高中數學“問題串”教學的思考

鮑慧

【摘要】在數學課堂教學中，積極采用“問題串”教學法，對提高課堂教學效率和質量，提升學生的綜合學習能力，具有極為重大且現實的意義.筆者結合自身的教學實踐，就如何具體應用“問題串”，提出幾點意見，僅供參考.

【關鍵詞】高中數學；問題串；思考

愛因斯坦說過：“問題是數學的心臟.”在課堂教學過程中，問題是促進師生互動交流，實現教學目標的一個重要載體.科學合理的問題串，是提升課堂效率與質量的有效手段，在高中數學課堂教學過程中，積極采取問題串教學法，有助于課堂教學有效性、學生思維能力和獨立思考能力的培養.所謂問題串教學，就是指在教學過程中，教師結合教學內容，圍繞一定的目標和某個中心問題，根據學生學習的心理特點、認知水平、思維方式以及知識點的層層深入，設計不同的問題，并按照一定的邏輯結構將其有序地組合起來，形成一個完整的系列，以正確引導學生探索知識，啟發學生積極思維.“問題串”是支持教師教學過程和學生學習過程的一個重要工具，有利于將知識點由簡單引向復雜，有利于將學生的錯誤回答或理解引向正確，并積極地參與學習活動.

一、問題串教學要突出“概念的內涵和外延”

概念是每個課程都必須學習的知識點，但是數學概念的學習十分枯燥而且難懂，這就需要設置問題串，幫助學生更好地學習數學概念.在引入概念后，針對概念的內涵和外延巧設問題串，啟發學生思維，通過對這些問題的思考與討論，深化數學概念，從而加強學生對數學概念的理解和認識.

案例1 在學習雙曲線的定義時，教師可根據“平面內與定點F1，F2的距離的差的絕對值等于常數（小于|F1F2|）的點的軌跡叫作雙曲線”這一基本定義，即

||MF1|-|MF2||=2a（2a<|F1F2|）.

設計下列問題串：

問題1：若將定義中的“2a<|F1F2|”改為“2a=|F1F2|”，其余保持不變，那么動點的軌跡是什么？

問題2：若將定義中的“2a<|F1F2|”改為“2a>|F1F2|”，其余保持不變，那么動點的軌跡是什么？

問題3：若定義中的常數2a=0，其余保持不變，那么動點的軌跡是什么？

問題4：若去掉定義中的條件“小于|F1F2|”，其余保持不變，那么動點的軌跡是什么？

問題5：若去掉絕對值，其余仍保持不變，那么動點的軌跡是什么？

通過設置這樣的問題串，引導學生思考、討論、分析、深化對雙曲線概念的理解，把握雙曲線概念的內涵，掌握雙曲線概念的本質屬性，進而實現知識的自主構建.

二、問題串教學要突出“教材的本源作用”

對教師和學生來說，教材具有權威性、示范性和完美性的特點.結合教材習題進行問題串教學，有本有源，學生感到親近，師生容易溝通，既能充分發揮教材載體的優勢作用，又符合新課程強調“用教材教”創造性地使用教材的理念.

案例2 用多種方法在同一直角坐標系中，畫出函數y=sinx，x∈[0，2π]的圖像.（人教A版數學必修4第34頁習題第1題）

設計下列問題串：

問題1：請用“五點法”畫出y=2+sinx，x∈[0，2π]及y=sinx-π6，x∈[0，2π]的圖像.

問題2：觀察以上三個圖像，說說它們的共同點與不同點.

問題3：由此你能得出什么樣的普遍規律？

問題4：你能通過圖形變換的方法，根據y=sinx，x∈[0，2π]的圖像畫出另外兩個函數的圖像嗎？

問題5：試寫出幾個函數值加減圖像上下移動，自變量加減圖像左右移動的函數式，并根據y=sinx，x∈[0，2π]的圖像畫出你寫出的函數的圖像.

通過這樣的問題串，學生就不難發現規律，不僅讓學生在教師的循循善誘中順利渡過難關，由淺入深地逐步掌握解決問題的方法和策略，而且還可以激活學生的思維，調動學生學習的積極性和主動性.

三、問題串教學要貼近學生的“最近發展區”

新課程標準提出“生本課堂”的教學理念，即要求我們的數學課堂一定要以學生的發展為本.而實現這一目的，就要求我們的數學教學必須設計貼近學生的基礎、貼近學生的年齡特征、貼近學生的思維狀況.問題串教學便是如此，在學生知識和思維的最近發展區就題目進行變式，否則問題串教學就失去了意義，反而容易造成學生處處碰壁，產生為難情緒.

