解題教學應引導學生自然合理地數學思考

何萍

[摘 要] 數學解題教學的核心目標是發展數學認知水平和元認知水平，解題教學應引導學生自然合理地數學思考：揭示“條件”與“結論”之間的內在聯系；引導學生突破解題難點；注重通性通法，激發思維.

[關鍵詞] 解題教學；元認知；思維；通性通法

“問題是數學的心臟. ”學習數學的核心是解題. 數學解題的認知過程如圖1.

從圖1可以看出，數學解題教學的核心目標是發展數學認知水平和元認知水平，學生的策略性知識在解決問題中顯得尤為重要. 教學的切入點應該從引導學生自然合理的數學思考入手，通過設計合理的解題認知活動，讓學生經歷問題的感知、表征、結構分析、抽象概括、推理計算等認知活動和反思總結等元認知活動，提高分析問題和解決問題的能力.

揭示“條件”與“結論”之間的內在聯系

“數學是思維的科學. ”解題的要義不是答案本身，而在于解題的思維過程. 直觀感知、觀察發現、歸納類比、空間想象、抽象概括、符號表示、運算求解、數據處理、演繹證明等一系列思維過程，都需要學生通過自己的獨立活動來親身經歷，任何人都無法代替，“越俎代庖”的結果必然是學生思維獨立性的喪失. 由于解題教學需要讓學生充分經歷問題的感知、表征、結構分析、尋找策略、形成計劃、實施計劃和反思總結等活動，所以解題教學必須要揭開命題“條件”與“結論”之間的內在聯系，或探索通過“已知”可以導出怎樣的“未知”. 這個揭示過程就是學生的思維認知過程. 通過充分暴露思維過程，尋找合適的解題思路.

例1 如圖2，在正方形ABCD中，E是AB上一點，BE=2，AE=3BE，P是AC上一動點，則PB+PE的最小值是______.

本題要揭示三個從“條件”到“結論”的過程. 第一，如何聯想到“兩點之間線段最短”；第二，如何轉化為“兩點之間線段最短”；第三，怎么判斷此時的值是最小值. 建議教學過程可以設計如下問題進行啟發.

問題1：由問題你能聯想到哪些與它有關的定理？

問題2：怎樣將兩條線段的和轉化為一條線段的長？

問題3：在點P從點A運動到點C的過程中，連接EP，PD，則EP+PD的大小是怎樣變化的？

問題4：何時EP+PD取到最小值？最小值是多少？

通過上述問題展示結果背后的思維過程，啟發學生思考；通過觀察進行聯想和變換，避免學生在平時的數學學習中只注重記憶知識的結論，而忽略認識的過程. 通過揭示“條件”與“結論”之間的內在聯系，教會學生抓住事物的本質，從而消除在一定范圍內形成的由經驗固化造成的消極影響.

引導學生突破解題難點

有效的數學解題教學是基于學生認知水平的. 學生認知的最近發展區，是學生的知識生長點，也是數學解題教學的基準點. 根據學生的認知水平實施教學，能引起學生的共鳴，提升學生的興趣，提升教學效能. 在解題教學中，教師的啟發不是告知學生解題過程，而是幫助學生突破難點. 教師應當把自己放在學生的角度，努力理解學生的想法，然后提出一個問題或指出一個步驟，幫助學生跨過思維的“檻”，順利地自主解決問題，獲得成功的體驗和有價值的解題經驗.

例2 已知平行四邊形ABCD的周長是28，過點A作AE⊥DC于點E，AF⊥BC于點F，若AE=3，AF=4，求CE-CF的值.

本題的難點在于沒有圖形，需準確畫出圖形. 難在怎么分類、應分成幾類. 如果畫出的示意圖不符合題意，怎么調整示意圖？在實際教學中，出現了這樣的情況. 第一，如圖3，求得的CF=6-4<0，不符合線段實際情況. 第二，漏解了圖4的解法. 第三，如何引導學生從圖3調整到圖5（含圖4）. 基于以上難點分析，可設計解題認知活動，展開解題過程教學.

