例談化歸與轉化的數學思想方法的應用

陳斌

所謂化歸與轉化的數學思想方法，就是指在分析處理問題時，把那些待解決或難解決的問題，通過某種轉化過程，歸結為一類已經解決或比較容易解決的問題，從而求得原問題解答的一種思維方法。它是數學思維方法中的一個重要組成部分。

1944年波利亞發表的《怎樣解題表》，這是數學史上對化歸思想給出具有代表意義的作品，這部作品中體現了運用化歸思想解決具體數學問題的優越性。波利亞認為解決數學問題的具體思維過程分為四個階段：弄清問題、擬定計劃、實現計劃和回顧。這四個階段的思想實質是：理解、轉換、實施、反思。他在表中引出一系列的問題，通過對問題的分析和解決過程，啟發尋找解決問題的途徑。弄清問題、擬定計劃、實現計劃和回顧這種思維過程的核心在于不斷地變換問題，連續地簡化問題，把解決數學問題看成是對問題化歸的過程，最終化歸到已掌握的知識或熟悉的問題上，從而使問題得以解決。

下面就數學教學中遇到的問題舉幾個化歸與轉化的例子。

例1.已知（x-2）+nf（2-3x）=■（m2≠n2），求f（x）的解析式。

簡解：若設輔助函數u=3x-2，則x=■，就可以將已知的等式轉化為mf（u）+nf（-u）=u …（1）

再將（1）式中的u代換為-u，得mf（-u）+nf（u）=-u …（2）

由（1）（2）聯立的關于f（u）和f（-u）的二元一次方程組，容易解出f（u）=■=■ 故f（x）=■。

注：這是一個函數方程問題，一般要轉化為函數方程組的問題來解決。

例2.若關于x的方程x2-mx+2=0在區間[1，2]上有解，求實數m的取值范圍。

簡解：分離參數m，m=x+■ x∈[1，2]，因為y=x+■在[1，■]單調遞減，在[■，2]上單調遞增，所以x∈[■，3]。

注：分離參數后問題轉化成了求函數的值域。

例3.求函數y=ln（x2-2x+3）的值域。

簡解：設t=x2-2x+3，則y=lnt，因為t=（x-1）2+2，所以，t≥2，又y=lnt在[2，+∞）上單調遞增，所以函數單位值域是[ln2，+∞）。

注：通過換元法把問題轉化成兩個基本初等函數的單調性和值域問題。

例4.比較0.70.5和0.70.6的大小。

簡解：因為y=0.7x在R上是減函數，又0.5<0.6，

∴0.70.5>0.70.6

注：構造指數函數，把兩個靜態的數轉化為動態函數的兩個值，用函數的單調性來比較大小。

例5.已知函數f（x）=x2-1+x2+kx。

（1）若k=2，求函數f（x）的零點；

（2）若關于x的方程f（x）=0在（0，2）上有2個不同的解x1，x2求k的取值范圍，并證明■+■<4。

簡解：（1）f（x）=2x2+2x-1，x<-1或x>12x+1，-1≤x≤1

若x<-1或x>1，令2x2+2x-1=0，得x=■或x=■（舍去）

若-1≤x≤1，令2x+1=0，得x=-■，

綜上，函數f（x）的零點為■或-■。

（2）f（x）=2x2+kx-1，1

因為方程2x2+kx-1=0在（1，2）上至多有1個實根，方程kx+1=0，在（0，1]上至多有一個實根，結合已知，可得方程f（x）=0在（0，2）上的兩個解x1，x2中的1個在（0，1]，1個在（1，2）。不妨設x1∈（0，1]，x2∈（1，2），

法一：設g（x）=2x2+kx-1

數形結合可分析出k<0g（1）<0，解得-■0

x1=-■，x2=■

■+■=■，-■

令t=-k，t∈（1，■），■+■=■在t∈（1，■）上遞增，

當t=■時，■+■=4。因為t∈（1，■），所以■+■<4。

法二：由f（x）=0，可知k=-■，0

作出h（x）=-■，0

可得-■

注：（1）函數的零點問題轉化成解方程的問題。

（2）本問是已知方程的實根分布求參數的范圍，法一：轉化為函數的零點問題，數形結合列出不等式組求解，不等式用函數的單調性證明；法二簡潔，歸功于轉化方向，即分離參數，通過新函數的圖象性質來解決。

化歸思想方法是數學的一種重要思想方法，在運用化歸思想方法解決問題并非一成不變的模式，它具有靈活性和多樣性的特點，需要結合問題本身的已知充分發散思維，去探求能夠有效解決問題的途徑和方法，所以學習并能熟練運用劃歸思想，有意識地對問題進行數學變換，從而靈活地去解決相關問題，有助于學生提高對待變化問題的應變能力，從而提高解決問題的能力，最終達到提高數學能力的目的。