案例3 在數學必修5第二章“數列”第四節“等比數列”中，為了配合教材中的例4給出了如下問題：當數列{an}，{bn}是項數相同的兩個等比數列時，數列{pan+qbn}（其中p，q是常數）也是等比數列嗎？

教材中的例4所給的數列{an}，{bn}是等比數列，討論的是{an·bn}是否構成等比數列.為了配合這個例題提出了上面的問題，其目的是通過類比讓學生進一步認識到這兩個數列各自的特點與性質.為了讓學生更清楚地認識到兩個特殊數列的區別，設計如下問題串：

問題1：當數列{an}，{bn}是項數相同的兩個等比數列時，數列anbn是等比數列嗎？

問題2：當數列{an}，{bn}是項數相同的兩個等差數列時，數列{an·bn}也是等差數列嗎？

問題3：當數列{an}，{bn}是項數相同的兩個等差數列時，數列anbn是等差數列嗎？

問題4：當數列{an}，{bn}是項數相同的兩個等差數列時，數列{pan+qbn}（其中p，q是常數）也是等差數列嗎？

問題5：當數列{an}是等比數列時，數列{an+an+r}（其中r是非負整數）是等比數列嗎？

問題6：當數列{an}是等比數列時，是否存在常數λ，使得數列{an+λan+1}為等比數列？若存在，求出λ的范圍；若不存在，請說明理由.

問題7：當數列{an}是等差數列時，數列{an+an+r}（其中r是非負整數）是等差數列嗎？

問題8：當數列{an}是等差數列時，是否存在常數λ，使得數列{an+λan+1}為等差數列？若存在，求出λ的范圍；若不存在，請說明理由.

向學生提出上述問題串，促使學生站在不同的角度對問題進行審視與思考，然后通過仔細的觀察、分析、歸納總結等，進而漸漸發現等差數列、等比數列的區別以及各自的特點.

四、問題串教學要突出“思維的階梯式發展”

問題串教學的目的之一就是訓練思維、提升能力，幫助學生登高望遠，這就要求問題串必須有一定的“思維梯度”，否則學生只能在原有水平徘徊，進行無休止的機械訓練，永遠也無法一覽眾山.

案例4 若正數x，y滿足2x+y=1，求1x+1y的最小值.

問題1：若正數x，y滿足2x+y=2，求1x+2y的最小值.

問題2：若正數x，y滿足1x+2y=2，求2x+y的最小值.

問題3：若正數x，y滿足y+2x=2xy，求2x+y的最小值.

問題4：若正數x，y滿足x+y+1x+9y=17，求x+y的最大值.

問題5：已知正數x，y滿足x+2y=3，求1x+1+12y+2的最小值.

問題6：已知正數x，y滿足x+2y=3，求1x+1+22y+2的最小值.

問題7：已知正數x，y滿足x+y≤2，求2x+3y+1x-y的最小值.

問題8：若x>0，y>0，且12x+y+1y+1=2，求x+2y的最小值.

問題9：已知正數x，y滿足1x+1y=1，求3xx-1+9yy-1的最小值.

問題10：設x，y是正實數且滿足x+y=1，求x2x+1+y2y+2的最小值.

解析：因為1x+1y=1x+1y（2x+y）=3+yx+2xy≥3+22，等號成立時yx=2xy，結合2x+y=1可以求出x，y（以下問題剖析時不再說明等號成立的條件）.下面問題組著重強化此類問題的常規解法，簡單地說就是“乘常數，除以常數”，這種“代數式的變形”為利用基本不等式解決問題提供了氛圍.問題1強化方法的運用；問題2盡管條件和結論對調了位置，但解決的方法不變；問題3中的y+2x=2xy可變形為1x+2y=2，回歸問題2；問題4的突破口是由常規解法可知1x+9y（x+y）的范圍可求，可將條件兩邊同乘（x+y）即得；問題5思維層次在上升，關鍵是根據分母特征構造新常數（x+1）+（2y+2）=6，則1x+1+12y+2=161x+1+12y+2[（x+1）+（2y+2）]，展開可求；問題6仿問題5；問題7中觀察分母（x+3y）+（x-y）=2（x+y）≤4與常數有關，則

2x+3y+1x-y=12（x+y）·2x+3y+1x-y·[（x+3y）+（x-y）]

≥12（x+y）·（3+22）≥3+224；問題8由以上問題的“發現構造常數”轉型為“尋找條件與結論的隱含關系”，轉化為求（2x+y）+3（y+1）=2（x+2y）+3的范圍，回歸問題2；問題9將3xx-1+9yy-1，變形為31-1x+91-1y，發現分母之和為常數1，仿問題1；問題10中將x2x+1+y2y+2分離常數，變形得（y+2）+（x+1）+4y+2+1x+1-6=4y+2+1x+1-2，觀察其分母之和為常數.

以上問題實現了思維能力的三次飛躍：從“乘常數，除以常數”的常規解法，到“發現構造新常數”，再到“代數式的變形后觀察新常數”.立足點在“常數”的運用上，突破點在“代數式”的變形上；結合點在“變形后條件和結論關系”的觀察上；制高點在“變形后因果關系”的形式，使本質的東西更全面，使學生學習時不只是停留于事物的表象，而能自覺地從本質看問題，比較全面地觀察問題，尋求事物之間的聯系，從而理解問題的本質.

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