問題1：一個周長為28的平行四邊形是確定的嗎？

問題1用于啟發學生體會一個周長為28的平行四邊形是不確定的，四條邊和四個內角都是變量.

問題2：請作出符合已知條件“已知平行四邊形ABCD的周長為28，過點A作AE⊥DC于點E，AF⊥BC于點F，若AE=3，AF=4”的圖形.

對于問題2，根據條件可求得AD=6，AB=8，然后啟發學生進一步認識當平行四邊形內角變化時，所引起的△ABC和△ACD的形狀變化，即會出現鈍角三角形、直角三角形、銳角三角形，導致這兩條高線位置在四邊形內部或外部，從而產生位置分類.

問題3：你能求出哪些線段的長？線段是否都符合實際情況？

學生可求出線段DE，CE，BF，CF的長. 此時教師要引導學生發現在圖3下，CF的值不符合實際情況. 即當CF的值為負數時，說明BF>BC.

問題4：你怎么調整平行四邊形的形狀，使得BF>BC？

引導學生在圖3的基礎上將圖形調整到圖5，從而求解.

解答本題的分類討論不是一蹴而就的，而是經歷去偽存真的發現和循序漸進的突破后逐步形成的. 這種歷經挫折后的調整與變通，并且自然而然想到的解題方法，滲透分類思想，是切合學生需要的自然解法.

注重通性通法，激發思維

做題是為了鞏固概念，要讓學生通過解題慢慢養成從基本概念和基本數學原理出發去思考問題. 而教師講題是教給學生該如何思考，如何突破性地解決問題，從而拓展學生的思維能力，即教給學生“思維之道”. 所以，教師在講題時首先要介紹思維上最經濟、解題思路也可以“程序化”的“通性通法”，引導學生從題目所涉及的基本概念上尋找思路，激發思維，學會一題多解、一題多思、一題多變，從而培養學生思維的靈活性和創造性.

例3 如圖6，以等腰三角形ABC的底邊BC為直徑的⊙O分別交兩腰AB，AC于點D和點E，連接DE，求證：DE∥BC.

首先引導學生思考“要證明兩條線段平行，有哪些方法”，啟發學生思考證明線段平行的一般方法；然后繼續引導學生思考“在本題條件下，你有哪些可以證明DE∥BC的方法”，以啟發學生的發散思維.

方法1：要證明DE∥BC，只需證明∠ADE=∠ABC，那么由∠ADE=∠C，∠ABC=∠C可得證.

方法2：要證明DE∥BC，只需證明∠BDE+∠ABC=180°，由∠BDE+∠C=180°可得證.

方法3：如圖7，連接BE，要證明DE∥BC，只需證明∠DEB=∠EBC，由∠ABC=∠C得弧DC等于弧BE，則弧EC等于弧DB，得證.

方法4：如圖8，連接AO，則AO⊥BC，要證明DE∥BC，只需證明AO⊥DE，則只需證明AO平分弧DE. 由∠B=∠C得弧DC等于弧EB，則弧BD等于弧EC，則AO平分弧DE.

……

以上多種方法，既為學生在思維上歸納了證明兩條線段平行的一般方法，即證“同位角相等”“內錯角相等”“同旁內角互補”“垂直于同一條直線”，又在證明過程中鞏固了“圓周角定理”“垂徑定理”“圓內接四邊形”等知識，讓學生充分體會到圓是基本圖形，這些性質根據圓的對稱性引入，是圓的軸對稱性與旋轉不變性具體化內容的體現. 同時，也是轉化線段相等、角相等、弧相等的有效工具，是聯系直線、曲線、角等不同圖形的橋梁. 以此題為載體，向學生呈現了解題教學的一般性思路：對能證明某一結論的各種途徑先做思考，激發學生的思維，再選擇哪個能求，繼而進一步求解.

章建躍博士說：“解題教學中，要使學生逐步養成從基本概念、基本原理及其聯系性出發思考和解決問題的習慣，這是發展學生思維能力的正道. ”所以，數學教師一定要在解題教學中教會學生合理自然地數學思考，讓學生通過一道題理解一大類題，能“舉一反三”.