高中數學不等式解題技巧思考

筅江蘇省宜興市第一中學楊麗嫻

高中數學不等式解題技巧思考

筅江蘇省宜興市第一中學楊麗嫻

高中數學的學習對我們的邏輯思維能力有著較高的要求，而其中不等式部分的知識更是考試中的重點及難點內容.因此，在高中數學學習的過程中，如若沒有對不等式的相關知識掌握清楚、準確，則將會在考試中喪失分數.所以，高中生熟練掌握不等式的解題技巧，對提高數學能力有著積極的作用.

一、線性不等式的解題技巧

在考試的過程中，關于線性不等式的考查題型相對較多，難度相對較小.但需要注意的是，線性不等式的題目當中所涵蓋的知識點數量多，其中包括定義域、值域、圖形之間形成的面積變化規律等.雖然其難度不大，然而其出錯的概率卻較大.對于線性不等式的實際運用，其主要解決的問題包括兩種情況：其一，在給定條件的情況下，運用線性不等式的知識獲取最大值；其二，在給定任務的情況下，求其他條件的最小值.

例如，如果kx2+2kx-（k+2）<0恒成立，則實數k的取值范圍是（）.

A.-1≤k≤0B.-1≤k<0

C.-1

在解題的過程中，如果沒有對題目的要求及線性不等式中涵蓋的知識點進行深入理解，則將會得到-1

該類題型的解題技巧主要包括以下幾點：其一，對于給定條件中圖形邊界不包含其中時，應注意將其邊界用虛線標注；其二，對于線性題目當中的二元一次不等式的解題當中，為了確定其具體的面積范圍，可在直線之外任意選擇一個點，將其代入到原不等式當中.當其坐標滿足不等式時，則證明該點位于相關區域當中；而當該點的坐標不符合原不等式時，則證明直線的另一側為所求區域；其三，在對直線進行平移的過程中，應要求直線經過所求區域；其四，當不等式題目與實際問題相聯系時，應根據題目的要求對區域經過的象限進行選擇；其五，簡單線性規劃問題就是求線性目標函數在線性約束條件下的最優解，無論此類題目是以什么實際問題提出，其求解的格式與步驟是不變的：（1）尋找線性約束條件，線性目標函數；（2）由二元一次不等式表示的平面區域作出可行域；（3）在可行域內求目標函數的最優解.

二、高次不等式的解題技巧

在對高次不等式進行解題的過程中，應切忌在做題時忽略特殊位置的點或者區域，從而造成答案范圍縮小，對函數的圖像變化做出錯誤的判斷.

例如，解不等式（x+4）·（x-3）·（x-7）≤0.

在解答的過程中，應首先在數軸當中，將x=-4、x=3、x=7三個點進行標注.在此之后對數軸進行觀察可發現，數軸將會被三個點分成四個區域，將數軸之上的區域以正號標注、數軸之下的區域以負號標注，題目的要求為對小于等于0的答案，因此只需將數軸之下的重合區域進行寫出即為正確答案.

再如，若a>0，b>0，且函數f（x）=4x3-ax2-2bx+2在x=1處有極值，則ab的最大值等于（）.

A.2B.3C.6D.9

在對該題進行解答的過程中，首先對原式進行求導，其結果應為f′（x）=12x2-2ax-2b.因為f（x）在x=1處有極值，所以f′（1）=12-2a-2b=0，即a+b=6.又a＞0，b＞0，所以≤6.所以ab≤9，當且僅當a=b=3時，等號成立，所以ab的最大值為9.故正確答案為D.

三、絕對值不等式的解題技巧

絕對值不等式是常見的一類不等式，也是不等式中難度較大的題型.在對其進行解答的過程中，應首先對不等式中的式子，利用同解的原理將其轉化為不等式組.一般而言，不等式組通常由一次或者二次不等式組成.而對于兩個以上的絕對值組成的不等式而言，可先令各個絕對值內的式子為零，求出x的值，之后將各個不等式內為零條件下的x值標注到數軸之上，向數軸上零的位置畫線，最終將共同的區域寫出，進而得到正確的答案.

