正弦定理、 余弦定理的變換應用

丁志超

【摘要】正弦與余弦同為高中幾何中的重要定理，其所反映的內容均為三角形中邊與角之間的關系.通過對它們進行整合、變形后再運用，能夠找到眾多問題解決的“根源”.

【關鍵詞】正弦；余弦；數學定理；變換應用

高中幾何中的正、余弦定理，兩者同為反映三角形邊角關系的重要定理，針對正、余弦定理的直接運用，通常可解決兩類問題：一是在已知三角形三邊的情況下，求三個內角的相關問題；二是在已知三角形兩邊與一夾角的情況，求第三邊的問題.就高中數學而言，針對正、余弦定理的運用遠不止如此，若能從不同角度觀察并分析其表達式，并將其進行整合、變形后再應用，不僅能有效拓展該部分知識的運用范圍，且在求解部分題目時，往往能收獲意想不到的效果.

一、解三角形

例1 在△ABC中，a=23，b=6，A=30°，則邊c=.

解法一 由正弦定理可得sinB=bsinAa=32，又0

當B=60°時，C=90°，c=bsinCsinB=43；而當B=120°時，C=30°，c=23.

解法二 由余弦定理可得，cosA=b2+c2-a22bc，即c2-63c+24=0，解得c=23或43.

點評 已知兩邊及其中一邊的對角，解三角形時，需考慮解的個數.

二、證明三角形中的恒等式

例2 在△ABC中，求證：a2sin2B+b2sin2A=2absinC.

證明 a2sin2B+b2sin2A=（2RsinA）2·2sinBcosB+（2RsinB）2·2sinAcosA=8R2sinAsinB（sinAcosB+cosAsinB）=8R2sinAsinBsinC=2·2RsinA·2Rsinb·sinC=2absinC，所以原式得證.

點評 此題所證結論為△ABC的一種邊角關系，證明考慮兩種途徑：一是把邊的關系轉化為角的關系，一般是通過正弦定理的公式a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC；二是把角的關系轉化為邊的關系，若是正弦形式，則利用正弦定理，若是余弦形式，則利用余弦定理.

三、解決實際問題

例3 某漁船在航行中不幸遇險，發出求救信號，我海軍艦艇在A處獲悉后，立即測出該漁船在方位角為45°，距離為10 km的C處，并測得漁船正沿方位角為105°的方向，以9 km/h的速度向某小島靠攏，于是我海軍艦艇立即以21 km/h的速度前去營救，求艦艇的航向和靠近漁船所用時間.

解析 如上圖，設艦艇與漁船在B處相遇，設艦艇從A處靠近漁船所用時間為x h.

AB=21x，BC=9x，AC=10，∠ACB=∠1+∠2=45°+（180°-105°）=120°，

根據余弦定理，可得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos120°，得（21x）2=102+（9x）2-2×10×9xcos120°，

解得x1=23，x2=-512（舍去）.

所以AB=21x=14，BC=9x=6.

BCsin∠CAB=ABsin120°，得∠CAB≈21.8°，所以航行方位角為45°+21.8°=66.8°.

點評 解好本題需明確“方位角”這一概念，方位角是指由正北方向線順時針旋轉到目標方向線的角，其范圍是[0°，360°）.

四、判斷三角形形狀

例4 在△ABC中，若tanAtanB=a2b2，判斷△ABC的形狀.

解法一 由正弦定理，得sinAcosBsinBcosA=sin2Asin2B，即cosBcosA=sinAsinB，所以sin2A=sin2B，所以2A=2B或2A=180°-2B，即A=B或A+B=90°，因此，△ABC為等腰或直角三角形.

解法二 由題設，有sinAcosBcosAsinB=a2b2，得a2R·a2+c2-b22acb2+c2-a22bc·b2R=a2b2，化簡得（a2-b2）（a2+b2-c2）=0，所以a=b或a2+b2=c2，所以△ABC為等腰或直角三角形.

點評 已知三角形中的邊角關系式，判斷三角形的形狀，有兩條思路：化邊為角，再進行三角恒等變換，求出三個角之間的關系式；化角為邊，再進行代數恒等變換，求出三條邊之間的關系式.

總之，正、余弦定理不僅僅是在闡述三角形三邊與角之間的關系，更是解決三角形相關問題的重要途徑.此外，三角形正、余弦定理的運用，除了要根據題目類型進行靈活的轉換，還需對公式變形有相當程度的了解，如此才能將其靈活運用.