關(guān)于高等數(shù)學極限部分教學的幾點改進

趙文雯

極限既是整個高等數(shù)學的基礎(chǔ)，也是學生在學習高等數(shù)學中接觸的第一個和初高中掌握的概念形式不同的知識點。如果極限的概念和應用掌握不好，一方面對于后續(xù)的導數(shù)、積分等概念難以理解，還極易產(chǎn)生厭學的情緒。本文根據(jù)極限部分知識特點，針對極限概念引入及極限求解等方面給出了相關(guān)的教學改進建議，以達到引起學生興趣，便于學生理解和應用的目的。

高等數(shù)學是指相對于初等數(shù)學而言，數(shù)學的對象及方法較為繁雜的一部分。廣義地說，初等數(shù)學之外的數(shù)學都是高等數(shù)學，也有將中學較深入的代數(shù)、幾何以及簡單的集合論初步、邏輯初步稱為中等數(shù)學的，將其作為中小學階段的初等數(shù)學與大學階段的高等數(shù)學的過渡

極限作為高等數(shù)學中最先引入的知識點，既是難點也是重點，如果極限的概念和應用掌握不好。一方面對于后續(xù)的導數(shù)、積分等概念難以理解，還極易產(chǎn)生厭學的情緒。同時，除本科數(shù)學專業(yè)開設(shè)數(shù)學分析課程外，很多學習高等數(shù)學課程的專業(yè)并非數(shù)學類專業(yè)，因此學生本身的不重視加上課程有一定難度，經(jīng)常會導致學生成績不理想的結(jié)果，因此對于高等數(shù)學基本概念，極限的引入與展開是一個值得深入探索的課題。

我國高校高等數(shù)學課程的教學水平各不相同，根據(jù)以往的研究發(fā)現(xiàn)，目前在高等數(shù)學課程的開設(shè)方面，仍然存在著許多問題，就課程的內(nèi)容而言，高等數(shù)學課堂上教師在教學中向?qū)W生灌輸大量的“定義、定理、推導、證明、計算”等，而對于概念的深入思考卻十分欠缺，導致概念與習題不能有效的對接，學生忽略對于理論本身的理解，進而在遇到更復雜的知識點時難以掌握，只能靠硬背來學習數(shù)學。據(jù)此，本文結(jié)合高等數(shù)學課程教學中遇到的問題，結(jié)合實際教學經(jīng)驗，提出如下三方面的教學改進方案。

多角度詮釋極限的概念

極限在高等數(shù)學中的定義與在中學階段的“趨近于”之類描述是有差別的，學生第一次接觸用數(shù)學語言描述的極限定義，對于此類定義的理解有一定困難，因此在講授過程中重復性的強調(diào)是必須的，但單純的重復容易引起學生的厭學心理，因此需要從極限定義人手，除了書本上經(jīng)常出現(xiàn)的以數(shù)軸為基礎(chǔ)的幾何描述方式外，積極探索不同角度的描述該概念的方法，讓同學們可以根據(jù)自己的思維方式選擇某一個角度對極限概念進行理解。

事實上，一直以來同學們對于函數(shù)的學習，遠多于對數(shù)列的學習，因此可以考慮將數(shù)列看做定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，在二維平面中表示出數(shù)列，以體現(xiàn)極限定義的趨近效果，而非單純從一個數(shù)軸上進行幾何方面的觀察。如圖1中，以xn=1/n為例。

當用圖1中函數(shù)形式表示數(shù)列極限時，和同學們一直以來常見的圖像表示函數(shù)的視覺效果類似，通過實踐表明，很大一部分同學對該圖示的理解效果比對數(shù)軸形式的幾何描述理解效果更好。同時，在數(shù)列極限之后講解函數(shù)極限時，將圖1中的點直接連起來即可，兩個概念從圖像上看相關(guān)性更強，不會有脫節(jié)的感覺，同學們學習起來也更加流暢。

