垂直入射彈性波在壓電體單側接觸界面上的傳播特性*

路桂華,趙 曼，岳 強

(1.山東農業大學水利土木工程學院,山東 泰安 271018;2.石家莊鐵道大學土木工程學院,河北 石家莊 050043)

垂直入射彈性波在壓電體單側接觸界面上的傳播特性*

路桂華1,趙 曼2，岳 強1

(1.山東農業大學水利土木工程學院,山東 泰安 271018;2.石家莊鐵道大學土木工程學院,河北 石家莊 050043)

彈性波與壓電材料接觸界面的相互作用問題是工程應用中常見而復雜的問題，入射波足夠強會引起界面出現滑移和分離，但滑移和分離的邊界未知，邊界條件具有非線性特性。通過Fourier分析，將混合邊值問題的求解轉化為非線性代數方程，利用軟件通過迭代修正的方法進行了求解；給出3種狀態邊界的求解，分析入射波強度、外加應力及電場對界面狀態的影響，并對高頻諧波的特性進行分析，通過實例對理論推導進行驗證，結果顯示：入射波強度、外加荷載和電場的大小及摩擦因數均會影響到界面，通過改變這些條件可以控制界面狀態，另外檢測高頻諧波的信號也可以反映界面狀態。

壓電材料;摩擦接觸;彈性波; 高頻諧波;分離區;滑移區

界面廣泛存在于自然介質及工程結構中，彈性波與界面相互作用一方面會引起界面的失穩或破壞,另一方面界面會改變波的傳播方向使波發生反射和折射, 或者阻礙波的傳播形成波的衰減和波形改變。關于波與界面相互作用問題的研究多集中于幾種界面模型：完好黏結界面模型、弱連接界面及界面層模型和接觸界面模型。接觸界面只能承受壓力而不能承受拉力, 因而是一種單側約束的界面模型。K.Sazawa等[1]最早將界面的摩擦定律寫成線性形式，當不考慮界面相對滑移速度時得到彈簧滑移模型，盧文波[2]利用該模型研究了應力波與巖石中可滑移解理面的相互作用問題。但是大家知道庫倫摩擦不是線性而是非線性模型，特別是與速度無關的干摩擦問題線性模型更是不適用的。Y.Chevalier等[3]假定整個界面在不分離狀態下處于滑移狀態，建立了滑移狀態模型。李夕兵[4]利用該模型分析了應力波在巖體軟弱結構面上的傳播問題。但是一般情況下入射波是脈沖波，界面應力非均勻，界面會發生局部分離和滑移，因此上述模型也不適用。對黏著、滑移及分離區域應該分別建立邊界條件，但黏著、滑移和分離狀態的邊界未知，邊界具有很強的非線性，因此增加了問題的難度。考慮單一型波(P波或SV波)入射，M.Comniou等[5-7]較早采用該模型研究了波與接觸界面的相互作用問題，他們的研究大多針對無限大介質和各向同性介質。Y.S.Wang等[8-11]、于桂蘭等[12]、李楠等[13]將M.Comniou等的方法推廣應用到覆層和夾層中的傳播問題中，后來又進一步研究了摩擦接觸界面上波的再極化問題及各向異性介質摩擦接觸界面與波的相互作用問題。綜上所述諸多學者的研究主要針對普通純彈性材料。壓電介質與純彈性介質相比，由于力電耦合特性的存在，使類似問題的求解增加了難度。 白玉柱等[14-15]對一維彈性波在壓電材料光滑接觸界面中的傳播問題進行了研究，而對摩擦接觸界面至今鮮有討論。對于壓電材料彈性波斜入射(二維)摩擦接觸界面問題[16]由于總是伴隨有非均勻平面波的出現，問題的解由奇異積分方程控制，這與一維波問題或純彈性介質的情況有很大的區別。路桂華等[17]曾對一維P波入射問題進行過簡單介紹，沒做深入研究和詳細分析。

