小學奧數的“堵”與“疏”

岳亮

【摘要】校外小學奧數的輔導培訓屢禁不止，為何“堵”不住？現階段的“堵”是否不如“疏”？如果可以“疏”，我們該如何進行“疏”？本文從教師教學的角度，通過平均數、和差問題與二元一次方程組的具體教學案例來闡述如何就小學奧數的學習進行有效的“疏”導，最后給出了小學奧數教學時的三點建議，希望能夠給家長和一線教師一些思考與啟發.

【關鍵詞】小學奧數；堵；疏

長久以來，關于小學奧數的存廢問題，一直飽受爭議.一方面，不可否認的是小學奧數確實具有鍛煉學生思維，開拓學生視野的作用；但另一方面，也正如楊樂院士所說的那樣：“奧數強化班可能抹殺孩子對數學的興趣，讓他們失去愉快的童年，而且，對數學能力的培養沒有一點好處，全體學生的奧數狂熱現象不正常也不健康.”確實，近年來奧數熱已經大幅降低，但是，筆者通過在校外三年小學奧數培訓的經歷發現，小學奧數的校外培訓依然普遍存在.這不禁引起筆者的反思：小學奧數的校外培訓為何“堵”不住？既然“堵”不住，我們是否可以進行“疏”導？如果可以“疏”導，我們該怎樣“疏”導？通過對大量文獻的閱讀發現，很少有學者就關于如何具體“疏”導小學奧數的問題進行研究與撰文，更多的是對小學奧數的價值、存在的問題等進行探討.因此，筆者想通過自己的一些切身經歷，通過具體的教學片斷來分析小學奧數如何“疏”導的問題，希望能夠給家長與一線教師一些思考與啟發.

一、小學奧數為何“堵”不住

有研究表明，小學生選擇校外奧數課程的比例在三年級的時候大幅增加.具體地，由一年級時（2008—2009學年）的35.27%，大幅提高到三年級時（2010—2011學年）的6849%，再小幅提高到五年級時（2013—2013學年）的71.25%.

筆者認為，“堵”不住的原因有以下四條：

1.小學數學教材相對簡單.小學階段由于數學知識相對簡單，校內教師為了給學生拔高，因此，會定期布置奧數等相關課外輔導作業.

2.小學數學教材的編制與校內考試機制的設定.以人教版小學數學教材為例，每冊教材的后面章節都會設置數學廣角，本意上數學廣角的設置是為了促進學生進行更深層次的思考、鍛煉思維，但是相對有較難的數學廣角變相上也給學生及家長提供了一個進行奧數學習的理由；不僅如此，很多小學進行校內考試時都會有附加題，不管是相對較難的數學廣角還是考試時的附加題，都是刺激學生及家長的一根導火線.

3.“父母之愛子，則為之計深遠.”從筆者的從教經驗來看，讓孩子學習奧數的家長的動機大致分為兩種：（1）孩子成績相對優秀，這部分家長希望借此讓孩子更上一層樓、進一步開闊視野，為以后進入初、高中的重點學校學習加碼；（2）孩子成績相對薄弱，這一部分家長則寄希望于奧數教師能夠通過趣味數學喚起學生對數學學習的興趣，進而提高他們在學校的數學成績.

4.奧數輔導用書中的趣味數學部分對于學生的吸引.

因此，鑒于以上四條理由，筆者認為“堵”不如“疏”.下面通過具體的教學片段，從教師教學方面來闡述如何從小學數學到小學奧數以及小學奧數背后更深層次的初中數學簡單知識的疏導與過渡.（文中小學、初中數學教材均為人教版，小學奧數教材則為《舉一反三A版》）

二、小學奧數該如何“疏”

以小學階段平均數、和差問題與初中階段二元一次方程組的具體教學過程為例，將整個教學過程劃分出三個片斷加以說明，來闡述如何就小學奧數的學習進行有效的“疏”導.

原題 有4箱水果，已知蘋果、梨、橘子平均每箱42個，梨、橘子、桃平均每箱36個.蘋果和桃平均每箱37個.求一箱蘋果多少個？一箱桃多少個？

題目分析 本題涉及四年級的平均數與三年級的和差問題及五年級奧數中平均數的知識，通過對和差問題的具體講解，可以進一步過渡到初一下冊二元一次方程組的簡單理解.

教學分析 本課的教學安排主要遵從兒童心理學家皮亞杰的“認知發展理論”和維果斯基的“最近發展區理論”.

1.皮亞杰的“認知發展理論”

（1）0～2歲為感知運動階段：兒童的主要認知結構是感知運動圖式.

（2）2～7歲為前運思階段：兒童將感知動作內化為表象，建立符號功能，可憑借表象進行思維.

（3）7～11歲為具體運思階段：兒童的認知結構由前運算階段的表象圖式演化為運算圖式.該時期的心理操作著眼于抽象概念，但思維活動需要具體內容的支持.

（4）11歲至成人為形式運思階段：兒童思維發展到抽象邏輯推理水平.

