高斯整數(shù)環(huán)其商環(huán)元素個(gè)數(shù)

賈麗媛

【摘要】設(shè)Z表示整數(shù)環(huán)，i表示虛單位（i=-1） Z[i]為所有形如a+bi，（a，b∈Z）的復(fù)數(shù)組成的集合，稱為高斯整數(shù)環(huán).高斯整數(shù)環(huán)中的元素稱為高斯整數(shù).在王芳貴的《關(guān)于高斯整數(shù)環(huán)的商環(huán)的元素個(gè)數(shù)的注記》中已經(jīng)用代數(shù)方法證明出|Z[i]/（m+ni）|=m2+n2.本文將用幾何方法給出這一結(jié)論的證明.注意，對(duì)于m=0（或n=0）的情況，證明方法同可證.所以，本文只給出m≠0，n≠0的證明.以下我們用|A|表示A種元素的個(gè)數(shù).

【關(guān)鍵詞】高斯整數(shù)環(huán)；商環(huán)；理想

一、緒 論

（一）記號(hào)：Z[i]={a+bi|a，b∈Z，i2=-1}，Z[i]對(duì)普通加法和乘法構(gòu)成一個(gè)環(huán)，稱為高斯整數(shù)環(huán).

（二）定義：（1）若環(huán)R的非空子集I滿足條件：① I是一個(gè)子加群；② 對(duì)任意a∈I，r∈R，元素ar，ra都在I中，此時(shí)，我們稱I是R的一個(gè)理想.

（2）設(shè)R是一個(gè)環(huán)，I是R的一個(gè)理想，商群RI關(guān)于乘法a·b=ab所生成的環(huán)，叫作R關(guān)于I的商環(huán)，仍用記號(hào)RI表示.

（3）設(shè)Z表示整數(shù)環(huán)，i表示虛單位（i=-1），Z[i]為所有形如a+bi，（a，b∈Z）的復(fù)數(shù)組成的集合，稱為高斯整數(shù)環(huán).高斯整數(shù)環(huán)中的元素稱為高斯整數(shù).

二、本 論

（一）高斯整數(shù)環(huán)其商環(huán)元素個(gè)數(shù)

命題1 如果A為高斯整數(shù)點(diǎn)，設(shè)A=a+bi，且a≠0，b≠0.以O(shè)A為邊作四邊形OABC.又設(shè)區(qū)域G～為正方形OABC內(nèi)部的點(diǎn)及OA，OC邊上的點(diǎn)（但不包括A點(diǎn)和C點(diǎn)）中的全體高斯整數(shù)點(diǎn)，則G～內(nèi)恰有a2+b2個(gè)高斯整數(shù)點(diǎn).

證明 作正方形OABC的外接正方形EFGH，易知，正方形EFGH中所含的高斯整數(shù)點(diǎn)為（a+b）2=（a2+b2+2ab）個(gè).長(zhǎng)方形HCQB及PAGB中所含有的高斯整數(shù)點(diǎn)均為ab個(gè)，其中包括A，C點(diǎn).三角形BPA與三角形CEO內(nèi)所含的高斯整數(shù)點(diǎn)相同.三角形AOF與三角形BCQ內(nèi)所含的高斯整數(shù)點(diǎn)相同.所以正方形EFGH-長(zhǎng)方形HCQB-長(zhǎng)方形PAGB中所含的高斯整數(shù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)=G～中所含的高斯整數(shù)點(diǎn)的個(gè)數(shù).故|G～|=a2+b2+2ab-2ab=a2+b2得證.

命題2 如果分別作平行于正方形OABC的各邊的平行線且相鄰的平行線間的距離相同，設(shè)G為所有平行于OA與OC的線束的交點(diǎn)的全體，則G僅含有點(diǎn)（a+bi）（c+di）=（ac-bd）+（ad+bc）i，這里c+di是任意整數(shù)點(diǎn).

