立足本質促進對話，深度發(fā)展提升智慧
——由一節(jié)二輪復習課引發(fā)的思考

筅安徽省靈璧第一中學鄭良

立足本質促進對話，深度發(fā)展提升智慧
——由一節(jié)二輪復習課引發(fā)的思考

筅安徽省靈璧第一中學鄭良

高三二輪復習如火如荼，結對的年輕教師C（第一次帶畢業(yè)班）向筆者傾訴其在二輪復習教學中的困惑：課堂上少數(shù)學生選擇自己做題而不聽課；教師若簡單地梳理思路并用多媒體展示答案收效甚微，若在黑板上完整板書浪費時間，好像也沒有必要（學生手里有參考答案）；簡單、中檔題教師不講學生也會，難題教師講了學生還是不會；二輪復習時間短（一個月左右），任務重（內容多），如何做到（知識、思想方法、解題策略等）全面撒網(wǎng)，重點捕捉等等.教師C的困惑反映了大多數(shù)教師復習備考時的迷茫：復習課，尤其是第二輪復習（一些學校還有第三輪復習）的抓手在哪里？如何提高復習課教學效率？筆者觀摩了教師C以“導數(shù)與函數(shù)的單調性、極值、最值”為題的二輪專題復習課，下面談談筆者對問題的理解，并給出教學思考.

一、教學片斷簡析

例1（2016年高考數(shù)學天津卷理科第20題）設函數(shù)f（x）=（x-1）3-ax-b，x∈R，其中a，b∈R.

（1）求f（x）的單調區(qū)間；

（2）若f（x）存在極值點x0，且f（x1）=f（x0），其中x1≠x0，求證：x1+2x0=3；

（3）設a>0，函數(shù)g（x）=|f（x）|，求證：g（x）在區(qū)間［0，2］上的最大值不小于

學科組統(tǒng)一的學案在上課前1-2天發(fā)給學生，供學生獨立思考、合作交流.學生思考（實則是對解答過程的回憶）約兩分鐘后，教師引導學生回顧判斷函數(shù)單調性的步驟與作用、函數(shù)的極值與最值的概念、確定函數(shù)在閉區(qū)間上最值的方法，啟發(fā)學生思考為什么要對參數(shù)進行討論？如何確定參數(shù)的分類標準？問題的解答展示如下：

解：（1）由f（x）=（x-1）3-ax-b，得f′（x）=3（x-1）2-a.下面分兩種情況討論：

①當a≤0時，f′（x）≥0恒成立，所以f（x）的單調遞增區(qū)間為（-∞，+∞），無單調遞減區(qū)間.

當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

姨x-∞，1-3a% 331-3a%姨姨3，1-3a% 3 331+3a%姨姨331+3a%姨31+3a% 33 3，+∞f′（x）+0-0+ f（x）單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增

（2）證法1：f（x）存在極值點，由（1）知，a>0，且x0≠1，由題意，得f（′x）0=3（x0-1）2-a=0，即（x0-1）2=，進而（fx）0=

又（f3-2x0）=（2-2x0）3-a（3-2x0）-b=（1-x0）+2ax0-3a-b=-x--b=（fx），且3-2x≠x，由題意及（1）知，0000存在唯一實數(shù)滿足f（x1）=f（x0），且x1≠x0，因此x1=3-2x0，所以x1+2x0=3.

（3）證法1：設g（x）在區(qū)間［0，2］上的最大值為M，max｛x，y｝表示x，y兩數(shù)的最大值.下面分三種情況討論：

綜上所述，當a>0時，g（x）在區(qū)間［0，2］上的最大值不小于.

點評：第（2）問證法1逆用函數(shù)f（x）的單調性建立自變量的值x1與x0的關系.第（1）問確定函數(shù)f（x）存在極值的條件及函數(shù)的極值點，由于已知函數(shù)f（x）的解析式，故考慮代入求證，若解x1關于a的解析式，過程相對稍煩瑣，故嘗試消去a建立x1與x0的方程，即得（以x1為主元的）證法2.

證法2：由題意知，a>0，f′（x0）=0，即a=3（x0-1）2.

