折疊問題中折痕旋轉(zhuǎn)的探索

金建偉

【摘要】軸對稱、折疊問題是中考的熱點、難點問題，幾何圖形的折疊問題，實際是軸對稱問題.通常是把某個圖形按照給定的折痕折疊，比較折疊前后全等圖形，搞清折疊前后哪些量變了，哪些量沒變，根據(jù)對稱點與折痕的聯(lián)系、變化來命題.折疊問題的解決離不開折痕的研究，折痕（對稱軸）的類型有固定、平移、旋轉(zhuǎn)三種類型，本文著重探索折痕旋轉(zhuǎn)類型，這類題目立意新穎，能培養(yǎng)學(xué)生的識圖、想象、靈活運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力.我們在研究這類問題時要善于由形思數(shù)、由數(shù)思形、數(shù)形結(jié)合，找出對稱軸（折痕）旋轉(zhuǎn)過程中的規(guī)律，能起到化難為易、化繁為簡的效果.

【關(guān)鍵詞】對稱軸；折痕；垂直平分；平移；旋轉(zhuǎn)

折疊、軸對稱問題的解決，離不開對折痕、對稱軸的研究，結(jié)合折疊前后的圖形關(guān)于折痕成軸對稱關(guān)系，即圖形之間的全等，得出對應(yīng)線段和對應(yīng)角相等，對應(yīng)點的連線被折痕垂直平分等知識來解決問題.如果折痕（對稱軸）是固定不動的題型，考生相對容易解決.如果折痕（對稱軸）是旋轉(zhuǎn)的題型，折疊后的圖形隨著折痕（對稱軸）的旋轉(zhuǎn)而發(fā)生改變，解決這類題，學(xué)生往往很難找出變換后的圖形的位置特征，不知從何下手解題，無法解出題目.下面對涉及紙片折疊、軸對稱有折痕（對稱軸）旋轉(zhuǎn)的題型進(jìn)行研究、剖析，發(fā)現(xiàn)其本質(zhì)規(guī)律，找出變換后圖形的位置特征，讓學(xué)生容易入手.

首先我們來研究當(dāng)直線l（對稱軸）繞固定點O旋轉(zhuǎn)時，固定點A的對稱點A′有什么特征呢？如圖1所示，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可知：l⊥AA′，AB=A′B，OA=OA′必成立.由于點O、點A是固定點，線段OA的長度是定值，軸對稱線段OA′=OA，OA′是定值，隨著對稱軸l的旋轉(zhuǎn)，對稱點A′的位置跟著運動，運動過程中動點A′到定點O的距離等于OA長度，固定不變，動點A′的運動路線看成在以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓弧（如圖2、圖3）.

即當(dāng)對稱軸沿某一固定點（中心）旋轉(zhuǎn)時，對稱點在以固定點（中心）為圓心，定長為半徑的圓弧上.

折疊問題中的折痕轉(zhuǎn)動問題，就是研究對稱軸的旋轉(zhuǎn).如果能發(fā)現(xiàn)折痕（對稱軸）繞固定點旋轉(zhuǎn)時，對稱點在圓弧上的這一特征，學(xué)生可以通過畫圓弧幫助解決問題，打開思路，達(dá)到化繁為簡的目的.

例1 （寧德中考數(shù)學(xué)）如圖，在Rt△ABC紙片中，∠C=90°，AC=BC=4，點P在AC上運動，將紙片沿PB折疊，得到點C的對應(yīng)點D（P在C點時，點C的對應(yīng)點是本身），則折疊過程對應(yīng)點D的路徑長是.

分析 本題是折疊問題，學(xué)生較難想象點D的位置，動手操作起來也比較困難.如果能發(fā)現(xiàn)折痕PB繞著固定點B在轉(zhuǎn)動時，根據(jù)軸對稱的知識，固定點C的對稱點D始終滿足BC=BD，即點C的對稱點D在以B為圓心，BC長為半徑的圓弧上（如圖5）.當(dāng)點P與點C重合時，點D與點C重合（如圖6），當(dāng)點P與點A重合時，點D的位置如圖7所示，由題意可得∠ABC=45°，根據(jù)對稱得∠DBA=45°，∠DBC=90°，點D的路徑長是以點B為圓心，BC長為半徑，圓心角為90°的圓弧長，本題就迎難而解了.

