探索在高中數學合作學習活動中教師的地位和作用*
——以“求橢圓的離心率”為例

筅貴州省銅仁市第二中學覃義超

探索在高中數學合作學習活動中教師的地位和作用*
——以“求橢圓的離心率”為例

筅貴州省銅仁市第二中學覃義超

為了省級重點課題“高中數學合作學習經驗及其獲得能力培養的研究”（2016A028）的研究，在百年名校銅仁市第一中學舉行“銅仁市2017年高三復習優質課評選活動”中，筆者上了一節示范課——求橢圓的離心率.課堂教學模式為高考復習課中“合作學習課堂教學模式”的探討.

一、教師應是合作學習的寬松情境、良好氛圍的營造者

面對陌生的學生，首先調節學習的氛圍、調動合作學習情境.上課之前，筆者先自我介紹，還特別強調自己的姓讀qín不讀tán.全班分成六個小組，并討論確定一個響亮的小組名稱：第一小組挑戰者；第二小組探索者；第三小組航空母艦；第四小組探月號；第五小組愛國者；第六小組放眼世界.

二、教師應是自主合作學習目標的建設性、創造性的策劃者

根據課題內容與教學內容，筆者研制了高中數學“小組合作學習”模式導學案，其模式如下：

學習課題：高考二輪復習圓錐曲線專題系列之（一）——求橢圓的離心率.

學習類型：合作學習：獨學（自主學習）→對學（同桌交流）→群學（小組交流）→展示（各小組展示）→總結（匯報收獲）.

學習內容：用不同的視角求橢圓的離心率.

學習目標：（1）情感、態度與價值觀：通過獨自學習、同桌交流、小組內深入探討、激勵組間展開充分辯論與展示，讓師生享受課堂、共同進步.（2）知識與技能：會求具體題目中橢圓的離心率；從不同的視角探究橢圓的離心率.（3）能力訓練目標：由淺入深，由顯而隱，以高考真題為載體，實現由已知條件得到什么？求離心率又需要什么？我們要做什么工作？（4）習慣養成目標：自主學習；學會合作；勇于展示；完美表達；大膽質疑；合作共贏！（5）應試重點目標：從題目的已知條件出發，能很快找到解決問題的突破口，很好地完成解答得滿分.

圖1

例1（2014年江蘇高考17題）如圖1，在平面直角坐標系xOy中，F1、F2分別是+=1（a>b>0）的左、右焦點，頂點B的坐標為（0，b），連接BF2并延長交橢圓于點A，過點A作x軸的垂線交橢圓于另一點C，連接F1C.

（2）若F1C⊥AB，求橢圓離心率e的值.

第一步：自主學習.

設計意圖：通過自主學習讓學生對新的學習內容有思考、有疑惑，明白其所要學內容.

第二步：兩人互學研討.

設計意圖：兩個人探討，互相討論學習感受，對于不太理解的問題通討論進一步掌握.

第三步：小組合作探究.

設計意圖：通過小組探討得到最佳方法，便于代表小組展示.

第四步：組際展示.

展示的內容與形式（請把本小組要展示的方法記下來）；展示人員安排（記下代表本小組展示成員的姓名及其方法的優點）；展示要求：聲音宏亮、條理分明、書寫規范.

第五步：反思提升.

自己分享給大家什么方法？自己收獲了什么方法？自己的優勢與存在的不足、不足之處的彌補措施.

第六步：課外作業.

（1）求C的方程.

（2）直線l不過原點O且不平行于坐標軸，l與C有兩個交點A，B，線段AB的中點為M.證明：直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值.

2.（2014年新課標全國卷Ⅱ理科20題）設F1、F2分別是橢圓=1（a>b>0）的左、右焦點，M是C上一點且MF2與x軸垂直，直線MF1與C的另一個交點為N.

（2）若直線MN在y軸上的截距為2，且|MN|=5|F1N|，求a，b.

三、教師應是自主合作學習各小組成員的平等的親密戰友

當學生在對導學案上的試題思考的時候，筆者在各小組之間觀察，時而畫龍點睛地提醒一句兩句，啟發學生的思維能力；時而坐在學生身邊一起分析研究，探討最佳方案.討論十分激烈，思路多種多樣.

1.挑戰者組的蒲仁榮同學匯報了第一小組的解法

思路1：順藤摸瓜（整理后的過程）.

由已知條件可寫出BF2的直線方程與橢圓方程聯立求解.因為B（0，b），F2（c，0），所以直線BF2的方程為b，代入橢圓方程

因為F1C⊥AB，所以，所以b4= 3b2c2+4c4，即（b2+c2）（b2-4c2）=0，得b=2c.由a2=b2+c2，得

2.探索者組的劉容泥同學介紹了自己的解題思路（整理后）

點評：以上同學們充分利用了垂直這個條件.親密伙伴式，把課堂教學看作是師生平等研討問題，提出和驗證假設，參與和體驗實驗操作，在觀察、比較、歸納、分析、綜合的思辨過程中生成問題解決方案或結論.