由（fx1）=（fx0），即（x1-1）3-ax1-b=（x0-1）3-ax0-b，

由x1≠x0，得

代入a=3（x0-1）2，整理得（x1-x0）［x1-（3-2x0）］=0.

因為x1≠x0，所以x1=3-2x0，即x1+2x0=3.

函數(shù)f（x）=（x-1）3-a（x-1）-（a+b）的對稱中心為（1，-a-b）.令h（x）=f（x+1）=x3-ax-（a+b），x∈［-1，1］，則h（x）（x∈［-1，1］）與f（x）（x∈［0，2］）的值域相同.由函數(shù)圖像知，g（x）在［0，2］的最大值為慮函數(shù)的極值與區(qū)間端點函數(shù)值（極值點與區(qū)間端點）的關系可知，參數(shù)a的分界點為3與，映射到函數(shù)h（x）自變量的值-1，1，-，.對應到函數(shù)（fx）中，可得第（3）問證法2.

證法2：由f（2）=1-2a-b，f333=1-3a-b，f313=

（1）討論f（x）的單調性；

解：（1）（略）.

點評：第（2）問不等式的證明轉化為對應函數(shù)在指定區(qū)間上的最值問題來解決.證法1利用兩個子函數(shù)g（x），h（x）的最小值來估計f（x）的范圍.為什么要如此結合？還能怎樣構造局部函數(shù)？嘗試直接對欲證不等式的左右兩邊的函數(shù)求最值，得到證法2.

證法2分別確定函數(shù)f（x）與f′（x）在［1，2］上的最小值與最大值，相比證法1，證法2中f（x）-f′（x）的估值更精確，能否直接用作差法證明呢？得到證法3.

記p（x）=x4-x3-3x2-2x+6，x∈［1，2］，p′（x）=4x3-3x2-6x-2.

令q（x）=4x3-3x2-6x-2，x∈［1，2］，則q′（x）=12x2-6x-6，由q′（x）≥0在區(qū)間［1，2］上恒成立知，q（x）在區(qū)間［1，2］上單調遞增，且q（1）=-7，q（2）=6>0，所以存在x2∈［1，2］，使得q（x2）=0.

當x∈［1，x2］時，p′（x）<0；當x∈［x2，2］時，p′（x）>0，即函數(shù)p（x）在［1，x2］上單調遞減，在［x2，2］上單調遞增，且p（1）=1>0，p（2）=-2<0，

所以存在x3∈［1，2］，使得p（x3）=0，當x∈［1，x3］時，m′（x）>0；當x∈［x3，2］時，m′（x）<0，即函數(shù)m（x）在［1，x3］上單調遞增，在［x3，2］上單調遞減，且m（1）=2>0，m（2）=-ln2，而2>-ln2>，所以x∈［1，2］時，m（x）≥-ln2>，即原不等式成立.

以上證明中，“設而不求”的量x0，x1，x2，x3均僅在判斷相應函數(shù)單調性時搭橋鋪墊，無需對其所在的區(qū)間進一步細化.證法3通過求f（x）-f′（x）的最小值，實現(xiàn)了計算的精確化.

例3設f（x）=（x+1）eax（其中a≠0），曲線y=f（x）在x=處有水平切線.

（1）求a的值；

（2）設g（x）=f（x）+x+xlnx，證明：對任意x1，x2∈（0，1），有|g（x1）-g（x2）|

解：（1）a=-2.（過程略）

記w（x）=xlnx，則w′（x）=1+lnx，由w′（x）=0，得x=，所以函數(shù)w（x）在上單調遞增，當x∈（0，1）時，w（x）<0，w（1）=0，w，所以

所以對任意x1，x2∈（0，1），|g（x1）-g（x2）|<2e-2+e-1.

（兩個函數(shù)q（x），w（x）的上確界點相同，而下確界點與最小值點不同，等號不能成立）

點評：證法1將函數(shù)g（x）分成兩個子函數(shù)q（x），w（x），分別求導得到函數(shù)的最值（或確界，=0），進而估計函數(shù)值的范圍.不等式證明中要保證放縮的方向性（不等式的傳遞性）與精確度（解題方式方法的可行性）.g（x）的兩個子函數(shù)q（x），w（x）的值域易求且恰好滿足結論，若將函數(shù)g（x）分拆為f（x）與h（x）=x+xlnx，其值域分別為范圍失控.嘗試把g（x）作為一個整體，直接探求其性質，得到證法2.

