新型球面并聯人形機器人踝關節機構靜力學性能分析

楊 龍 周玉林 馬秋明

1.燕山大學機械工程學院，秦皇島，0660042.一重集團天津重工有限公司，天津，300300

新型球面并聯人形機器人踝關節機構靜力學性能分析

楊 龍1周玉林1馬秋明2

1.燕山大學機械工程學院，秦皇島，0660042.一重集團天津重工有限公司，天津，300300

采用拆桿法建立機構的靜力學平衡方程，考慮構件彈性，利用小變形疊加原理建立機構的變形協調補充方程，進而完成二自由度并聯人形機器人踝關節機構的靜力學分析。通過數值計算，得到在三種外載荷下構件上的各力與機構位姿的關系圖。結果表明:外載荷為純力時，支鏈1的受力很小，支鏈2的受力近似為零，而中心球面副支鏈的受力近似等于外載荷;外載荷為純力矩時，三個支鏈的受力情況相似;外載荷為力和力矩時，支鏈1、支鏈2的受力情況與外載荷為純力矩時的受力情況相似，中心球面副支鏈的受力為前兩種情況的疊加。外載荷中的力成分主要由中心球面副支鏈承載，力矩成分由三個支鏈共同承載。該研究為該人形機器人踝關節機構在工程中的結構設計與應用提供了靜力學參考。

人形機器人；踝關節機構；靜力學；變形協調方程

0 引言

人形機器人是機器人技術領域最活躍的分支之一，而踝關節設計是人形機器人機械本體設計中的關鍵部分。

ALFAYAD等[1]提出了一種用于人形機器人踝關節的新型三自由度混聯機構。SELLAOUTI等[2]提出了可以作為人形機器人關節的三自由度機構和具有并聯髖關節、踝關節的雙足機器人ROBIAN。VERRELST等[3]設計完成了由人工肌肉驅動的雙足機器人LUCY，但是它的靈活控制較難實現。BUSCHMANN等[4]設計了一種用于雙足機器人LOLA踝關節驅動的多連桿機構。俞志偉等[5]通過對人的踝關節運動機理分析，設計了一種新型的雙足機器人踝關節并聯機構。

目前，少自由度并聯機構靜力學方面的研究已經取得一定進展。李永剛等[6]利用虛功原理，建立了少自由度并聯機構輸入和輸出廣義力間的完整映射；崔冰艷等[7]采用虛功原理建立了一種基于二自由度正交球面并聯機構的農業機器人新型肘關節的靜力學傳遞方程；吳孟麗等[8]在傳統的虛位移原理法中引入影響系數，并將其與廣義坐標結合，分析了一種三自由度并聯機器人的靜力學問題；BIDAULT等[9]基于用圓柱副替換鏈接轉動副的轉換機構法，解決了一種三自由度并聯機構的超靜定問題，求得了每個構件的受力；周玉林等[10-11]利用彈性小變形疊加原理完成了三自由度、二自由度球面并聯機構的靜力學分析。

筆者提出一種二自由度并聯人形機器人踝關節機構，該機構為8次超靜定機構。本文采用拆桿法，建立了該機構的靜力學平衡方程；基于構件彈性，利用小變形疊加原理建立變形協調補充方程；對二自由度并聯人形機器人踝關節機構進行靜力分析，求得機構中任意一點處的力、力矩與機構外載荷、機構位姿的解析關系。

1 二自由度并聯人形機器人踝關節機構

如圖1所示，二自由度并聯人形機器人踝關節機構由三個運動支鏈組成。

1.動平臺 2.弧形叉 3.拉桿Ⅰ 4.驅動滑塊Ⅰ 5.機架 6.驅動滑塊Ⅱ 7.拉桿Ⅱ圖1 新型球面并聯人形機器人踝關節機構Fig.1 Novel spherical parallel humanoid ankle mechanism

支鏈2由機架、驅動滑塊Ⅱ、拉桿Ⅱ和動平臺組成。拉桿Ⅱ由通過轉動副B2連接的上下拉桿組成，轉動副的軸線沿拉桿Ⅱ的長度方向。拉桿Ⅱ的上端、下端分別通過U副A2、U副C2與驅動滑塊Ⅱ、動平臺相連接。在初始位姿時，驅動滑塊Ⅱ的軸線和拉桿Ⅱ的軸線組成的平面垂直于弧形叉的平面。

支鏈3為機架和動平臺組成的中心球面副支鏈。在驅動滑塊Ⅰ和Ⅱ的驅動下，動平臺可以實現兩個方向的擺動。

機構的公共約束數λ=0，階數d=6-λ=6，冗余約束數υ=1，局部自由度數ζ=0，構件數n=8，運動副數g=9，代入修正的Kutzbach-Grübler公式，求得機構的自由度

(1)

取中心球面副的球心點O為坐標原點,建立與機架固連的固定坐標系OXYZ，其中，Z軸與機架軸線重合，指向豎直向下，Y軸與支鏈1的轉動副軸線重合，指向如圖1所示，X軸由右手法則確定。