本文中針對一般垂直入射彈性波與壓電材料摩擦接觸界面相互作用問題進行了較深入討論，通過Fourier分析的方法，將問題的求解轉化為非線性代數方程的求解。通過迭代和修正，確定界面上分離、滑移和黏著3種區域的分布范圍，并討論隨外加力/電荷載的變化規律。同時計算了面力、相對滑移速度等參量以及由于邊界非線性而引起的反射和透射的高頻諧波幅值。

1 問題的描述

圖1 一維彈性波透過壓電介質摩擦接觸界面的傳播Fig.1 Propagation of one-dimensional elastic wave through a frictional contact interface between two piezoelectric media

如圖1所示,2個相接觸的半無限大各向同性壓電彈性體，接觸面遵循庫侖摩擦定律，忽略運動鎖定效應(即：動、靜摩擦因數fk和fs相同)，設摩擦因數fk=fs=f，遠處受壓應力p、剪應力和電場作用。有一沿z軸的平面波垂直于界面入射(n=0表示)，當入射波強度足夠大時界面會交替出現黏著、滑移、分離這3種不同狀態，但狀態邊界未知，這導致問題的邊界非線性，使得系統對單一入射波的響應將包括所有的高頻成分，因此會產生高頻諧波。圖中n=1,2和n=3,4分別代表反射波和透射波，cij、eij、εij、ρ分別為下半平面的彈性常數、壓電常數、介電常數及密度，分別為上半平面相應的材料常數。

假定為平面應變問題，采用圖1所示的坐標系，其z軸為壓電介質的極軸。對于橫觀各向同性壓電介質一維問題，可取入射波為任一類型的平面簡諧波，形式如下：

(1)

式中：u、w、φ分別為x、z方向的位移分量和電勢標量，A為振幅，(d1,d2,d3)為位移極化矢量，k0為波數。不失一般性取A(0)為實數。反射波及折射波的形式可記為：

(2)

接觸界面上z=0，ik0(p(n)z-c0t)=-ik0c0t，令η=-k0c0t，設界面面力分量為Sx(η)、Sz(η)，電位移分量為Dz(η)，界面的相對滑移速度為Vx(η)，界面張開速度為Vz(η)，界面張開位移為g(η)。

接觸界面上面力和電位移連續，除此之外還應建立如下邊界條件[18]：

(1)分離狀態：

(3)

(2)滑移狀態：

(4)

(5)

(3)黏著狀態：

(6)

2 問題的求解

(7)

考慮到邊界非線性將引起高頻諧波，修正解可寫成包含所有頻率的傅立葉級數的形式：

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

下面分別針對分離、滑移、黏著這3種不同的狀態，討論問題的求解。

2.1 分離狀態的解

根據邊界條件式(3)結合式(10)～(13)可得：

(14)

(15)

若設η∈(δ1,δ2)為分離狀態，則g(δ1)=g(δ2)=0，因此：

(16)

(17)

δ1可由式(16)求解獲得，且δ1<π/2。

圖2 界面張開位移與參數關系Fig.2 Relation between the interface opening displacement and the parameter

2.2 滑移狀態的解

式(10)～(13)結合邊界條件式(4)可推出：

(18)

進行亞組判別的多分類Logistic回歸分析結果見表4。可見影響亞組判別的變量有年齡、BMI、引產前宮頸評分、胎膜早破、延期妊娠和妊娠高血糖。模型的總判對率為84.09%（（717+198+803）/2043），根據該模型可對孕婦引產時選擇藥物提供參考。

(19)

圖3 雙側解分布圖Fig.3 Distribution of bilateral solution

圖4 各個狀態區間的可能分布Fig.4 Possible distributions of each state interval

2.3 黏著狀態的解及高頻諧波解

式(10)～(13)結合邊界條件式(6)可推出得界面面力：

(20)

由邊界非線性引起的反射及透射高頻諧波幅值分量可由式(9)～(13)推出，高頻諧波的幅值(其中一次諧波幅值不含雙側解的貢獻)：

(21)

3 算例及分析

圖5 P波入射，分離狀態分布區間與的變化關系Fig.5 Distribution of separation zones for different when the incident wave is P wave

圖6 P波入射，分離、滑移和黏著狀態分布區間隨的變化關系Fig.6 Distribution of separation, slip, stick state zones for different when the incident wave is P wave

