對有理數(shù)四則運算的深度剖析

胡夢堯+陳天宇

[摘 要] 有理數(shù)是初中生數(shù)學學習的起點，其概念與運算法則是發(fā)展學生數(shù)感、符號意識、類比歸納能力的重要途徑. 本文對有理數(shù)及其四則運算的產生和發(fā)展做了全面而深刻的剖析，并與教材的內容呈現(xiàn)方式進行了對比，論述了數(shù)學內容知識（SMK）對教師把握教材、理解學生的促進作用.

[關鍵詞] 有理數(shù)；四則運算；教學思考

有理數(shù)作為學生初中數(shù)學學習的起始內容，承擔著溝通小學數(shù)學與初中數(shù)學的重任. 總覽全國主流的教材，不難發(fā)現(xiàn)有理數(shù)主要是通過生活實例引入的，讓學生感知生活中存在一類比0小、表達含義和正數(shù)相反的數(shù). 在講述有理數(shù)的四則運算法則時，教材多是從具體的運算例子出發(fā)，讓學生分析比較其中的變化趨勢，引導學生舉一反三，從而發(fā)現(xiàn)有理數(shù)四則運算的“規(guī)律”. 由于該部分內容較為抽象，且理論性較強，缺乏實際生活背景，教師在授課時，很難有所創(chuàng)新. 倘若嚴格按照教材的呈現(xiàn)方式照本宣科，難免會使學生把規(guī)律作為法則死記硬背. 即使學生能夠準確地完成有理數(shù)的計算，這樣的教學也是無益于學生核心素養(yǎng)的發(fā)掘的. 事實上，有理數(shù)及其四則運算蘊含了豐富的數(shù)學抽象思想和文化內涵，教師若能理清其發(fā)生發(fā)展的脈絡，就能很好地把握學生學習過程的認知沖突，從而探索出設計教學的最佳切入點，做到步步為營.

加法與自然數(shù)集

在皮亞諾的算數(shù)公理體系中，最先被抽象出的數(shù)是1. 在“后繼”概念的驅使下，1的后繼為2，2比1大1，即2=1+1；2的后繼為3，3比2大1，即3=2+1……有了后繼的概念，不僅誕生了所有的有理數(shù)，也定義了加法. 換言之，加法是“+1”運算的復合，即對于任意的a∈N，b∈N，a+b表示在a后面增加b個后繼的序數(shù)，如果這個序數(shù)是c，則稱c為a與b的和，記a+b=c. 后來，皮亞諾又規(guī)定自然數(shù)的起始是0，1是0的后繼，其原因在于如果自然數(shù)集從1開始，算數(shù)公理體系無法定義出0，就無法定義出相反數(shù)，也就無法定義負整數(shù)，亦無法通過加法的逆運算定義出減法.

減法與整數(shù)集

把除0以外的自然數(shù)稱為正整數(shù). 實際生活中存在一類與正整數(shù)數(shù)量相同，但表達意義相反的數(shù)，為了表示這樣一類數(shù)，采用了如下基于內涵的定義方法：對于給定的正整數(shù)a，稱滿足a+b=0的數(shù)b為a的相反數(shù)，記為-a. 于是，自然數(shù)集就擴充為整數(shù)集Z，Z={負整數(shù)，0，正整數(shù)}.

既然使加法得以產生和發(fā)展的有理數(shù)集得到了延伸，那么就非常有必要重新審視加法在有理數(shù)集上的運算是否完備. 由于正整數(shù)與其對應的負整數(shù)是一類數(shù)量相等，表達含義相反的數(shù)，在應用絕對值來刻畫數(shù)量的情況下，符號相同的兩個有理數(shù)相加只需將絕對值相加，和的符號保持不變；符號互異的兩個有理數(shù)相加，則需用較大的絕對值減去較小的絕對值，和的符號與絕對值較大的有理數(shù)保持一致. 由此可見，加法在整數(shù)集Z上保持了封閉，且交換律和結合律仍然成立.

保證了加法在整數(shù)集Z上的完備性之后，就由加法的逆運算定義了減法：對于任意a∈Z，b∈Z，a-b=x？圮a=b+x，由加法的封閉性可知x∈Z，是一個整數(shù). 于是，減法在整數(shù)集上是封閉的，但在自然數(shù)集N上是不封閉的. 定義了減法之后，可以驗證-a=0-a或a=0-（-a），即a+（-a）=0，這與相反數(shù)的定義是一致的.

教材中往往把有理數(shù)的減法運算法則表述為“減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)”，而且是通過將一組相反數(shù)分別代入減法及其對應的加法來驗證得到的. 這種基于經(jīng)驗的活動探究過程并不能很好地展現(xiàn)數(shù)學嚴密的邏輯推理過程，似乎顯得有些本末倒置. 準確的減法運算法則推導如下：因為a與（-a）互為相反數(shù)，所以a+（-a）=0，移項可得a=0-（-a）或-a=0-a，在等式兩邊同時加上有理數(shù)b，可得b+a=b+[0-（-a）]或b-a=b+（0-a），即b+a=b-（-a）或b-a=b+（-a）. 兩種運算結果均證明了有理數(shù)的減法運算法則. 值得注意的是，該運算法則是雙向的，既包括把減法轉化為加法，亦包括把加法轉化為減法. 實際上在運算時我們無時無刻不用到后者，例如5+（-4）=5-4=1，只是關注甚少罷了.

