透過背景看“離參法”和“討參法”在不等式恒成立中的應(yīng)用

艾光明

【摘要】最近幾年以高等數(shù)學(xué)知識為背景的函數(shù)壓軸題成為全國高考卷中的常見類型，這類題目靈活多變，很好地把高等數(shù)學(xué)和高中數(shù)學(xué)知識進行銜接，教師不只要會利用初等數(shù)學(xué)知識解決這類問題，更要知會它的背景知識，下面僅以2010年新課標(biāo)全國卷（Ⅱ）第21題作以說明.

【關(guān)鍵詞】不等式；離參法；討參法

原題：f（x）=ex-1-x-ax2，x≥0，f（x）≥0恒成立，求實數(shù)的取值范圍.部分學(xué)生會采用離參法，首先討論當(dāng)x=0時，a∈R，且當(dāng)x>0時，a≤ex-1-xx2（x>0）恒成立，此時引入函數(shù)思想處理不等式恒成立問題，設(shè)輔助函數(shù)g（x）=ex-1-xx2（x>0），對g（x）進行單調(diào)分析，求導(dǎo)得g′（x）=（x-2）ex+x+2x3（x>0），設(shè)h（x）=（x-2）ex+x+2（x>0），h′（x）=（x-1）ex+1（x>0），而h″（x）=xex>0恒成立，所以h′（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，h′（x）>h′（0）=0，進而h（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，所以h（x）>h（0）=0，g′（x）=h（x）x3>0，綜上，g（x）在（0，+∞）也是單調(diào)遞增，又因為當(dāng)x>0時，a≤ex-1-xx2（x>0）恒成立，所以a≤g（x）min或a≤g（x）下界，借助“羅比達法則”可求得 limx→0+g（x）= limx→0+ex-1-xx2= limx→0+ex-12x= limx→0+ex2=12，又因為g（x）在（0，+∞）也是單調(diào)遞增，所以g（x）∈12，+∞，綜上，a∈-∞，12.由以上分析可以看到離參后，新的輔助函數(shù)單調(diào)性明確，但求新函數(shù)值域時，用到了“羅比達法則”，這是高等數(shù)學(xué)的知識，不是高中階段需要掌握的內(nèi)容，但依稀可得問題背景由來.那么在沒有學(xué)習(xí)“羅比達法則”的前提下如何利用初等數(shù)學(xué)中討參法和離參法處理此題呢，下面看下此題的另解.

法1 討參法

∵f′（x）=ex-1-2ax（x≥0），∴h（x）=f′（x）=ex-1-2ax，h′（x）=f″（x）=ex-2a，辨析h′（x）符號，確定討論界點，x≥0ex∈[1，+∞），故a需要與12比較.

當(dāng)a≤12時，∵h′（x）=ex-2a≥ex-1≥0（x≥0），∴h（x）=f′（x）在[0，+∞）單調(diào)遞增，∴f′（x）≥f′（0）=0，∴f（x）在[0，+∞）單調(diào)遞增，則f（x）≥f（0）=0，符合題意.

當(dāng)a>12時，令f′（x）=0，x=ln2a，當(dāng)f′（x）>0時，x∈（ln2a，+∞），當(dāng)f′（x）<0時，x∈（0，ln2a），∴f′（x）在[0，ln2a）單調(diào)遞減，（ln2a，+∞）單調(diào)遞增.

取x∈（0，ln2a）

Symbol^C@ f′（x）

綜上，當(dāng)且僅當(dāng)a≤12時，符合題意.

此討參法也是此道高考題給出的標(biāo)準(zhǔn)答案，也是絕大多數(shù)尖子生和教師能夠接受的做法，但絕大多數(shù)學(xué)生發(fā)現(xiàn)f′（x）中含有ex和參數(shù)a，心中畏懼，會放棄此題.下面筆者既不利用“羅比達法則”又不用上述討參法給出另解.

法2 離參法

ex-1-x-ax2≥0恒成立1+x+ax2ex≤1恒成立，利用函數(shù)思想引進輔助函數(shù)g（x）=1+x+ax2ex，此時g（0）=1，求得g（x）的導(dǎo)函數(shù)g′（x）=-ax2+（2a-1）xex=x（-ax+2a-1）ex（x≥0），令h（x）=-ax+2a-1（x≥0）.a=0時，h（x）=-1<0，∴h（x）在[0，+∞）單調(diào)遞減，g（x）在[0，+∞）單調(diào)遞減，∴g（x）≤g（0）=1，滿足條件.

a<0時，令h（x）=0，解得x=2a-1a>0，此時h（x）>0時，x∈2a-1a，+∞，當(dāng)h（x）<0時，x∈0，2a-1a，所以g（x）在2a-1a，+∞單調(diào)遞增，g（x）在0，2a-1a單調(diào)遞減，因為當(dāng)x→+∞時，g（x）=1+x+ax2ex<0恒成立，所以x軸是g（x）圖像的一條漸近線，所以g（x）≤g（0）=1，滿足題意.

當(dāng)a∈0，12時，h（x）≤0在x∈[0，+∞）上恒成立，所以g（x）在[0，+∞）單調(diào)遞減，則g（x）≤g（0）=1，滿足題意.

當(dāng)a∈12，+∞時，h（x）>0時，x∈0，2a-1a，h（x）<0時，x∈2a-1a，+∞，所以當(dāng)x∈0，2a-1a 時，g（x）在0，2a-1a單調(diào)遞增，則g（x）>g（0）=1在x∈ 0，2a-1a恒成立，不滿足題意.

綜上，若原不等式恒成立，則a≤12.

此法對原不等式等價變形，使g（x）導(dǎo)數(shù)g′（x）的正負號與ex無關(guān)，只需討論學(xué)生最熟悉的h（x）=-ax+2a-1 （x≥0）的正負即可，化難為易，有更多的學(xué)生能夠接受.

伴隨著導(dǎo)數(shù)、統(tǒng)計與概率等原大學(xué)知識內(nèi)容進入高考，近幾年高考在問題載體上有所創(chuàng)新，如，導(dǎo)數(shù)進入新教材后函數(shù)研究范圍擴大，使函數(shù)覆蓋的知識點越來越多，因而，成為高考創(chuàng)新題中的熱點，大學(xué)知識與高中知識聯(lián)系也越來越多，如何巧妙地利用函數(shù)思想、等價轉(zhuǎn)化思想在解決此類不等式問題上顯得尤為重要.