多元積分學教學演示系統的設計和實現

倪中宇

（銅陵學院，安徽 銅陵 244000）

多元積分學教學演示系統的設計和實現

倪中宇

（銅陵學院，安徽 銅陵 244000）

計算機多媒體教學演示系統在我國各高校的課堂教育中扮演著重要的角色，通過將書本的理論知識轉變為圖文并茂的可見形式，加入聲音與動畫，充分展示教學內容的變化和發展.多元積分的學習不僅使學生掌握一門新的技能工具，更重要的是培養了學生科學的思維方式，促進學生辯證的看待問題.多元積分在教學內容上分為概念和計算，由于計算過程的復雜以及多元積分中各個概念的迥然不同，因此傳統的黑板教學以及圖書等并不能較為高效的讓學生快速理解并掌握其相關概念和運用.隨著CAI技術的日益進步，運用計算機和互聯網的發展來創新教學形式，輔助教學以提高教學質量的手段已經成為了教學改革的趨勢和發展.

多元積分；教學演示；Mathcad

微積分的產生標志著近代數學的開始，高等數學中，研究函數的微分和積分以及其相關的概念和應用數學分支成為了數學的一個基礎學科，其中多元積分是微積分學科的重要組成部分之一，是一元函數分微分學和積分學的總稱，多元積分包含著以上的學科概念，更重要的是涉及了一系列的算法.通過以一元微積分為基礎，闡述積分中的相關概念和計算規律，同時分析由于變量個數的增多而帶來的特點.因此，不論是在高校的課堂教學中還是日常對微積分的實踐運用中，多元積分都具有重要的理論價值和實用價值.

1 多元積分

多元微積分學主要是在微分和積分中起到運算和應用的作用，為了能夠更恰當的描述和分析物理現象以及數學規律，產生了一系列復雜的算法.其中牛頓提出的偏導數和重積分，以及歐拉提出的二重積分和累次積分與換元計算，以及拉格朗日的三重積分都是多元積分的重要組成部分，而多元積分的產生也并不是以實現數學計算為最初目標，而是將其付諸于物理的力學研究和計算中，之后逐漸納入數學計算范疇.

多元函數積分是高校微積分教育教學過程中的重點和難點，主要涉及了二重積分、三重積分、對弧長的平面曲線積分、對坐標的平面曲線積分、對弧長的空間曲線積分、對坐標的空間曲線積分、對面積的空間曲線積分、對坐標的空間曲線積分、對面積的曲面積分、對坐標的曲面積分等八種形式.從其形式上來看，多元積分的教學勢必要明確這一系列設計了面積、空間、曲面以及坐標等復雜概念的明確，但通過傳統的黑板教學和教師講解無法直觀的體現這些概念，造成學生在多元積分的學習過程中因為信息的不全面或出現誤差而降低學習效果.

其次，多元積分可以分為對測度的積分和對坐標的積分兩大類.第1類積分包括了一重積分、二重積分、三重積分、對弧長的平面曲線積分、對弧長的空間曲面積分以及對面積的曲面積分，在公式的表達上可以體現為：

第1類積分具有相同的符號并有統一的記號，而第2類積分則包括定積分、對坐標的平面曲線積分、對坐標的空間曲線積分和對坐標的曲面積分，可以表示為：

2 傳統課堂教學的難點

不論是第1類積分還是第2類積分，在方程公式上都十分復雜，而除了學習這些基本的多元積分的概念和分類等理論知識外，最重要的是通過教學使學生充分掌握多元積分對生活和實踐的重要作用，使學生能夠充分的掌握微積分的計算與演變.但不難看出，微積分在公式表現和演變計算過程上具有復雜性和精確性，通過傳統的黑板教學和教師講授很難快速高效的完成一系列公式的演變計算過程，同時十分容易出現計算錯誤而影響多元積分的應用.因此多元積分學的教學過程必須采用更加直觀且快捷的方式和手段以實現課堂內容的充分展示.

我國傳統的班級在進行多元積分教學的過程中，展現出了諸多弊端.首先，在教育教學手段上存在著明顯的局限，對多元積分這類難度較大的教學內容，傳統的班級教學往往只能通過老師對概念的講解和利用板書進行內容反映，既不直觀，又無法將內容完整的、高效的展現.其次，傳統的教學模式無法改變學生被動學習多元積分的現狀，內容難度較大的教學內容很容易造成學生因為難度高學習困難而讓其學習，學生完全處于被動學習的狀態，產于度有限，無法充分調動學生的思維能力和參與能力，造成學習效果的減弱.再者，傳統的教學模式效率低下，多元積分涉及十分廣闊的概念、定義、定理和公示、計算，使用板書演示公示計算或者作圖往往會占用大部分的課堂時間，而我國高校的整體教學課程安排也并不允許教師提早在教師中進行作圖和公式的準備，使課堂的時間容量大大降低，無法在有限的課時內對教學內容進行深入的講解.