四、教師應是自主合作學習溫馨、友善的督導者

在自主合作學習過程中，教師往往采取的是一種督導性的提示，不越位代替學生孕育和產出“結論”，學生難產“結論”時老師又要及時充當熱心的結論“助產婆”.

筆者在第三小組航空母艦組的國年軍同學身邊觀察時，發現他的筆尖就在A和C兩點轉來轉去，筆者說，你能不能借用A和C兩點的橫坐標相等解決.幾分鐘后，他有了以下做法：聯立方程求A和C點的橫坐標，兩個橫坐標相等求離心率.

因為F1C⊥AB且直線AB的斜率，故直線的方程為

五、教師應是自主合作學習的積極態度的調控者

這時，筆者總結說，以上的思路都要解二元二次方程組，能否避開它？第四小組探月號的李光輝同學有漂亮的解法：

思路二：避難就易.

聯立直線與橢圓方程，可直接求出A點坐標，然而運算較麻煩.我們避難就易，設A點坐標為（x0，y0），則C點坐標為（x0，-y0），繼續尋找與A相關的，點A在直線BF2上，所以（x0，y0）滿足bx0+cy0-bc=0，那么由點C在直線F1C上及F1C⊥AB，可得cx0-b（-y0）+x2=0，即cx0+by0+c2=0.當然，點A還在橢圓上，有

點A的坐標滿足的關系還挺多！然而，要求離心率，并不需要x0，y0，只需要a，b，c的等式關系即可，因此代入橢圓方程，得

又b2=a2-c2，a2=5c2，所以

自主合作學習是依據教學中教師是主導、學生是主體的這一辯證原理，要求教師盡可能把課堂時間還給課堂的主體和主人——學生.

思路三：回歸起點.

第五小組愛國者的吳捷同學有了以下思路（用相似三角形的性質）：

如圖2，設F1C與AB交于P點，則∠F1PF2=90°，出現了一個直角，而以橢圓的兩個焦點為頂點的三角形當首推“焦點三角形”.因此，我們連接F2C，則有CF1+CF2=2a.若F1C，F2C可以a，b，c用來表示，那也就得到了關于a，b，c的等式.我們把目光聚焦在Rt△F1PF2上.能否通過這個直角三角形表示出F1C，CF2呢？

圖2

因為Rt△F1PF2的內角∠F1F2P=∠OF2P，所以PF2=然而，我們只要知道是確定的，又CF2與AF2關于x軸對稱，所以F2C∥F1B，則△PF2C∽

所以CF1+CF2=由b2=a2-c2消去b，把等式平方得（a2-c2）c2=（a2-3c2）2，同時要注意等價，還應有a2-3c2>0.

這樣，從橢圓的定義出發，將已知轉化到“焦點三角形”上，獲得了等式，在消去b的過程中，若不注意到bc= a2-3c2>0這個特征，就會產生兩個解.代數變形時留意等價性，會省去檢驗的煩惱.

第六小組放眼世界組的池輝同學有如下思路（用三角形函數的知識）：

如圖3，設∠CF1F2=θ，則

所以∠BF2C=2θ，則∠F1CF2=-2θ，且sinθ=sin∠OBF=，2cosθ=.

圖3

在△CF1F2中，由正弦定理知

因為|CF1|+|CF2|=2a，所以，所以，因為b=2c，所以

六、教師應是自主合作學習的積極向上、激勵性的評價者

在自主合作學習中，教師是否善于對小組團隊進行科學合理評價，不但是一個理論問題，而且是一個亟待完善的實踐問題，這也檢驗著教師在自主合作學習模式中是否完成了真正意義上的轉型.筆者在充分肯定以上同學的聰明才智的時候.第一小組的李萬奎同學又有了新思路：用橢圓離心率的定義.

由此可見，一個垂直條件實現了“特征三角形BOF2”與“焦點三角形F1CF2”之間很好的溝通.“邊→角→邊”的兩度轉化自然而然，一氣呵成，順理成章！

反思：在小組合作學習過程中，教師首先應是自主合作學習寬松情境、良好氛圍的營造者.第二，教師應是自主合作學習各小組成員的平等的親密戰友.第三，教師應是自主合作學習的溫馨、友善的督導者.第四，教師應是自主合作學習的積極態度的調控者.第五，教師應是自主合作學習的積極向上激勵性的評價者.

附課外作業解答：

（2）設直線l：y=kx+b（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2， y2），M（xM，yM）.+=1+1+4kbx+2b-8=

將y=kx+b代入，得（2k2）x220.

所以直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值.

（2）由三角形中位線知識可知MF2=2×2，即=4.

設F1N=m，由題可知MF1=4m.由兩直角三角形相似，可得M，N兩點橫坐標分別為c，-c.由焦半徑公式可得MF1=a+ec，NF1=a+e△-c2，且MF1∶NF1=4∶1，e=，a2=b2+ c2.聯立解得a=7

*本文系省級重點課題“高中數學合作學習經驗及其獲得能力培養的研究”（課題編號：2016A028）的階段性成果.