證法2：對任意x1，x2∈（0，1），有|g（x1）-g（x2）|

（若g（x）在（0，1）內存在最大值與最小值，否則用上確界與下確界來代替）由g′

由g′（x0）=0，得

所以|g（x1）-g（x2）|

g（x）在（0，1）上有最小值g（x0），不存在最大值（借助極限思想=1或符號法則，通過比較區(qū)間端點函數(shù)值確定其上確界），利用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的零點定理壓縮g′（x）的零點x0（確定值）所在區(qū)間的長度，即要控制好“x0的精度”，通過“設而不求”變換g（x0）的結構形式，然后構造函數(shù)u（t），利用函數(shù)u（t）的單調性估算g（x0）的值，繼而利用不等式的傳遞性進行證明.

例4已知函數(shù)f（x）=aex+（2-e）x（a為實數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù)），曲線y=f（x）在x=0處的切線與直線（3-e）xy+10=0平行.

（1）求實數(shù)a的值，并判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間［0，+∞）內的零點個數(shù)；

（2）證明：當x>0時，f（x）-1>xln（x+1）.

解：（1）a=1，函數(shù)f（x）在區(qū)間［0，+∞）內無零點.（過程略）

（2）證法1：當x>0時，f（x）-1>xln（x+1）等價于

即證：當x>0時，ex-x2+（2-e）x-1≥0.①

設h（x）=ex-x2+（2-e）x-1，則h′（x）=ex-2x+2-e.

設φ（x）=ex-2x+2-e，則φ′（x）=ex-2，當x∈（0，ln2）時，φ′（x）<0，當x∈（ln2，+∞）時，φ′（x）>0，所以φ（x）在區(qū)間（0，ln2）上單調遞減，在區(qū)間（ln2，+∞）上單調遞增.

又φ（0）=3-e>0，φ（1）=0，0

所以存在x0∈（0，ln2），使得φ（x0）=0，當x∈（0，x0）∪（1，+∞）時，φ（x）>0；當x∈（x0，1）時，φ（x）<0.

所以h（x）在區(qū)間（0，x0）上單調遞增，在區(qū)間（x0，1）上單調遞減，在區(qū)間（1，+∞）上單調遞增.又h（0）=h（1）= 0，所以，當x>0時，h（x）≥0，當且僅當x=1時，等號成立，即①式成立.

綜上所述，當x>0時，f（x）-1>xln（x+1）.

點評：不少學生在第（1）問中沒有檢驗直線的平行性，說明學生對兩條直線的平行關系認識不到位.第（2）問通過恒等變形，借助常用結論ln（x+1）0），在之間插入“隔離函數(shù)”y=x（即在f（x）-1與xln（x+1）之間插入“隔離函數(shù)”y=x2）.求導過程遭遇導數(shù)零點不可求的情況，采用“設而不求”進行過渡.學生的錯誤是：“φ（ln2）=2-2ln2+2-e>0，所以h′（x）>0，故函數(shù)h（x）在（0，+∞）上單調遞增，又h（0）=0，所以當x>0時，h（x）>0，即當x>0時”這表明學生感性壓過理性，用主觀臆斷替代邏輯推理，無視φ（1）=0表明學生沒有良好的數(shù)感.當x>0時等價于的最小值，而直接求的“最大值”（上確界）則需要用到洛必達法則，故選擇證明不等式x>ln（x+1）.為什么要如此變形？由于直接作差法不易判斷差函數(shù)的單調性，且y=f（x）-1（x>0）的最小值不大于y=xln（x+1）（x>0）的最大值，故通過兩邊同除以x改變兩個函數(shù)的變化速度，（用放大鏡放大）使其大小關系從“模糊”走向清晰.變形方式唯一嗎？隔離函數(shù)如何確定？

證法2：當x>0時，欲證f（x）-1>xln（x+1），

即證ex+（2-e）x-1>xln（x+1）.

