淺談圓周長、面積的證明

吳秀吉

【摘要】本文介紹劉徽“割圓術”原理和重要極限在圓周長、面積公式證明中的應用，并就小學階段教學圓的周長公式和面積公式提出積極的建議.

【關鍵詞】割圓術；正多邊形逼近；極限

在小學算術書中，都知道半徑為r的圓的周長為C=2πr，面積為S=πr2，其中π是圓周率，是常數.那么圓的周長公式和面積公式是怎樣得到的呢？對此，筆者曾作過調查，發現大多數學生不知道，甚至很多數學教師也不以為然.小學教師以學生聽不懂為由，課堂上略講或不講；中學教師以為那是小學教師的事.所以，關于圓的周長公式和面積公式的教學成為我們教學中的一個薄弱環節，長此以往對學生的發展極為不利.

其實，我國古代數學家劉徽早于魏景四年（公元263年）創立了“割圓術”，它就是借助圓的一串內接正多邊形的周長數列的穩定變化趨勢定義了圓的周長[1].這里我們繼續延用“割圓術”的思想原理和通過對極限的計算來證明圓的周長、面積，以期使證明更加簡潔明了.

一、圓的周長

如圖1，首先，作⊙O的內接正三邊形A1A9A5其次，平分A1A9，A9A5，A1A5所對的弧A1A9，A9A5，A1A5的中心分別為A11，A7，A3，依次連接A1A11，A11A9，…，A3A1就得⊙O的內接正六邊形A1A11A9A7A5A3，以下用同樣的方法，繼續作⊙O的內接正十二邊形，⊙O內接正二十四邊，等等.如此繼續下去就可以作⊙O的內接正3·2n-1邊形（n=1，2，3，…），無論正多邊形的邊數怎樣多，每個圓內接正多邊形每邊所對的弧所對的圓心角都是已知的.于是，得到一串圓的內接正多邊形的每邊所對的弧所對的圓心角數列：θ3，θ6，θ12，…，θ3·2n-1，…；其中通項θ3·2n-1表示第n次作出的圓內接正3·2n-1邊形的邊所對的弧所對的圓心角.那么這串圓內接正多邊形的邊數與該圓內接正多邊形每邊所對的弧所對的圓心角關系列表如下：

下面證明圓的周長公式：c=2πr.

如圖1所示，已知⊙O的半徑為r，在⊙O的內接正三邊形A1A9A5中，和△A1OA5中∠A1OA5=2π〖〗3，由余弦定理得

二、圓的面積

劉徽說：“割之彌細，所失彌小，割之又割，以至于不可割，則與圓全體而無所失矣.”很明顯，當圓的內接正多邊形的邊數成倍無限增加時，這一串圓的內接正多邊形將無限趨近于該圓周，即它的極限位置就是該圓周[1].因此，圓的面積，也是由圓內接多邊形的面積無限逼近，即這一系列圓的內接正多邊形的面積的極限位置就是該圓的面積.

圓的面積公式S=πr2證明如下：

同理，可證圓內接正3·2n-1的面積

從而有圓的面積

以上通過對圓的周長、面積公式的證明過程探究，不僅使初學者認識圓的周長、面積公式，更能讓他們了解公式的來龍去脈，很好地把握數學的思想，為以后進一步學習好數學打下良好的思想基礎.

顯然，學生在小學階段學習圓的周長、面積公式時，大可不必如前述之證明.因為這個階段的學生以具體思維為主，此階段的教學要在圓周率π上下功夫，即為學生設計π這個無理數的發現的研究性學習方案，讓學生探索總結得到圓的周長與直徑的關系，進而得到圓的周長公式.至于圓的面積公式，則可以將圓沿一條直徑剪開如圖2，然后，將兩個半圓剪成相等的小扇形如圖3（不要剪斷圓周），然后，拉開插入另一個半圓如圖4，再用近似計算方法求出圓的面積.這些方法雖不嚴密，更不能說是證明，但對小學階段的學生卻是適宜的.

總之，圓的周長公式和面積公式的教學不能只靠某一階段的教學解決問題，要在數學的全程學習中分步實施.這也是筆者寫這篇短文的初衷.

【參考文獻】

[1]劉玉璉，著.數學分析講義[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]華東師范大學，編.數學分析[M].北京：高等教育出版社，2001.