注重結(jié)論在實踐問題中的應用

生活離不開數(shù)學，數(shù)學離不開生活，數(shù)學知識源于生活而高于生活，最終服務于生活。數(shù)學就是人們用來解決實際問題的重要手段之一。在極限教學中，很多我們最早用來引出的極限的實例，其實通過后續(xù)的學習都是可以驗證的，只是教材上沒有體現(xiàn)，很多老師在講授的過程中也并沒有在意。同學們學習的過程中如果不能帶著問題去學習，學過了一些結(jié)論，不能用來解釋心中的問題，那么這種填鴨式教學，最終的教學效果也很難保證。因此在教學過程中如果可以積極的探索各個結(jié)論之間的相互印證，發(fā)現(xiàn)其中教材上并未體現(xiàn)的內(nèi)在聯(lián)系，那么學生的學習過程也會經(jīng)常遇到驚喜，進而培養(yǎng)學生的數(shù)學思維，刺激學生主動思考。

舉例來說，在學過第一個重要極限之時，學生會發(fā)現(xiàn)該極限與正弦函數(shù)有關(guān)，并且該極限的證明過程借助了圓形，在這樣的背景下，實際上可以借助第一重要極限反過來證明正多邊形趨近于圓，可以通過對圓的內(nèi)接正n邊形面積求極限，驗證該面積趨近于圓的面積；也可以通過對圓的內(nèi)接正n邊行周長求極限，驗證周長趨近于圓的周長；具體推導過程在借助第二重要極限的基礎(chǔ)上并不困難，不在此贅述。事實上，在進行了上述求解后，還可以提出問題：周長相等、面積相等的兩個平面圖形就是一樣的嗎？以此來引起學生學習數(shù)學的興趣，而對此問題最直接的解釋就是：周長相等的平面圖形，圓形的面積最大。

四、綜合整理極限的各種求解方式

在學生學習高等數(shù)學第一章時，最重要的考點就是求極限。而求極限問題情況多變，方法多樣。在教學中需要積極尋求有規(guī)律的求解思路，根據(jù)不同類型題目總結(jié)各種方法對應的類型題目，綜合實際問題進行系統(tǒng)的講解。為后期學習其他求極限方法做鋪墊。

通過對求極限方法與各類情況的初步總結(jié)，可暫時給出如下思路步驟：

1）直接將趨勢代入。當極限值為以下情況時可以直接得到結(jié)果：O，c，C/O，O/C，c/∞，∞/c，∞（其中c為非零常數(shù)）；

2）如果代入后不能得到以上形式的結(jié)果，則需要進行整理，常用手段如下：

①O/O型：約分、有理化、等價無窮小。

②∞/∞型：抓大頭法、同除xa。

③冪指函數(shù)：第二個重要極限。

④數(shù)列形式：求和公式、分解抵消、夾逼準則。

⑤其他形式：多個項相加減時嘗試通分。

3）利用第二步中的常用技巧處理原問題后再重復第一部代入嘗試求解，如果不可行，再繼續(xù)第二部，直到得到最終結(jié)果。

以上求解步驟隨著高等數(shù)學后續(xù)深入學習，還會有其他方法加入進來，在此框架下，當遇到其他求解方法時只要加入以上步驟即可，學生最終復習時可以作為統(tǒng)一的求解思路，指導自己進行求極限的復習。

綜上所述，極限作為高等數(shù)學的第一部分，其引入與講授對于學生掌握高等數(shù)學思想，養(yǎng)成適合自己的數(shù)學學習方法是尤為重要的。因此本著培養(yǎng)實踐型人才的理念，在單一的傳統(tǒng)教學方式下進行教學上的創(chuàng)新，以極限的概念為切入點，尋求一些促進學生學習興趣，打好高等數(shù)學學習基礎(chǔ)的教學改進方法是很有意義的，并且是十分必要的。

本文初步給出了三種教學改進方法，并給出了具體的例子及總結(jié)。通過對極限的概念多角度的詮釋，使得學生初學高等數(shù)學時容易接受，并養(yǎng)成開拓思維；通過與實踐問題的結(jié)合，使得學生對知識點的應用更加靈活，理解更加深刻；通過對求極限方式的總結(jié)，使得學生對求極限的方法建立具體的框架，方便對題目的處理，并養(yǎng)成總結(jié)歸納的思維習慣。作者日后也將繼續(xù)深入研究對于經(jīng)管類專業(yè)高等數(shù)學教學的其他改進方式。