乘法及其運算法則

在自然數(shù)集上，乘法是源于對加法的簡便運算而誕生的. 例如15=5+5+5=5×3. 一般地，對于任意a∈N，b∈N，有c=a+a+…+a？圮c=a×b，其中連加表示b個a相加. 因此，“？圮”右邊的乘法是左邊b個a相加的簡便運算，稱a，b為乘數(shù)，c為積. 基于這樣的乘法運算，可以得到兩個基本性質：對于任意a∈N，有0×a=0，1×a=a. 這兩個性質構成了乘法運算的基本特征.

但在有理數(shù)集上，乘法就不一定是加法的簡便運算. 例如（-2）×3可以看作（-2）+（-2）+（-2）=-6，這還可以解釋為加法的簡便運算；但3×（-2）就解釋不通了，不能解釋為-2個3相加. 由于自然數(shù)集包含在整數(shù)集內，若要將乘法運算推廣，那么推廣的橋梁就是乘法的交換律和分配律.

推廣的邏輯大致如下：假設在整數(shù)集Z上存在一種運算“·”，這種運算滿足上述兩個基本性質和兩個定律. 為了證明推廣的唯一性，只需證明在自然數(shù)集N上，定義的運算“·”是加法的簡便運算. 下面用數(shù)學歸納法證明：

當k=2時，對于？坌a∈N，滿足a·2=2·a=（1+1）·a=1·a+1·a=a+a=2a. 其中，第一個等號成立是因為交換律，第二個是根據(jù)自然數(shù)的定義，第三個是因為分配律，第四個是因為第二個基本性質，第五個是根據(jù)加法的基本定義.

假設當k=n時結論成立，即對于？坌a∈N，a·n=na成立.

當k=n+1時，a·（n+1）=（n+1）·a=na+1·a=na+a=（n+1）a . 其中，第一個等號成立是因為交換律，第二個是因為分配律，第三個是基于第二步的歸納假設和第二個基本性質，第四個是根據(jù)加法的基本定義. 所以，運算“·”是加法的簡便運算.

既然乘法可以從自然數(shù)集推廣到整數(shù)集，且保持了交換律和結合律，那么兩個負整數(shù)相乘的積的符號該如何確定？“負負得正”這個問題在歷史上困擾過許多名人，《紅與黑》的作者司湯達就是其中一位“受害者”. 他因為不理解為什么“負負得正”，且在詢問無果后對數(shù)學絕望，而棄理從文. 事實上，“負負得正”是可以證明的，且由于乘法交換律，我們只需證明（-1）·（-1）=1即可：0=0×（-1）=[（-1）+1]×（-1）=[（-1）×（-1）]+[1×（-1）]=[（-1）×（-1）]+（-1），所以（-1）×（-1）=1. 其中，第一個等號成立是根據(jù)乘法的第一個基本性質，第二個是基于相反數(shù)的定義，第三個是因為分配律，第四個是因為已知1×（-1）=-1.

總結與反思

數(shù)系擴充源于新的運算法則的誕生，但教材卻往往顛覆數(shù)學知識發(fā)生發(fā)展的歷程，總是先將數(shù)系擴充，再在此基礎上進行四則運算的探討，且教材內容大多基于具體實例，重視培養(yǎng)學生合情推理能力，而缺乏嚴密精確的演繹推理. 教材之所以如此處理，是因為在編寫過程中考慮到學生的認知發(fā)展規(guī)律，在不同學習階段針對不同數(shù)系進行四則運算更有利于培養(yǎng)學生類比、歸納的能力，鍛煉敏銳的洞察力，從而理解四則運算真正的含義. 另一方面，根據(jù)皮亞杰的認知發(fā)展階段理論，七年級的學生大致處于具體運算階段與形式運算階段的過渡時期，邏輯推理能力尚未成熟，思維活動需要具體活動內容的支持，學到的知識大多是基于經(jīng)驗的.

即使教師在某些數(shù)學內容上不能嚴格遵循數(shù)學發(fā)展史而采用發(fā)生教學法，但教師必須明晰教學內容背后蘊含的學科背景知識. 因為受到歷史相似性原理的啟示，數(shù)學知識產生重大變革之處也正是學生的疑惑所在. 教師應致力于豐富自身的學科內容知識（SMK）和學科教學知識（PCK），基于學生已有的認知結構，站在最近發(fā)展區(qū)的角度上，兼顧數(shù)學知識的嚴謹性，尋求最佳的知識呈現(xiàn)方式和活動探究方式.