證明 設(shè)G1={（a+bi）（c+di）=（ac-bd）+（ad+bc）i|c+di∈Z[i]}.欲證G1=G.設(shè)GG1.對(duì)x+yi∈G，lA：y=abx與OA平行的直線族lA：y=bax+ma2+b2a（m∈Z）.

lC：y=-abx與OC平行的直線族lC：y=-abx+na2+b2b（n∈Z），故交點(diǎn)為y=bax+ma2+b2a，y=-abx+na2+b2b，

故（x，y）=（na-mb，am+bn），

取c=nd=m，知（x，y）=（ac-bd，ad+bc），

即x+yi=（a+bi）（c+di），c，d∈Z.

故x+yi∈G1，故GG1.

下證：G1G.

對(duì)x+yi∈G1.即存在c+di∈Z[i].s.t.x+yi=（a+bi）（c+di），即x=ac-bdy=ad+bc.由上知：

直線y=bax+da2+b2a與直線y=-abx+ca2+b2b的交點(diǎn)為（ac-bd，ad+bc），

即交點(diǎn)為（x，y），故x+yi∈G.

故G1G，故G1=G.得證.

命題3 對(duì)任意高斯整數(shù)點(diǎn)x+yi存在唯一的高斯整數(shù)點(diǎn)c+di，e+fi滿足x+yi=（a+bi）（c+di）+（e+fi），其中e+fi∈G～.

證明 設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為x+yi，其在正方形NSTR上，但不在ST，RT邊上，設(shè)向量OMMN對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為e+fi，因OM=ON+NM.由命題2知，|c+di∈Z[i].s.t.ON=（a+bi）（c+di），故由命題1知x+yi=（a+bi）（c+di）+（e+fi），故e=x-（ac-bd），f=y-（ab+bc）.由于x，y，a，b，c，d∈Z.故e，f∈Z，且由向量平移知e+fi∈G～.由于ON確定（OM的唯一分解），故e+fi唯一確定.得證.

定理 商環(huán)Z[i]/（a+bi）含有a2+b2個(gè)元素.

證明 現(xiàn)利用命題1，2，3.證明a≠0，b≠0的情況（對(duì)于a=0，b=0同理可證）.

首先做如下說(shuō)明：易知

a+bi={（c+di）（a+bi）|c+di∈Z[i]}.

令[t=x1+y1i]=t+（a+bi）=x1+y1i+（a+bi），即Z[i]/（a+bi）={[t]，t∈Z[i]}.

同理有[t=x1+y1i]=[s=x2+y2i]t-s∈（a+bi）a+bi|t-st，s被a+bi整除時(shí)有相同余數(shù).

由命題3知：x+yi∈Z[i].有x+yi=（a+bi）（c+di）+（e+fi）.e+fi∈G～.

故a+bi|x+yi-（e+fi），故x+yi與e+fi被整除時(shí)有相同的余數(shù).

即[x+yi]=[e+fi]，

故Z[i]/（a+bi）={[e+fi]，e+fi∈G～.}

由于G～中所含元素個(gè)數(shù)為a2+b2個(gè).

故|Z[i]/（a+bi）|=a2+b2.

結(jié)論 本文給出了高斯整數(shù)環(huán)其商環(huán)元素個(gè)數(shù)的幾何求解方法，通過(guò)對(duì)本課題的研究，加深對(duì)高斯整數(shù)環(huán)的了解，推出定理.在研究本課題的過(guò)程中，學(xué)會(huì)在借鑒前人研究成果的基礎(chǔ)上，通過(guò)科學(xué)的分析和嚴(yán)格的推理，得出新的理論成果.一方面，磨煉自己堅(jiān)持不懈、百折不撓的頑強(qiáng)意志；另一方面，培養(yǎng)在科學(xué)研究的道路上勇攀高峰的奮斗精神.同時(shí)，在深刻領(lǐng)悟人類智慧成果的基礎(chǔ)上，不斷提高自身的數(shù)學(xué)素質(zhì)和科研能力，為今后的學(xué)習(xí)和工作奠定基礎(chǔ).