圖7 反射波幅值隨的變化關系Fig.7 Distribution of the reflection wave’s amplitude for different

4 結 論

(1)彈性波垂直摩擦接觸界面入射時會引起界面發生分離或滑移。分離區和滑移區的大小和分布與外加荷載、入射波強度及摩擦因數等有關。

(2)外加壓應力Pz和剪應力Tx均為等效外加應力，包括電場分量。因此可知外加電場通過改變外加機械荷載的作用效果而影響界面的狀態。不同方向的外加電場作用時會起到促使或抵制界面分離和滑移的作用。

(3)分離和滑移狀態產生時確實會導致高頻諧波產生。P波入射在摩擦接觸界面上產生反射和透射高頻P波，若等效的外加剪力為零，則不會產生高頻SV波，即不會發生波形畸變。同樣SV波遇到界面后也不會發生波形畸變，即不會產生反射和透射P波。

[1] Sezawa K, Kanai K. A fault surface or a block absorbs seismic wave energy[J]. Bulletin of the Earthquake Research Institute Imperial University of Tokyo, 1940(18):465-482.

[2] 盧文波.應力波與可滑移巖石界面的相互作用研究[J].巖土力學,1996,17(3):70-75. Lu Wenbo. A sdudy on interaction between stress wave and slipping rock interface[J]. Rock and Soil Meckanics, 1996,17(3):70-75.

[3] Chevalier Y, Louzar M, Maugin G A. Surface-wave characterization of the interface between two anisotropic media[J]. Journal of the Acoustical Society of America, 1991,90(6):3218-3227.

[4] 李夕兵.論巖體軟弱結構面對應力波的影響[J].爆炸與沖擊,1993,13(4):334-342. Li Xibing. Influence of the structural weakness planes in rock mass on the propagation of stress waves[J]. Explosion and Shock Waves, 1993,13(4):334-342.

[5] Comniou M, Dundurs J, Chez E L. Total reflection of SH waves in presence of slip and friction[J]. Journal of the Acoustical Society of America, 1979,66(3):789-793.

[6] Comninou M, Dundurs J. Interaction of elastic waves with a unilateral interface[J]. Proceedings of the Royal Society A, 1979,368(1732):141-154.

[7] Comninou M, Dundurs J. Elastic interface waves and sliding between two solids[J]. Journal of Applied Mechanics, 1978,45(2):325-330.

[8] Wang Y S, Yu G L, Gai B Z. Slip with friction between a layer and a substrate caused by SH pulse[J]. Mechanics Research Communications, 1997,64(4):85-91.

[9] Wang Y S, Yu G L, Gai B Z. Propagation of SH waves in a layered half-space with a frictional contact interface[J]. Bulletin of the Seismological Society of America, 1998,88(5):1300-1310.

[10] Wang Y S, Yu G L. Re-polarization of elastic waves at a frictional contact interface of a P or SV wave[J]. International Journal of Solids and Structures, 1999,36(30):4563-4586.

[11] Wang Y S, Yu G L, Dai H H. Transmission of elastic waves through a frictional contact interface between two anisotropic dissimilar media[J]. Wave Motion, 2003,37(37):137-156.

[12] 于桂蘭,汪越勝,李楠.一般各向異性單側接觸界面上波的反射和折射[J].力學學報,2003,35(5):561-568. Yu Guilan, Wang Yuesheng, Li Nan. Reflection and refraction of elastic waves at a unilateral contact interface between two generally anisotropic media[J]. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2003,35(5):561-568.

[13] 李楠,汪越勝,于桂蘭.基于表面阻抗張量的界面滑移波動失穩分析[J].應用數學和力學,2004,25(9):935-942. Li Nan, Wang Yuesheng, Yu Guilan. Analysis of dynamic instability of interfacial slip waves based on the surface impedance tensor[J]. Applied Mathematics and Mechanics, 2004,25(9):935-942.