2 靜力學平衡方程

將踝關節機構受到的外載荷簡化為過球心的力F和作用在動平臺上的力矩M。將踝關節機構中所有的活動構件分離出來，分別建立其靜力學平衡方程(不考慮摩擦和重力)。

(1)動平臺與弧形叉的兩個連接點處分別受三個力和兩個力矩的作用，即F11、R11、P11、Mf11、Mr11和F12、R12、P12、Mf12、Mr12；動平臺與拉桿Ⅱ的連接點處受到一個力R21的作用；動平臺與機架的連接點(球心點)受到三個力F3、R3、P3的作用；u1i、v1i、w1i(i=1,2)和u21、v21、w21和u3、v3、w3分別為固定坐標系下的單位方向矢量，如圖2所示。平衡方程為

(2)

式中，r為弧形叉半徑。

圖2 動平臺受力模型Fig.2 Mechanical model of the moving platform

(3)

圖3 弧形叉受力模型Fig.3 Mechanical model of the arc-shaped fork

(4)

式中，l1為拉桿Ⅰ的長度。

圖4 拉桿Ⅰ受力模型Fig.4 Mechanical model of the drawbar Ⅰ

(5)

式中，l2為驅動滑塊Ⅰ軸線到方向向量v14的距離。

圖5 驅動滑塊Ⅰ受力模型Fig.5 Mechanical model of the drawing slider Ⅰ

(6)

圖6 拉桿Ⅱ受力模型Fig.6 Mechanical model of the drawbar Ⅱ

(7)

式中，l3為驅動滑塊Ⅱ軸線與拉桿Ⅱ軸線之間的距離。

圖7 驅動滑塊Ⅱ受力模型Fig.7 Mechanical model of the drawing slider Ⅱ

由以上方程得到30個獨立的靜力學平衡方程。該機構具有8個過約束，超靜定次數為8，需要補充8個變形協調方程。

3 變形協調方程及方程組求解

為了便于研究，不考慮各轉動副處的變形和間隙，并采取以下假設：連續性假設即認為組成固體的物質毫無空隙地充滿了固體的幾何空間；均勻性假設即認為從構件內任取一部分，不論其體積大小如何，其力學性能完全相同；各向同性假設即認為固體在各個方向上的力學性能完全相同；除動平臺為剛體外，機構的其他構件滿足彈性小變形條件。

3.1 支鏈1傳遞到動平臺的變形

驅動滑塊Ⅰ的變形遠遠小于拉桿Ⅰ的變形，忽略不計。拉桿Ⅰ通過弧形叉傳遞到動平臺的變形遠遠小于弧形叉直接傳遞到動平臺的變形，所以，只考慮弧形叉的變形。

弧形叉的半徑相對其截面尺寸較大，所以將弧形叉等效為直桿來分析它的變形[12]。弧形叉的軸向壓縮(拉伸)變形和垂直桿件方向的剪切變形相對于扭轉變形和彎曲變形而言較小，忽略不計。同時，轉動副B1處的作用力對弧形叉的扭轉變形和彎曲變形沒有影響，忽略不計。為便于描述弧形叉的變形，將其拆分為桿1-1和桿1-2兩段進行研究，如圖8所示。

圖8 弧形叉示意圖Fig.8 Sketch of the arc-shaped fork

圖9 桿1-i簡化模型Fig.9 Simplified model of rod 1-i

Msi(φ)、Mmi(φ)、Mni(φ)為上述作用力引起的桿1-i任意截面φ處的力矩。當φ=90°時，Msi(φ)引起的扭轉變形為θsi；Mmi(φ)引起的撓度變形為νmi、轉角變形為θmi；Mni(φ)引起的撓度變形為νni、轉角變形為θni。

所以，桿1-1和桿1-2與動平臺連接點的線位移、可傳遞到動平臺的角位移分別為

(8)

(9)

3.2 支鏈2傳遞到動平臺的變形

在支鏈2的變形中，驅動滑塊Ⅱ的變形遠遠小于拉桿Ⅱ的變形，所以不考慮滑塊的變形。拉桿Ⅱ所受的作用力為軸向拉力，設上拉桿、下拉桿的拉伸變形分別為Δ21、Δ22。

三條支鏈的變形會使動平臺產生微小的位姿調整，上拉桿相對于驅動滑塊Ⅱ沿u24、v24方向分別存在一個牽連角位移e21、e22，下拉桿相對于上拉桿沿w23方向存在一個牽連角位移e23，則上下拉桿的實際角位移分別為

(10)

由牽連角位移引起上下拉桿產生的線位移分別為

(11)

式中，l4、l5分別為上拉桿、下拉桿的長度。

根據小變形疊加原理，下拉桿與動平臺的連接點處的線位移、角位移分別為

(12)

3.3 支鏈3傳遞到動平臺的變形

圖10 機架的簡化模型Fig.10 Simplified model of rack

Δ3=vf3u3+vr3v3+vp3w3

(13)