五年級的學生正是處于具體到抽象的過渡時期，和差問題的一般求解方法（畫線段圖）可以鍛煉其具體運算能力，而二元一次方程組（字母）的簡單解法了解，則更進一步培養其抽象思維能力.

2.維果斯基的“最近發展區理論”

認為學生的發展有兩種水平：一種是學生的現有水平，指獨立活動時所能達到的解決問題的水平；另一種是學生可能的發展水平，也就是通過教學所獲得的潛力.兩者之間的差異就是最近發展區.教學應著眼于學生的最近發展區，為學生提供帶有難度的內容，調動學生的積極性，發揮其潛能，超越其最近發展區而到達下一發展階段的水平，然后在此基礎上進行下一個發展區的發展.

平均數、和差問題、簡易方程分別是人教版四、三、五年級的知識，但是我們發現在簡易方程知識的基礎上，通過和差問題的解法卻可以作為學生初步了解初一下冊二元一次方程組知識的橋梁，適當地增加難度，給學生架構一座橋梁，激發學生的學習潛力和探索欲望.

學情分析 五年級的學生已經習得過平均數、和差問題、簡易方程等相關知識.

重難點分析 重點：平均數知識的文字語言向圖形語言的轉化、和差問題的求解方法；難點：平均數知識的文字語言向圖形語言的轉化.

教學過程

（片段1：解答題中平均數方面知識）

師：平均數的知識我們在四年級就學過：平均數=總數量÷總份數，那么這道題我們該如何求解呢？

生：42×3.

師：42×3是什么意思？

生：是1箱蘋果、1箱梨、1箱橘子的總數.

師：恩，很好，然后呢？

生：然后36×3是1箱梨、1箱橘子、1箱桃的總數.

師：非常好，那么知道總數之后我們該如何求1箱蘋果和1箱桃的個數呢？

（學生陷入沉思……）

師：（適當點撥）老師說過，當我們做數學遇到困難時，應將題目的文字語言轉化成符號語言，進而最好可以畫個圖，通過符號與圖形語言，更加直觀地幫助我們解題.

（學生紛紛拿紙作圖，寫出如下算式和畫出圖1）

1箱蘋果+1箱梨+1箱橘子=42×3=126；

1箱桃+1箱梨+1箱橘子=36×3=108.

圖1

（片段2：由平均數知識到和差問題的解決）

（學生仍然在苦思冥想，絕大多數學生還是沒有想出答案）

師：（進一步點撥）仔細觀察你們列的算式和畫的圖，看看能發現什么？

生：梨和橘子有重復.

師：很好，我們是不是發現梨和橘子既在第一條橫線上，又在第二條橫線上，而兩條線的數字和還不一樣，所以，我們又得出了什么？（如圖2）

圖2

生：蘋果比桃多了18個.

師：18是怎么出來的？

生：126-108=18，梨、橘子是一樣的.

師：非常好，那我們現在就得到了1箱蘋果-1箱桃=18，這樣能做出最后的答案了嗎？

生：不能.

師：那怎么辦？

生：還有一個條件沒用.

師：很好，我們看題目中是不是還有一個條件：1箱蘋果+1箱桃=37×2=74.所以，我們現在的條件就有兩個：1箱蘋果+1箱桃=74，1箱蘋果-1箱桃=18，這是什么？

（學生在回憶……）

師：有和有差，這叫什么？

生：和差問題！

師：非常好，那么現在就可以用和差問題的方法解答了.

（學生紛紛畫出和差問題的圖形，進行解答，如圖3，列出算式：1箱蘋果=（74+18）÷2=46；1箱桃=46-18=28）

圖3

師：很好，根據題目已知，把最初的平均數問題變成了和差問題，通過線段圖最終求解.

（片段3：聯系和差問題與二元一次方程組之間的聯系，適當拓展）

師：（進一步追問）上述問題中我們得到“1箱蘋果+1箱桃=37×2=74，1箱蘋果-1箱桃=18”這兩個算式，如果老師將其中的蘋果改成籃球，桃改成足球，即1框籃球+1框足球=74，1框籃球-1框足球=18，可以算出1框籃球和足球的個數嗎？

生：可以，答案一樣的.

師：很好，那如果換成鉛筆和橡皮擦呢？

生：答案還是一樣.

師：很好，也就是說只要算式中的加減等號不變，蘋果和桃這兩個名詞可以隨便換，并且最后的結果不會發生變化，那同學們再好好思考一下，既然這兩個名詞可以隨便換，那老師可不可以換成字母呢？比如，a+b=74，a-b=18，這里的a，b代表什么？a，b的結果又是什么呢？

生：a就是蘋果，b就是桃.結果和原來一樣.

師：非常好，這里的字母a，b是不是就相當于我們五年級之前學過的用字母表示數——簡易方程呢？

生：恩，是的，老師，只不過我們沒有學過2個字母，這要怎么算呢？

師：這個問題提得很好，這要怎么算呢，難道每次都要用和差問題嗎？這樣會不會顯得太麻煩了.所以我們會用到一些簡單的方法.首先，老師想問你們，1+1=2，對嗎？

生：對啊，沒錯.