[14] 白玉柱,于桂蘭,許麗敏.壓電體光滑接觸界面上滑移界面波理論分析[J].北京交通大學學報,2007,31(4):10-13. Bai Yuzhu, Yu Guilan, Xu Limin.Theoretical analysis of slip waves propagating along the frictionless contact interface of piezoelectric solids[J]. Journal of Beijing Jiaotong University, 2007,31(4):10-13.

[15] 白玉柱,汪越勝,于桂蘭.壓電體光滑接觸界面有局部分離時滑移脈沖波傳播[J].應用數學與力學,2007,28(9):1095-1101. Bai Yuzhu, Wang Yuesheng, Yu Guilan .Propagation of slip pulse along a frictionless contact interface with local separation between two piezoelectric solids[J]. Applied Mathematics and Mechanics, 2007,28(9):1095-1101.

[16] 路桂華,汪越勝,于桂蘭.彈性波在壓電介質摩擦接觸界面上的反射與投射[J].應用基礎與工程科學學報,2006,14(1):77-83. Lu Guihua, Wang Yuesheng, Yu Guilan. Reflection and transmission of elastic waves at a fricton contact interface between two piezoelectric media[J]. Journal of Basic Science and Engineering, 2006,14(1):77-83.

[17] 路桂華,于桂蘭,汪越勝.彈性波投過壓電介質接觸界面的傳播特性[J].科學技術與工程,2005,3(3):174-176. Lu Guihua, Yu Guilan, Wang Yuesheng. Behavior of elastic waves propagation through a contact interface between two piezoelectricity solids[J]. Science Technology and Engineering, 2005,3(3):174-176.

[18] 汪越勝,于桂蘭,章子茂.復雜界面(界面層)條件下的彈性波傳播問題研究綜述[J].力學進展,2000,30(3):378-390. Wang Yuesheng, Yu Guilan, Zhang Zimao. Review on elastic wave propagation under complex interface (interface layer) conditions[J]. Advances in Mechanics, 2000,30(3):378-390.

(責任編輯 王易難)

Behavior of one-dimensional elastic waves at a unilateral contact interface between two piezoelectric solids

Lu Guihua1, Zhao Man2, Yue Qiang1

(1.CollegeofWaterConservancyandCivilEnginerring,ShandongAgricultureUniversity,Taian271018,Shandong,China;2.SchoolofCivilEnginerring,ShijiazhuangTiedaoUniversity,Shijiazhuang050043,Hebei,China)

The behavior of one-dimensional elastic waves at a unilateral frictional contact piezoelectric material interface was studied theoretically in this thesis. When the incident wave is strong enough, the contact interface will separate or slip in local interface areas and non-linearity (boundary non-linearity) will pose as a serious problem, and high harmonics will be generated due to this non-linearity, thus not only causing difficulties in mathematics but giving rise to some new phenomena in physics. In this paper one-dimensional problems were discussed in details using the Fourier analysis, and the mix-boundary value problems with unknown regions were converted to a set of non-linear algebraic equations for a one-dimensional case. An iterative method was developed to determine the extent and location of the separation, slip and stick regions which vary with the external mechanical-electrical loads. The interface tractions, relative slip velocities and the amplitudes of the reflected and refracted high harmonics due to the boundary non-linearity were calculated. Their variation with the applied mechanical-electrical loads was discussed. It was found that, due to the mechanical-electrical coupling, the non-linearity of mechanical parameters would induce the non-linearity of electrical parameters, and the applied electrical fields would influence the interface states by changing the mechanical loads. The present research may enrich the wave theory of piezoelectricity and facilitate its practical application. For instance, we could evaluate the contact state and modulate an interface by detecting the mechanical or electrical information carried by high harmonics.

piezoelectric material; frictional contact; elastic waves; high frequency harmonics; separation zones; slip zones

10.11883/1001-1455(2017)03-0520-08

2015-09-10；

2016-01-18

國家科技支撐計劃項目(2015BAB07B05);山東省交通科技項目(2013A09-04); 山東省省級水利科研及技術推廣項目(SDSLKY201305)

路桂華(1970— )，女，碩士，講師; 通信作者： 岳 強，yueqiang406@163.com。

O343 國標學科代碼：1301510

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