解答 lCD=14π×r2=14π×42=4π.

例2 如圖8，在矩形紙片ABCD中，BG=10，BC=13，將紙片沿過點G的折痕GE折疊，折痕與矩形的另一邊交于點E，頂點B的對應(yīng)點F落在邊AD上.

圖8

（1）① 若AB=10時，滿足條件的點F有個；

② 若AB=13時，滿足條件的點F有個；

③ 若滿足條件的點F有2個時，AB取值范圍為；

④ 若滿足條件的點F有1個時，AB取值范圍為；

⑤ 若滿足條件的點F有0個時，AB取值范圍為.

（2）當(dāng)AB=8，求出折痕的長.

分析 初看本題后，學(xué)生較難想象點F的位置，不易入手.如果能發(fā)現(xiàn)折痕（對稱軸）GE繞著固定點G轉(zhuǎn)動時，根據(jù)軸對稱的知識，固定點B的對稱點E始終滿足GB=GF，即點B的對稱點F在以G為圓心，BG長為半徑的圓弧上.當(dāng)AB的長度不同時，圓弧與AD邊會出現(xiàn)相離、相切、相交3種位置關(guān)系（如圖9、圖10、圖11），滿足條件的點F有0個、1個、2個，本題就迎難而解了.

例3 （河南中考數(shù)學(xué)）動手操作：在矩形紙片ABCD中，AB=3，AD=5.如圖12所示，折疊紙片，使點A落在BC邊上的A′處，折痕PQ，當(dāng)點A′在BC邊上移動時，折痕的端點P，Q也隨之移動.若限定點P，Q分別在AB，AD邊上移動，則點A′在BC邊上可移動的最大距離為.

分析 本題也屬于折疊為背景的問題，折痕（對稱軸）旋轉(zhuǎn)類型，當(dāng)點Q固定某個位置時，隨著點P從點A向點B的移動，折痕（對稱軸）看成繞點Q在旋轉(zhuǎn)，QA=QA′始終成立，定點A的對稱點A′始終在以點Q為圓心，QA為半徑的圓弧上.而本題的點Q是移動的，隨著點Q位置不同，就可以畫無數(shù)個以Q為圓心，QA長為半徑的圓弧，就是對稱點A′的可能路線，與BC邊的交點就是滿足條件點A′的位置，觀察下面這組圖（如圖13—圖17）.當(dāng)點P與點B重合（如圖15），即QA=AB=3時，點A′剛好能落在BC上；隨著點Q越往點D方向移動，圓弧與線段BC的交點A′越往左邊移動（如圖15、圖16、圖17），當(dāng)點Q與點D重合時（如圖17），就是對稱點A′在最左邊的情形，只需求出圖17中BA′長度，

與圖15中BA′長度，兩者長度之差，就是點A′在BC邊上可移動的最大距離.

折疊問題中“折”是過程，“疊”是結(jié)果，其實質(zhì)是軸對稱變換.平面圖形的折疊問題能夠考查學(xué)生動手操作能力與空間想象能力及推理能力.遇到折疊問題中折痕（對稱軸）旋轉(zhuǎn)時，如果能發(fā)現(xiàn)對稱點在圓弧上運動的特征，學(xué)生在解題時可以達(dá)到降低難度，化難為易的目的.

教師在課堂教學(xué)過程中要多搜集、整理、歸類一些有價值的例題和習(xí)題，發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)、規(guī)律，打開學(xué)生的思路，使學(xué)生的解題思路更為清晰，思維的應(yīng)變能力得到充分的鍛煉和培養(yǎng).

【參考文獻(xiàn)】

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