁場對不穩定性的作用相對減弱，氣體團被壓縮的過程變慢。

(4)在只考慮雙極擴散效應的情況下，不僅磁壓力的大小顯著減弱，磁壓力的作用區域還明顯增大了。從中可以看出，雙極擴散效應有明顯的耗散作用，并且能減緩氣體爆炸過程中的界面突變。在這種情況下，二次激波對氣體團的作用大大減弱，氣體團產生液滴狀不穩定性結構。最終，隨著液滴狀結構的壓縮，不穩定性得到控制。

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(責任編輯 張凌云)

Influence of nonideal magnetic field on physical explosion of spherical heavy gas

Lin Zhenya1, Chen Zhihua1, Liu Ying1, Hong Yanji2

(1.StateKeyLaboratoryofTransientPhysics,NanjingUniversityofScienceandTechnology,Nanjing210094,Jiangsu,China;2.StateKeyLaboratoryofLaserPropulsionandApplication,AcademyofEquipment,Beijing101416,China)

Magnetohydrodynamics equations are adopted to simulate the process of spherical heavy gas explosion. Meanwhile, in order to ensure the divergence of magnetic field is zero in each step, we use the CTU+CT algorithm which is derived by 12-solve CTU algorithm. The results clearly show the process of spherical heavy gas physical explosion with the influence of magnetic field. In the non-ideal case, the droplet-like structure appears on the interface of the gas cluster. With the gas cluster being compressed, the instabilities are being restrained in the end. As can be seen from the results, resistance and ambipolar diffusion effect will hinder the influence of magnetic field on gas cluster, at the same time, the ambipolar diffusion effect will increase the scope of the magnetic pressure.

instability; explosion; magnetohydrodynamics; ambipolar diffusion; shock wave

10.11883/1001-1455(2017)03-0422-09

2015-10-26；

2016-01-05

國家自然科學基金項目(11272156)

林震亞(1990— )，男，博士; 通信作者: 陳志華,chenzh@mail.njust.edu.cn。

O381 國標學科代碼： 13035

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