例談解析幾何中的設點和求點策略

福建省廈門松柏中學(361012)

盧云輝●

例談解析幾何中的設點和求點策略

福建省廈門松柏中學(361012)

盧云輝●

解析幾何的解題教學與其說是教“解”法,不如說是教“想”法.幫學生提升策略水平,才是解題教學的根本之道.當兩條曲線相交或相切時,必然關注它們的交點,對待交點存在設點與求點兩種策略.下面就解析幾何中的設點與求點兩種策略作一些整理,便于讀者參考與借鑒.

一、有關中點弦、弦長、兩直線垂直等問題采用設點法

直線與圓錐曲線相交所得弦中點問題.這類問題一般有以下三種類型:(1)求中點弦所在直線方程問題;(2)求弦中點的軌跡問題;(3)求弦中點的坐標問題.其解法有代點相減法(點差法)、設而不求法、參數法和待定系數法等.

解決解析幾何中有關弦長、兩條直線互相垂直、對稱、軌跡、定點等問題時采用設點法和韋達定理配合使用,能使問題化難為易,化繁為簡,從而減少運算量.

(Ⅰ)求C1,C2的方程；

(Ⅱ)設C2與y軸的交點為M，過坐標原點O的直線l與C2相交于點A,B,直線MA,MB分別與C1相交與D,E.求證:MD⊥ME.

(Ⅱ)由題意知，直線l的斜率存在，設為k，則直線l的方程為y=kx.

設A(x1,y1),B(x2,y2)，則x1,x2是上述方程的兩個實根，于是x1+x2=k,x1x2=-1.

又點M的坐標為(0,-1)，所以

故MA⊥MB，即MD⊥ME.

點評 若聯立直線l與曲線求出點D和點E坐標,再去計算kMD·kME的值,計算量較大.而采用設點及設直線就可以利用韋達定理中x1+x2,x1x2,y1+y2,y1y2的某些式子,從而簡化計算過程,減少運算量.

二、問題中具有相同“結構”時采用求點法

數學解題中,接觸到相同“結構”時,若能運用好“同理”思想,尤其在解析幾何中就能回避繁瑣的“雷同”運算.

設A(x1,y1),B(x2,y2)，則x1·x2=1.

故直線OA：y=k1x，直線OB：y=k2x，則k1·k2=-1.

選C.

點評 由已知“過點(1,0)的直線與拋物線y2=x交于A,B兩點”采用設點法推得射線OA⊥OB.下面圍繞直線OA,OB展開分析與運算,求出A,D兩點的坐標, 運用“同理”思想用k2替換k1,很快得到B,E兩點的坐標.求出|OA|,|OD|的表達式,運用“同理”思想很快得到|OB|,|OE|的表達式,使問題獲得解決.其中“同理”思想不僅回避了繁瑣的“雷同”運算,而且簡化了解題步驟,加快了解題速度.

總之,在處理解析幾何問題時,若能選擇性地使用設點法和求點法,不僅能回避繁瑣運算,而且通過構建方程使問題得以巧妙化歸,直奔結果.從而提高學生準確快速的解題能力.

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1008-0333(2017)01-0013-02