例如，A：|x-1|＜3，B：（x+2）（x+a）＜0，若A是B的充分不必要條件，則a的取值范圍是＿＿＿＿＿.

在解題的過程中，部分高中學生的錯誤解答如下：由|x-1|＜3，得-2＜x＜4；由（x+2）（x+a）=0，得x=-2或x＝-a.由于A是B的充分不必要條件，則A：｛x|-2＜x＜4｝，B：｛x| -2＜x＜-a｝，-a≥4，故a≤-4.該題解答錯誤的原因，主要是高中學生審題時忽略了a＝-4的情況，此時｛x|-2＜x＜4｝＝｛x|-2＜x＜-a｝，A是B的充要條件，不是充分不必要條件.因此，其正確的解答方法應為：由|x-1|＜3，得-2＜x＜4；由（x+2）（x+a）=0，得x=-2或x＝-a.由于A是B的充分不必要條件，A：｛x|-2＜x＜4｝，B：｛x|-2＜x＜-a｝，所以-a≥4，即a≤-4.

四、含有變量的不等式的解題技巧

在部分高中不等式中，常常在自變量中設置因變量，即參數.在實際解題的過程中，應根據題目中條件的設定，對參數的取值進行分類，根據不同的分類條件，對不等式進行變形.需要注意的是，在解題中不能忽略參數為零的情況.

例如，設x，y∈R，a>1，b>1，若ax=by=3，a+b=2，則的最大值為（）.

由ax=by=3，得x=loga3，y=logb3.所以=log3ab≤.因此，其正確答案為C.

再如，若點A（-2，-1）在直線mx+ny+1=0上，其中mn>0，則的最小值為_______.

其解題過程應為：點A（-2，-1）在直線mx+ny+1=0上，所以-2m-n+1=0，即2m+n=1，又mn>0，所以n2=4m2時取等號，故的最小值為8.

五、最值不等式的解題技巧

最值是不等式求解中出現幾率相對較高的一類問題，也是考試中必考內容之一.在實際解題的過程中，該類題型的解題技巧通常包括以下幾種：其一，拆項，即在解題的過程中，在等值的前提下，可以對題目中給出的已知項進行拆分，進而能夠將拆開的項變成一個確定的值，無論是乘法還是加法，例如，將2a2拆分成4a×；其二，湊項，在解題的過程中，應根據給定的條件，將題目中的式子進行拼湊，使其在加法或乘法的作用下，能夠保持一個定值；其三，變項，即根據解題的需要，在不改變式子的值的情況下，將其以其他形式進行表達.

例如，已知A點坐標為（4，1），B點坐標為（-1，-6），C點坐標為（-3，2），點（x，y）在△ABC邊上及其內部，求x2+ y2的最值.

一般情況下，其錯誤的解法為：令z=x2+y2，由A點坐標（4，1），得z＝x2+y2＝16+1＝17，由B點坐標（-1，-6），得z＝x2+y2＝（-1）2+（-6）2＝37，由C點坐標（-3，2），得z＝x2+y2＝（-3）2+22＝13.所以當x=-1，y=-6時，x2+y2取得最大值37，當x=-3，y=2時，x2+y2取得最小值13.導致該類題目出現錯誤的原因主要包括誤將求可行域內的點到原點的距離的平方的最值誤認為是求三點A、B、C到原點的距離的平方的最值.由此可知，該類題目的正確解答方法為：令z=x2+y2，則z即為點（x，y）到原點的距離的平方.由A點坐標（4，1），得z＝x2+y2＝42+12＝17，由B點坐標（-1，-6），得z＝x2+y2＝（-1）2+（-6）2＝37，由得C點坐標（-3，2），此時z＝x2+ y2＝（-3）2+22＝13，而在原點處，此時z＝x2+y2＝0，所以，當x=-1，y=-6時，x2+y2取得最大值37，當x=0，y=0時，x2+y2取得最小值0.

