由教材中的拓廣探索題引發的變式訓練的思考

徐志旋

教材中的例題、習題的拓廣與證明是經過數學專家精心篩選出來的，具有經典性與代表性，理應引起我們一線教師的重視.在人教版八年級數學下冊第92頁中，有一道拓廣探索題，通過對這道題的解答和證明過程，值得我們進一步思考和探討.

問題 如圖1，用硬紙板剪一個平行四邊形，作出它的對角線的交點O，用大頭針把一根平放在平行四邊形上的直細木條固定在點O處，撥動細木條，使它隨意停留在任意位置，觀察幾次撥動的結果，你發現了什么？證明你的發現.

分析 在木條的運動過程中，雖然木條位置在改變，但是有不變的量，OA=OC，∠DAC=∠BCA，∠AOE=∠COF，可證明△AOE≌△COF，同樣可證明△DOE≌△BOF，故可以得到線段OE=OF.這三個結果都不會隨木條位置的改變而改變.

如果這道題就此結束的話，達不到拓廣探索的目的.教師應該在課堂教學中發掘教材，激活學生的數學思維.對于這道題，可以充分地進行拓廣.

拓廣一 如圖2，連接BE，DF.請猜想四邊形BEDF是什么四邊形，并給出證明.

分析 可以先猜測四邊形BEDF是平行四邊形，結合上題的結果可知：OE=OF，OB=OD.故得到證明.

拓廣二 如圖3，題目的所有條件不變，只是把圖形進行了改變，可對學生提出問題，△AOE≌△COF，△DOE≌△BOF，線段OE=OF這些結論還成立嗎？為什么？連接BF，DE，四邊形BEDF還是平行四邊形嗎？

拓廣三 題目的所有條件仍然不變，圖形進一步進行改變，如圖4、圖5所示.

可繼續給學生提出問題，△AOE≌△COF，△DOE≌△BOF，OE=OF，四邊形BEDF是平行四邊形這幾個結論還成立不成立？

這樣，通過教師一步一步地拓廣，學生的思維能力得到提高.其實這幾個題目的變形，只是題目的圖形發生了改變，學生不仔細分析就不知道如何入手，如果教師能在平時的教學中堅持經常性地使用類似這樣的變式訓練，學生對這種類題接觸多了，以后再遇到這類題就迎刃而解了.

接著我們來看新人教版八年級數學下冊第122頁的習題，繼續來探索拓廣與證明的方法.

問題 如圖6，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分線CF于點F.求證：AE=EF.（提示：取AB的中點G，連接EG）

說明 新人教版初中數學章節復習題分三個層次展開——復習鞏固、綜合運用、拓廣探索，循序漸進、由淺入深.“拓廣探索”環節不僅是對知識內涵的拓展，更是知識應用的外延，旨在培養學生的探究能力與創新能力.為了降低學生的解題難度，本題還進行了方法提示.

證明 取AB的中點G，連接GE.

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°.

∵點G、點E分別是AB，BC的中點，

∴AG=BG=BE=CE，

∴∠BGE=∠BEG=45°，∴∠AGE=135°.

∵CF是正方形外角的平分線，

∴∠DCF=45°，

∴∠ECF=∠BCD+∠DCF=135°.

∵∠AEF=90°，∠B=90°，

∴∠CEF+∠BEA=90°，

∠GAE+∠BEA=90°，

∴∠GAE=∠CEF，

∴△AGE≌△ECF（AAS），

∴AE=EF.

拓廣一 此題E點是邊BC中點，是一個特殊的點，這時，可以給學生提出問題，假如E點改為一個普通的點，且可以在邊BC上運動.如圖7，其他條件不變，則AE=EF嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由.

分析 由特殊到一般，化靜為動.證明方法可以借鑒原題中的提示，可以在AB上截取BG=BE，連接GE.

圖8

拓廣二 如圖8，若E是線段BC延長線上的一點，其他條件不變，AE=EF成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由.

分析 本題在拓廣一的基礎上繼續向外延伸，點E由在有限區間運動延伸到無限區間運動，讓學生的發散思維能力達到了一個更廣闊的空間，學生學習的積極性進一步高漲，變通能力得到了有效提高，解決問題的能力得到了加強.至于證明方法可在前面的基礎上讓學生自己思考、自己證明.

圖9

拓廣三 如圖9，若E是線段CB延長線上的一個動點，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分線CM的反向延長線于點F.AE=EF成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由.

分析 當點E是線段BC的反向延長線上的一個動點時，學生的好奇心再次被激發，求知欲得到增強.教師可以適當地引導學生，學生通過猜想、探索、討論、對比、驗證，寫出證明過程.

從以上三個拓廣題的證明過程來看，用到了分類討論的思想，其解題思路與方法看似不同，其結果卻是殊途同歸——證明兩個三角形全等.而輔助線的作法又是那么相似，例如，拓廣二中的點E在線段BC的延長線上，則其解題策略是在線段BA的延長線上截取AG=CE，而拓廣三中當點E在BC的反向延長線上時，其解題策略是在BA的反向延長線上截取BG=BE.通過這種解題方法的指引，讓學生掌握類比探究的解題方法，達到了教是為了不教的教學效果.

在素質教育的今天，考試更重視考查學生的素質，教師必須多鉆研新課程標準，多研究教材，吃透教材，靈活應用教材.《初中數學課程標準》中指出：“數學教學活動應激發學生興趣，調動學生積極性，引發學生的數學思考，鼓勵學生的創造性思維；要注重培養學生良好的數學學習習慣，使學生掌握恰當的數學學習方法.教師教學應該以學生的認知發展水平和已有的經驗為基礎，面向全體學生，注重啟發式和因材施教.教師要發揮主導作用，處理好講授與學生自主學習的關系，引導學生獨立思考、主動探索、合作交流，使學生理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想和方法，獲得基本的數學活動經驗.”由此可見，培養和發展學生的數學思維是新課程理念下的重要目標.如何培養學生良好的數學思維呢？經過教學實踐發現，合理利用變式訓練能有效激活學生數學思維.

教材中的例題、習題都是較好的教學資源.教師在平時的教學中要針對一些例題、習題，尤其是拓廣探索題，進行挖掘、進行變式練習，這些都可以成為或已經成為綜合性較好的中考試題.