3 多元積分教學的演示系統設計

多元積分的教學演示系統設計主要是通過計算機多媒體教學演示系統在多元積分學的應用中實現理論知識和復雜公式的直觀體現，通過計算機多媒體多變的展現形式和直觀的圖文聲畫，極大程度的提高多元積分的表現力，同時吸引了學生的學習興趣提高，在知識獲取的能力和知識獲取的途徑上都有了較好的提升.

伴隨著互聯網和電子科技的發展，多元積分教學課堂中能夠使用到的多媒體教學和演示系統越來越多樣，通過程序設計語言，設計開發計算機輔助教學課件，即CAI課件，隨著CAI技術的日益普及和成熟，利用計算機輔助多元積分教學的模式已經成為高校教師普遍接受并運用的手段，也成為教育教學改革的整體趨勢.通過計算機演示系統的運用，改進傳統教學模式的局限性，并能夠通過程序設計保證了教學內容的準確性.

常用的多元積分教學演示系統主要是借助Delphi和 MathCad兩個系統的相互結合，通過課堂的軟件使用對多元積分從概念、計算到演變和作圖的展示，能夠更加直觀的反映多元積分的特點.在演示軟件的邏輯結構設計上，設計了積分區域分割的動態演示和微元法積分過程的動態演示，MathCad演示系統從積分的概念出發，對坐標系和積分的計算做出了邏輯化的建構，邏輯結構如下圖：

MathCad教學軟件具有極為豐富的科學計算函數，涉及矩陣分解和求特征值、曲線擬合和微分方程數值解等，數據類型十分豐富且運算符號完整，能夠滿足微積分、矩陣運算等多個數學分學科的計算和演示.其中二維和三維圖形動畫功能能夠更加直觀的、形象化的展現多元積分在曲面積分和空間坐標上的展示.

運用MathCad使程序和運行結果出現在同一個畫面，在多元積分上課前，教師可以自己提前準備公示和圖表的展示，在教學過程中，程序和運行結果是活動的，能夠及時發現錯誤并當場改變，尤其是在多元積分的演變和計算中，通過Mathcad的展示能夠靈活的改變程序中的公式、符號，然后快速的的輸出與科學計算相應的公式和圖標，為學生提供了實驗和探索的重要工具.

以多元積分中的雙曲拋物面為例，Mathcad通過編寫函數M3D（F,X1，X2，△X，Y1，Y2，△Y）生成數據矩陣，根據矩陣特點獲得雙曲拋物面，并直觀的表達.同時將函數中的自變量X,Y的取值作為函數的輸入參數范圍，通過后臺計算輸出運算的結果，并將得到的運算結果保存在矩陣中，進一步得到雙曲拋物面.通過Mathcad的計算和作圖結果可以轉化為Contourplot模式、3D Scatterplot、3D Barplot等形式，并進一步根據課堂內容要求進行應用.最終運用到實踐教學過程中.這一過程很好的利用了軟件的程序靈活性，利用圖形的旋轉，從不同的角度展示雙曲拋物面的馬鞍面彩色圖形，（如下圖所示）將多元積分的抽象二次圖形轉變為空間內的三維圖形，提高學生的積極性.

以Mathcad為代表的CAI教學演示系統主要是借助互聯網和計算機算法輔助，實現教學活動，尤其是數學公式的計算，通過教學演示系統在數據和演變過程中的直觀體現，能夠提供學生討論教學內容，并積極參與到教學進程中，實現數學思維訓練的機會.CAI相比于傳統的課堂教學和口語化傳授方式，能夠更加提高學生對于學習的自主性，也能夠使學生借助電腦和軟件自行了解數學公式的演變過程，提供了一個良好的個性化學習環境.CAI教學演示系統的運用具有交互性、多樣性、個別性、靈活性等特點，在一定程度上克服了口口相傳以及板書形式的傳統教學方式所產生的方法單一、內容片面的缺點.同時方便快捷且準確度高的特點促使系統的使用者能夠節省學習時間，提高課堂教學質量，提升了教學的總體效率，促進了教學目標的優化和教學過程的科學化.

