再論“函數(shù)y=（ax+c）+bx+d（ab≠0）的圖像是雙曲線”

李錦成

文[1]簡(jiǎn)證了“函數(shù)y=（ax+c）+bx+d（ab≠0）的圖像”是以直線x+d=0，y=ax+c為漸近線的雙曲線，在中學(xué)階段對(duì)含有交叉項(xiàng)xy的二次函數(shù)（因只學(xué)過(guò)坐標(biāo)平移變換，沒(méi)學(xué)過(guò)坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換）要說(shuō)明函數(shù)的圖像確實(shí)困難.而文[1]的證明過(guò)程都是中學(xué)生能接受的，因此，它對(duì)一類(lèi)二次函數(shù)的圖像問(wèn)題提供了一種有效的解決方法.

例1 函數(shù)2x2+3xy+2x-y+5=0的圖像是什么圖形？

解 將2x2+3xy+2x-y+5=0變形為

y=-23x-89+-5327x-13，

符合y=（ax+c）+bx+d（ab≠0）的形式.

∴函數(shù)的圖像是以直線y=-23x-89和x-13=0為漸近線的雙曲線.

例2 討論函數(shù)Ax2+Bxy+Dx+Ey+F=0（A·B≠0）的圖形問(wèn)題.

解 將Ax2+Bxy+Dx+Ey+F=0變?yōu)?/p>

（Bx+E）y=-Ax2-Dx-F.

1.當(dāng)Bx+E=0，并且x=-EB是函數(shù)Ax2+Dx+F=0的一個(gè)根時(shí)，函數(shù)圖像只表示直線x=-EB，否則無(wú)圖像.

2.當(dāng)Bx+E≠0時(shí)，y=-Ax2-Dx-FBx+E，∵B≠0，A≠0，∴y=-ABx2+DAx+FAx+EB，

整理得y=-ABx+AE-BDB2+BDE-AE2-B2FB3x+EB.

（1）當(dāng)BDE-AE2-B2F=0時(shí)，函數(shù)為直線y=-ABx+AE-BDB2；

（2）當(dāng)BDE-AE2-B2F≠0時(shí)，應(yīng)用文[1]定理可知：函數(shù)圖像是雙曲線.

最后補(bǔ)充說(shuō)明，文[1]還可以：當(dāng)a=0，b≠0時(shí)，y=c+bx+d仍然是雙曲線.

∵平移坐標(biāo)軸令y′=y-c，x′=x+d，故y=c+bx+d可變?yōu)閥′=bx′，

∴仍然是雙曲線.

另外，Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0（B≠0）也是屬于雙曲線型函數(shù).

【參考文獻(xiàn)】

[1]李晶，張國(guó)坤.“函數(shù)y=（ax+c）+bx+d（ab≠0）的圖像是雙曲線”之簡(jiǎn)證[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2004（8）：44.