師：很好，你們看，這里的等號就像是一個天平，左右兩邊的東西一樣多，所以它能保持平衡.那么老師再問你們：1+1=2，2+3=5，1+1+2+3=2+5對嗎？

生：是的.

師：你們看，這里是不是像有兩個平衡的天平，把兩個天平的左邊全部放在一起，然后把兩個天平的右邊也全部放在一起，它們仍然能夠保持平衡！

生：（學生恍然大悟）哦，老師，我知道了，也就是說a+b+a-b=74+18，然后算式中加一個b，又減去一個b，所以b就沒有了，a=（74+18）÷2=46，這和上面和差求解的結果是一樣的！

（學生們很驚訝，原來這題也可以這樣做！）

師：是的，這就是你們以后要學的方程的求法，這里老師就不過多展開了，你們要明白，方法之間都是有聯系的，做數學題時方法有很多，一定要活學活用！

教學反思 這是一道最基本的五年級平均數方面的小學奧數題，但是我們卻發現，通過這道題目，我們不僅鍛煉了學生畫圖的直觀能力，還初步培養了學生關于字母求解的抽象思維能力，更重要的是在小學數學與小學奧數過渡的同時，很自然地又與初中知識聯系在了一起，體現了數學知識編排上的螺旋式上升機制，然而在教學過程中，并沒有提及二元一次方程組等相關概念，所以在增加趣味、拓展視野、滲透數形結合等數學思想方法時，并沒有給學生增加額外的負擔.

三、小學奧數教學的一點建議

根據《九年義務教育全日制小學數學教學大綱（試用）》規定：“小學數學是義務教育的一門重要學科.從小給學生打好數學的初步基礎，發展思維能力，培養學習數學的興趣，養成良好的學習習慣，對于貫徹德、智、體全面發展的教育方針，培養有理想、有道德、有文化、有紀律的社會主義公民，提高全民族的素質，具有十分重要的意義.”

“安排教學內容要注意留有余地，增加靈活性.在編排時要根據數學知識的內在聯系，學生的年齡特征和認識規律，循序漸進，螺旋上升，處理好數和形的關系以及各部分內容之間的關系，突出基本概念和基本規律，建立合理的教材結構，以利于提高教學效率.”大綱明確規定數學興趣、學習習慣、知識的螺旋上升結構、數與形等，基于此，從教師教學的角度提出以下三點建議：

1.數學史、數學文化的融入，興趣培養是第一要務.“學習愿望是學生學習活動的重要動機.列寧寫道：沒有‘人的愿望，就從來沒有，也不可能有人對于真理的追求.在教學過程中產生的兒童的良好情緒，對于培養學習愿望起很大的作用.”數學的學習不是一朝一夕，進行奧數學習的學生水平也參差不齊，相對較難的奧數學習不能抹殺了學生對于數學學習的興趣，相反，通過教師的引導，趣味數學、數學史、數學文化的引入，把學生的學習熱情調動起來，變被動學習為主動探究.

2.拒絕難、偏、怪.事實上，絕大多數學習奧數的學生，并不寄希望于奧數比賽的獲獎，他們更希望在鞏固、提高學校數學成績的同時，開闊視野，更加靈活地、多角度地對問題進行思考.把每個學奧數的學生都當成數學奧林匹克冠軍培養，這是不合理的.耶基斯-多德森定律表明：動機的最佳水平隨任務性質不同而不同.隨任務難度的增加，動機的最佳水平有逐漸下降的趨勢.也就是說，中等強度的動機最利于任務的完成.題目偏難、偏怪只會增加學生的厭煩情緒與焦慮感，不利于中等強度的培養，不利于學生的成長，所以應根據學生情況適當引導，點到即止，不宜過深.

3.過程性評價與結果性評價的有機結合.教育心理學家班杜拉的自我效能感指個體對自己是否有能力完成某一行為所進行的推測與判斷.也就是說，當學生在學習某個東西之前，自己首先會對自己是否能夠做好這件事有個簡單的判斷.教師只注重結果性評價，勢必會給學生造成不必要的信心挫敗.久而久之，會讓學生形成一種我學不好奧數，甚至學不好數學的心理暗示，這將嚴重干擾到學生對于未來數學學習的信心，不利于其潛能的發揮.因此，教學過程中思維的啟發、言語的鼓勵、學習習慣的培養等過程性評價則顯得更為重要！

小學奧數的學習不是為了培養做題的機器，更不是為了“陵節而施”，作為家長，追求低齡化的入學和把其作為進入重點中學學習的敲門磚都是不可取的.作為教師，這一部分的教學上更應該注重的是引導、激發學生數學學習上的興趣，培養學生良好的數學學習的思維習慣.與其刻意地回避與“堵”，倒不如進行適當的“疏”，讓學生們擁有一個更加美好的未來！