向量形式的三角形內角平分線的性質及應用

王俊艷

【摘要】本文引用了向量這一工具，給出了向量形式的三角形內角平分線的三個性質，并舉例說明了這三個性質在解題方面的應用.

【關鍵詞】三角形；單位向量；內角平分線

一、向量形式的三角形內角平分線的性質

性質1 在△ABC中，BP是∠ABC的角平分線的充要條件為：存在正實數k，使得BP=kBA|BA|+BC|BC|.

性質2 在△ABC中，AD平分∠BAC，則|AB||AC|=|DB||CD|（即三角形內角平分線定理）.

性質3 若AD是△ABC中∠A的角平分線，則有

AD=|AC|·AB+|AB|·AC|AB|+|AC|.

二、相關應用

圖1

例1 如圖1所示，經過∠XOY的角平分線上的點A，任作一直線與OX和OY分別交于P和Q，求證：1OP+1OQ為定值.

證明 過點A作OA的垂線（唯一性）交OX和OY于R和S，則△ORS是等腰三角形，則有

2OA=OR+OS=|OR||OP|OP+|OS||OQ|OQ.

由于P，A，Q三點共線，所以|OR||OP|+|OS||OQ|=2，

而|OR|=|OS|（定值），

所以可得1|OP|+1|OQ|=2|OR|，即1OP+1OQ為定值.

圖2

例1 如圖2所示，△ABC中，D和E分別在AB和AC上，且BD=CE，M和N分別是BC和DE的中點，那么NM與∠A的角平分線AT平行.

證明 設DB=mAB，EC=nAC，

由BD=CE得

ABAC=nm=BTTC，

AT=AB+BT=AB+nn+mBC=AB+nn+m（AC-AB）

=mn+mAB+nn+mAC，

即有AT=mAB+nACm+n=DB+ECm+n=2NMm+n，

所以NM與AT平行.

例3 如圖3所示，在△ABC中，AD為中線，AE為角平分線，EF平行CA交AD于F，求證：CF⊥AE.

圖3

證明 由AE為角平分線及性質3可知

AE=|AB|AC+|AC|AB|AB|+|AC|.

由AD為中線可得AD=12（AB+AC），

又因為AC平行于EF，所以AFAD=CECD=2CECB=2ACAB+AC.

從而 AF=2ACAB+ACAD=ACAB+AC（AB+AC），

則有 CF=CA+AF=|AB|CA+|AC|AB|AB|+|AC|，

AE·CF=|AC||AB|+|AC|AB+|AB||AB|+|AC|AC ·

|AC||AB|+|AC|AB-|AB||AB|+|AC|AC，

則AE·CF=0，所以CF⊥AE.

三、總 結

本文通過對向量形式的角平分線的性質的研究，給出了其在解題方面的應用，可以看出運用角平分線的向量形式可以很好地解決與角平分線有關的幾何問題，這就為我們解題帶來了方便.

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