先證：ex>+x+1（x>0）.

記m（x）=ex--x-1（x>0），則m（′x）=ex-x-1.

記n（x）=ex-x-1，n′（x）=ex-1，則n（x）在（0，+∞）上單調遞增，

所以n（x）>n（0）=0，函數(shù)m（x）在（0，+∞）上單調遞增，m（x）>m（0）=0，即ex>+x+1（x>0）.

ex+，只需（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增，所以0，即ex+（2-e）x-1>+（3-e）x>xln（x+1），即當x>0時，f（x）-1>xln（x+1）.

證法3：先證：ex>+x+1（x>0），

則ex+（2-e）x-1>+（3-e）x.

因為ln2<0.7，e<2.8，所以ln2+e<3.5，即ln2-<3-e，因為x>0，所以有≤ln2-≤x<（3-e）x，故有xln（x+1）≤

故原不等式成立.

證法2利用ex的泰勒展開式進行放縮，即在f（x）-1與 xln（x+1）之間插入“隔離函數(shù)”y=+（3-e）x，證法3以 Φ（1）=0為切入點，利用函數(shù)y=ln（x+1）的凹凸性，在+（3-e）x與xln（x+1）之間插入“隔離函數(shù)”y=x2+.本題若用直接作差法證明，則對差函數(shù)的導數(shù)零點的精度要求高而難以實施.

二、教學思考

1.教學張弛有度，貴在常變常新

知識與課程不會自動轉化為學生的素養(yǎng)，學生（核心）素養(yǎng)的培育必須借助知識的內化過程.教學過程是一種特殊的認識過程，也是一個促進學生身心發(fā)展的過程.在教學過程中，教師有目的有計劃地引導學生能動地進行認識活動，循序漸進地掌握學科知識與基本技能，以促進學生知情和諧發(fā)展.教之道在于“度”，學之道在于“悟”.教什么，教到什么程度，是教師必須思考并準確實施的問題.問題沒有難度，學生沒有主動思維（機械思考應對），缺乏挑戰(zhàn)性導致學生疲倦，挫傷學生學習的積極性；問題難度過大，學生絞盡腦汁思考卻勞而無獲導致學生知難而退，扼殺學生學習自信心.教師在理解數(shù)學、理解教學、理解學生的基礎上設計教學，促進學生深度學習（深刻地把握學習內容，深度地參與學習過程，學習就是學生與數(shù)學本質的逐步對話的過程）.眾所周知，知識的本質并不在于它的確定性和穩(wěn)定性，而在于它的發(fā)展性和不斷的變化性.復習課遭遇內容學生熟知、方法學生耳熟能詳?shù)惹闆r，教師更要明確教學目標，聚焦教學重點與難點，在問題的關鍵處給出自己獨特的見解.試想，老生常談、千篇一律的說教沒有文本詳盡，比不上搜題工具的解答精彩，怎么可能激發(fā)學生的興趣！通過變式、改編、整合等不同的方式提高學生對知識、思想方法、解題策略等的認知與理解.如例1第（2）問證法2（主元法）反映了對稱與非對稱的辯證統(tǒng)一，第（3）問證法2以靜制動（運動中的不變性）深化了學生對函數(shù)最值概念的理解，能培養(yǎng)學生仔細審題與深刻反思的良好習慣.專題設計一脈相承，思維水平逐步遞進.例1操作煩瑣，通性通法思維要求不高，例2第（2）問入口較寬，局部法與整體法均可，“設而不求”簡單過渡，例3第（2）問局部法與整體法要求精細，凸顯思維的高層次性，例4第（2）問關卡重重，需要學生思維靈動，富有創(chuàng)新性.