3.4 動平臺角位移與球心點線位移

踝關節機構三條支鏈的變形會使動平臺產生微小的位姿調整，假設動平臺相對于機架沿u3、v3、w3方向的角位移分別為e01、e02、e03，則動平臺的角位移、動平臺與弧形叉的兩個連接點的角位移可以表示為

(14)

動平臺為剛體，球心點的線位移Δ0是唯一的。三條支鏈與動平臺連接處的線位移與動平臺角位移的關系如圖11所示。

圖11 位移矢量關系Fig.11 Relationship between displacement vectors

所以，球心點的線位移有以下4種表達形式：

(15)

動平臺上每一點的角位移相等，并且每一支鏈對應的球心點的線位移相等，即

(16)

聯立式(2)～式(7)、式(16)的第一、三、四式，可得38個獨立方程，用Maple軟件求得全部38個未知力和未知力矩。

分別對各個運動副處的力和力矩的矢量和求模，可得到各個運動副處的合力和合力矩。

4 單位外載荷下構件上力的數值計算

取機構的參數如下：弧形叉半徑r=70 mm，截面尺寸h=10 mm、b=10 mm，上下連桿長度l4=l5=10 mm，機架直徑d=10 mm，長度l6=170 mm，材料為45鋼。

限于篇幅，在此給出3種外載荷下，動平臺繞X0軸、Y0軸的旋轉角度φX、φY分別在[-π/4，π/4]內，計算步長為π/30，支鏈1中3個轉動副A1、B1、C1處的力f1j和力矩M1j(j=1,2,3)，支鏈2的拉力f2，支鏈3球心點處的力f3分別與機構位姿φX、φY的變化關系圖。

(a)力f11

(b)力f12

(c)力f13

(d)力矩M11

(e)力矩M12

(f)力矩M13

(g)力f3

(a)力f11

(b)力f12

(c)力f13

(d)力矩M11

(e)力矩M12

(f)力矩M13

(g)力f2

(h)力f3

(a)力f11

(b)力f12

(c)力f13

(d)力矩M11

(e)力矩M12

(f)力矩M13

(g)力f2

(h)力f3

結果表明：外載荷為純力時，支鏈1的受力很小，支鏈2的受力為零，而中心球面副支鏈的受力近似等于外載荷；外載荷為純力矩時，三個支鏈的受力情況相似；外載荷為力和力矩時，支鏈1、支鏈2的受力情況與外載荷為純力矩時的受力情況相似，中心球面副支鏈的受力為前兩種情況的疊加。外載荷中的力成分主要由中心球面副支鏈承載，力矩成分由三個支鏈共同承載。

5 結論

(1) 提出了一種新型球面并聯人形機器人踝關節機構，并解決了其靜力學8次超靜定問題。

(2) 得到在三種外載荷條件下構件上的力、力矩與機構位姿的關系圖，形成該踝關節機構靜力計算的數學基礎。

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(編輯 袁興玲)

Statics Property Analyses of a Novel Spherical Parallel Humanoid Robotic Ankle Mechanism

YANG Long1ZHOU Yulin1MA Qiuming2

1.School of Mechanical Engineering, Yanshan University，Qinhuangdao，Hebei,066004 2.CFHI Tianjin Heavy Industry Co., Ltd.，Tianjin，300300

By the dismantle-bar method, the statics equilibrium equations of the mechanism were set up, considering the elasticity of member and then utilizing the micro-deformation and superposition principle, the deformation equations of compatibility were derived and then the statics analyses of the 2-DOFs parallel humanoid robotic ankle mechanism were fulfilled. As a numerical example, some figures which showed the relationship among each force on each member and the position and posture of the mechanism were drawn under three kinds of external loads, respectively. The results show that, under the external forces only, the forces acting on branched chain 1 are very small, the forces acting on branched chain 2 are approximately zero, and the forces acting on central spherical pair branched chain approximately equal to the external force. Under the external torques only, the force conditions of three branched chains are similar. Under external forces and torques, the force conditions of branched chain 1, 2 are similar to the force conditions that under the external torques only, the forces acting on central spherical pair branched chain are the superposition of the two forces in the above two cases. The force portions of external load are mainly carried by central spherical pair branched chain, the torque portions are jointly carried by three branched chains. The research provides a theoretical basis of statics for structure design and applications of this humanoid robotic ankle mechanisms in engineering．

humanoid robot; ankle mechanism; statics; deformation equation of compatibility

2016-05-18

國家自然科學基金資助項目(51275443)

TP24

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.07.013

楊 龍，男，1988年生。燕山大學機械工程學院博士研究生。主要研究方向為人形機器人及仿生學。周玉林(通信作者)，男，1961年生。燕山大學機械工程學院教授、博士研究生導師。E-mail：zyl@ysu.edu.cn。馬秋明，男，1988年生。一重集團天津重工有限公司助理工程師。