六、換元法解不等式的技巧

所謂的換元法，其實質是在對高中不等式進行解答的過程中，對較為復雜或者出現頻率較高的式子，運用一個數學符號或者變量的形式對其進行替換，將其代入到原式之后，能夠將原式大幅簡化，提供一定的解題便利.換元法主要有兩種換元形式.（1）三角代換法：多用于條件不等式的證明，當所給條件較復雜，一個變量不易用另一個變量表示，這時可考慮三角代換，將兩個變量都用同一個參數表示.此法如果運用恰當，可溝通三角與代數的聯系，將復雜的代數問題轉化為三角問題；（2）增量換元法：在對稱式（任意交換兩個字母，代數式不變）和給定字母順序（如a>b>c等）的不等式中，考慮用增量法進行換元，其目的是通過換元達到減元，使問題化難為易，化繁為簡.在三角換元中，由于已知條件的限制作用，可能對引入的角有一定的限制，應引起高度重視，否則可能會出現錯誤的結果.這是換元法的重點，也是難點，且要注意整體思想的應用.

七、反證法解不等式的技巧

所謂的反證法，其實質是有些不等式的證明，從正面證不好說清楚，可以從正難則反的角度考慮，即要證明不等式A>B，先假設A≤B，由題設及其他性質，推出矛盾，從而肯定A>B.凡涉及的證明不等式為否定命題、唯一性命題或含有“至多”“至少”“不存在”“不可能”等詞語時，可以考慮用反證法.反證法證明不等式時，必須要將命題結論的反面的各種情形一一加以導出矛盾.該類證明方法在對幾何問題以及不等式問題進行解答的過程中，其使用頻率較高.

例如，已知x2=a2+b2，y2=c2+d2，且所有字母均為正，求證：xy≥ac+bd.

其證明方法如下：因為a，b，c，d，x，y都是正數，所以要證xy≥ac+bd，只需證（xy）2≥（ac+bd）2，即（a2+b2）（c2+ d2）≥a2c2+b2d2+2abcd，展開得a2c2+b2d2+a2d2+b2c2≥a2c2+ b2d2+2abcd，即a2d2+b2c2≥2abcd.由基本不等式，顯然成立.所以xy≥ac+bd.該類題目在解答的過程中，從正面對其實施證明難度相對較大.因此，運用反證法從反面對其進行解答，能夠有效地提高解題的速度，保證正確率.

八、不等式性質解不等式的技巧

在高中不等式的解題過程中，部分題目往往需要運用不等式的性質進行解答.高中不等式的性質主要包括以下幾點：其一，不等式的傳遞性，即如果a>b，b>c，那么a>c；其二，不等式的可加性，即如果a>b，那么a+c>b+c；其三，如果a>b，c>0，那么ac>bc；其四，如果a>b>0，c>d> 0，那么ac>bd.

例如，有n個圓，其中每兩個圓都相交于兩點，并且每三個圓都不相交于同一點，求證：這n個圓把平面分成f（n）＝n2-n+2個部分.

該題的證明可以用數學歸納法①當n＝1時，一個圓把平面分成兩個部分，即f（1）=2，又n＝1時，n2-n+2＝2，故命題成立.②假設n＝k時，命題成立，即k個圓把平面分成f（k）＝k2-k+2個部分，那么設第k+1個圓為⊙O，由題意，它與k個圓中每個圓交于兩點，又無三圓交于同一點，于是與其他k個圓相交于2k個點.把⊙O分成2k條弧而每條弧把原區域分成2塊，因此這平面的總區域增加2k塊，即f（k+1）＝k2-k+2+2k=（k+1）2-（k+1）+2，即n＝k+1時命題成立.由①②可知，對任何n∈N*命題均成立.

總而言之，高中數學當中不等式的知識是其中的重點內容之一，也是常常導致高中學生失分的內容.因此，高中學生應首先從思想上認識到不等式內容的重要性，認真總結以往不等式解題中出現問題的原因，熟練掌握不等式的解題技巧，提高高中數學不等式內容的掌握程度，提升做題的速度，最終實現提高高中數學成績的目的.