2.積累活動經(jīng)驗，優(yōu)化思維品質

數(shù)學活動經(jīng)驗，是指學習者參與數(shù)學活動的經(jīng)歷以及在數(shù)學活動過程中所形成的感性認識、情緒體驗和觀念意識；在進一步的數(shù)學活動中能生長為較高層次的活動經(jīng)驗或知識與技能的數(shù)學活動經(jīng)驗，則是基本活動經(jīng)驗.［1］新授課帶給學生的認知往往是膚淺的，給予學生的活動經(jīng)驗常常是零散的；復習課要有目的地實現(xiàn)對相關內容認識的深化，活動經(jīng)驗理解的整體化.以解題教學為切入點的復習課教學，解題的目的是什么，通過教學學生要達成什么目標等等.因此，教師選擇的題目應該具有強烈的訓練意圖和思維標志.通過訓練，幫助學生喚起對典型問題的記憶，聯(lián)想相關的數(shù)學概念、思想方法和解題經(jīng)驗，形成主動歸納的意識，促進數(shù)學知識的遷移和解題經(jīng)驗的積累.教師應在“微專題”的核心精要處進行點撥，實現(xiàn)學生數(shù)學活動經(jīng)驗的提升，思維品質的優(yōu)化.如通過例2，學生強化了局部與整體觀念，加深了對“設而不求”方法的理解，提高了思維的廣度與深度；通過例3證法2，提高學生的估算意識、計算與推理能力.通過例4，學生明晰不等式證明中的邏輯關系，提高了對代數(shù)變形的理解（因何而變，變向何方，如何調整）等.又如，2016年高考數(shù)學四川卷理科第21題：設函數(shù)f（x）=ax2-a-lnx，其中a∈R.

（1）討論f（x）的單調性；

第（2）問可利用必要性解題策略優(yōu)化解題過程：f（x） >-e1-x在區(qū)間（1，+∞）內恒成立，即g（x）=ax2-ax-lnx-+e1-x>0在區(qū)間（1，+∞）內恒成立.由g（1）=0，且g（x）為連續(xù)函數(shù)，則存在δ>1使得g（x）在區(qū)間（1，δ）內不減，故g′（x）≥0在區(qū)間（1，+∞）內恒成立，由g（x）為連續(xù)函數(shù)知，必有g（′1）=2a-1≥0，解得a≥.

3.提升理性素養(yǎng)，形成精準定位

數(shù)學學科聚焦思維，特別是邏輯思維、理性思維，理性精神，在培養(yǎng)學生的理性精神上做主要貢獻.數(shù)學是人類生命高水平活動的真實記錄和表現(xiàn)形式，但離不開感性，但最終要回歸到理性.教學過程中，先有感性后有理性更有利于認識.精準是數(shù)學科學的主要特征.張奠宙教授認為：現(xiàn)代公民的數(shù)學核心素養(yǎng)，可以界定為“精準智能思維與行為的養(yǎng)成”.所謂精準，包括：“觀測精準”“量化精準”“算法精準”“模型精準”，以及精準美學的欣賞.［2］通過對數(shù)據(jù)進行分析，形成精準的判斷和決策是學生理性素養(yǎng)的重要體現(xiàn).如例1第（3）問證法2“f（2）-的得到與應用（平均值原理）；例3第（2）問證法2，少數(shù)學生存在理解困難，教師可用（結構實體）隱喻（收入多算，支出少算，盈余增加）助其渡過難關.又如題：

（1）當a=-1時，求函數(shù)f（x）的最小值；

（2）當a≤1時，討論函數(shù)f（x）的零點個數(shù).

第（2）問可對參數(shù)劃分，分別探求f（x）的性質，也可用分離參數(shù)法求解則，容易判斷x-2lnx+2>0，進而確定函數(shù)g（x）的圖像與性質，結果一目了然.感性有余、理性不足的學生無視g′（x）的分子中的公因式，反復構建函數(shù)與求導，淪為缺乏數(shù)學模型的機械操作；而理性意識較強的學生求導時能聚焦任務（導函數(shù)的正負判斷原函數(shù)的增加）而不會產(chǎn)生滑過現(xiàn)象.

1.趙思林，趙緒昌.指向學生數(shù)學活動經(jīng)驗獲取的教學［J］.教育研究與評論（中學教育教學版），2016（10）.

2.張奠宙.解放思想，也來說說數(shù)學核心素養(yǎng)［J］.中學數(shù)學教學參考（上旬刊），2017（4）.

3.蔣燕.讓高三復習從“解題困惑”走向“自主理解”［J］.中學數(shù)學（上），2017（1）.