4 多元積分學的教學演示系統實現的重要意義

4.1 計算機輔助演示系統運用可以激發學生的課堂學習興趣

多元積分的教學本身具有較高的教學難度，且數字的計算和公式的使用過程也較為枯燥，一旦教學模式上淪入枯燥和呆板，容易使學生失去學習的熱情和欲望.但以Mathcad為主這一類CAI演示系統的運用不僅方便了教師的課堂展示，而且能夠讓學生自己動手進行多元積分公式的演練和程序設計，自己通過實踐在CAI程序中獲得多元積分的相關結果，在數學教學，尤其是難點教學的過程中，必須要保證學生有較為積極的學習興趣，因此創造良好的學習環境，使用靈活的教學形式和教學方法，為學生的持續學習和效率提升創造良好的分為，才能夠最終激發學生自我學習和主動學習的動力.教學演示系統的運用從聽、學、練的三個層面都提高了學生的學習興趣.

4.2 運用多媒體計算機教學有利于培養學生的觀察力和創新能力

多元積分涉及眾多從平面到立體、從二維到三維的數據模型和圖形公式，通過教學演示系統將傳統教學手段無法展現的多樣性通過直觀的圖畫或動畫展現出來，尤其是數學教學中的平面和立體的區別，外部形態和內部構造的區別.同時，計算機的算法更加具有穩定性和可控性，教師在運用多媒體演示系統進行運算時，能夠避免課堂環境影響造成的計算錯誤，提高計算和傳授的精準度；學生也可以借助系統分步驟演算的過程，準確把握關鍵信息，并進一步掌握基本的原理和方法.因此，演示系統的使用一方面有利于學生對多元積分概念和運算的細節性能力培養，同時還能夠創造性的為學生構建真實的立體的計算環境，實現學生學習積極性的提高以及探索問題的能力的提高.通過課堂演示的運用，老師積極引導學生進行推算和討論，也能夠培養學生發現問題并解決問題的能力.

教學演示系統對多元積分的推演和教學能夠帶動學生積極參與到課堂學習中，以形式新穎的方式最大程度的提高學生對枯燥的數字計算和公示推演的積極性，提高學生學習過程中的成就感，并培養一系列的相應能力和素質.

4.3 計算機輔助教學可以幫助通用技術教師把握課堂效率

傳統的多元積分教學課堂經常出現為了完整的表達公式和圖形，教師花費半節課甚至更多的時間為同學們在黑板上進行板書和作圖的現象，大大的占用了教學課時，擠壓了教學內容的科學安排，在重點環節的講解上往往會因為時間不夠而放棄，但是我們借助計算機輔助教學，由教師通過多媒體和演示系統提早準備演示內容，可以有效的節省在課堂上板書和作圖的時間，大大提高數學教學課堂的效率，借用計算機教室，老師帶動學生一同對多元積分的每一環節進行動手探討，通過網絡和程序設計開拓獨立思考的能力，在自主的探索和發現中，同學們也能更好的掌握多元積分的難點和重點，對有問題的地方做到及時發現，及時補充和學習.這樣的教學方式，不僅提高了單一課堂的教學效率和質量，同時也為學校節省了創辦通用技術教師的成本和資源.

4.4 教學演示系統對學生的學習能力的提升

隨著素質教育的深入，社會對人才的需求不再是簡單的掌握知識，而是需要全面的綜合性人才，既有專業的知識理論素養，又有較快的理解能力和較強的學習能力.而不論是從學校教育功能的目標出發，還是為了適應社會的需求和對人才素質的要求而言，當前的教育過程中都必須加強對學生學習能力和綜合素質的培養，尤其是互聯網能力和計算機技術的掌握.在運用教學演示系統的同時，不僅能夠完成知識的傳遞和學習的過程，保證學生專業能力的提供，最重要的是，通過互聯網教育和計算機教學的運用，教育資源能夠得到有效的整合以及合理的運用，實現傳統教學目標和現代教學手段的額有機統一，在教育的意識和觀念上，這是一種極大程度的進步.

為了適應社會對綜合性人才的培養，為了促進教育現代化的發展以及信息化的要求，多媒體計算機在教育課堂上的使用是不可回避和忽視的社會趨勢，教師應該努力提高自身的現代化教學手段學習能力，充分發揮計算機技術和互聯網交匯的重要作用，通過對演示系統的使用提高教學質量，提高學生培養的效率和質量.才能使多元積分的教學，使整個數學課堂的教學更加科學化和高效化.

〔1〕劉昕輝，李曉平.演示型CAI課件在高等數學教學中的應用[J].遼寧師專學報(自然科學版)，2006,8(1):44-45.

〔2〕張立杰，成戈.多元積分學教學演示系統的設計與實現[J].新疆工學院學報,2000(2):150-152.

〔3〕周靄如，官士鴻.多媒體教學演示系統制作平臺的設計與實現[J].華南理工大學學報（自然科學版）,1998(5):12-16.

〔4〕王華峰，徐冬前.多媒體遠程教學平臺系統課件演示模塊的設計與實現[J].全國計算機新科技與計算機繼續教育學術會議,2003.

G434

A

1673-260X（2017）05-0003-03

2016-12-22