關(guān)于路立方圖的一個(gè)充要條件

涂巧霞

(黃岡師范學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，湖北 黃州 438000)

關(guān)于路立方圖的一個(gè)充要條件

涂巧霞

(黃岡師范學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，湖北 黃州 438000)

在有向圖中,哈密爾頓圖一定是強(qiáng)連通圖,但強(qiáng)連通圖不一定是哈密爾頓圖，本文證明了一類具有偶數(shù)階的路立方圖的任何定向,通過(guò)推點(diǎn)運(yùn)算,可推成哈密爾頓有向圖，當(dāng)且僅當(dāng)可推成強(qiáng)連通有向圖.

強(qiáng)連通；哈密爾頓；推點(diǎn)

1 引言

文中未提及的符號(hào)和術(shù)語(yǔ),參見[1].

關(guān)于路圖的立方圖的研究,主要有以下結(jié)果.

關(guān)于哈密爾頓可推性與強(qiáng)連通可推性的等價(jià)性,Klostermeyer已經(jīng)證明如下結(jié)論.

定理4[5]圈圖的平方圖的任何定向,當(dāng)且僅當(dāng)可推成哈密爾頓圖,一定可推成強(qiáng)連通有向圖.

下文將定理4 的結(jié)果在路立方圖上作一推廣.

2 主要結(jié)果

圖的定向A

圖的定向B

引理1[4]A不能推成強(qiáng)連通有向圖.

引理2R(A)能推成定向B.

證明 只須將R(A)中所有偶數(shù)標(biāo)號(hào)的頂點(diǎn)集作推點(diǎn)運(yùn)算即可.

引理3[5]定向D可推成強(qiáng)連通有向圖(哈密爾頓有向圖)當(dāng)且僅當(dāng)R(D)可推成強(qiáng)連通有向圖(哈密爾頓有向圖).

引理4B不能推成強(qiáng)連通有向圖.

證明

反證法：若B能推成強(qiáng)連通有向圖,則據(jù)引理3,R(B)也能推成強(qiáng)通有向圖,由引理2,A能推成R(B),故A也能推成強(qiáng)連通有向圖,與引理1矛盾.

引理5[2]若P是圖G中的u-v路,則G的每個(gè)定向都可以通過(guò)推點(diǎn)運(yùn)算,使P成為一條u-v有向路.

證明 設(shè)P2k=v1v2v3…v2k,若D不能推成哈密爾頓有向圖,則據(jù)引理5,D可推成D′使得P2k成為一條有向v1-v2k路,以下可證D′∈{A,B}.首先驗(yàn)證兩個(gè)結(jié)論:

結(jié)論1 每個(gè)弱4-圈vi-1vi-2vi+1vi+2vi-1(3≤i≤2k-2)是壞的.

結(jié)論1的證明

結(jié)論2 第個(gè)弱4-圈vivi-2vi+1vi+3vi(3≤i≤2k-3)是壞的.

結(jié)論2的證明

v2v5v7…v2k-1v2kv2k-2…v6v4

因此,v1v4∈A(D′).據(jù)結(jié)論1,當(dāng)i=3時(shí)可得v5v2∈A(D′),當(dāng)i=4時(shí)可得v3v6∈A(D′),類似地,當(dāng)i=5,6,…,2k-2時(shí),可以確定P2k中所有距離為3的弧.接下來(lái)考慮P2k中所有距離為2的弧,分兩種情形:

情形1v3v1∈A(D′)

可以證明D′=A.只須證明v2v4∈A(D′)以及v5v3∈A(D′)即可,這是因?yàn)?據(jù)結(jié)論2,v3v1,v2v4,v5v3這三條弧可以確定P2k中所有距離為2的弧與A保持一致.

v3v6v8…v2kv2k-1v2k-3…v5v2

因此v2v4∈A(D′).

v1v4v6v8…v2kv2k-1v2k-3…v7v5

因此v5v3∈A(D′).

情形2v1v3∈A(D′)

與情形1同理可以驗(yàn)證,D=B.

定理5的證明: 只須證明充分性即可.不妨設(shè)D能推成強(qiáng)連通有向圖,如果D不能推成哈密爾頓有向圖,據(jù)引理7,則D要么推成A,要么推成B.據(jù)引理1和引理4,A和B均不能推成強(qiáng)連通有向圖,那么D也不能推成強(qiáng)連通有向圖,得到矛盾.

[1] Diestel R. Graph Theory[M]. New York :Spring-Verlag，2000.

[2] Klostermeyer W F， Solte L. Hamiltoncity and reversing arcs in Digraphs[J]. J Graph Theory,1998,28(1):13-30.

[3] 孫靜,陳園,胡智全.關(guān)于一類立方圖的可圈性研究[J].華中師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2006,40(1):16-17.

[4] 涂巧霞.關(guān)于一類立方圖的可連通性[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2009,25(6):100-103.

[5] Klostermeyer W F. An Analogue of Camion’s Theorem in Squares of Cycles[C]. Proceedings of the Twenty-ninth Southeastern International Conference on Combinatorics，1998，(132):205-218.

責(zé)任編輯 王菊平

A necessary and sufficient condition on the cube of path

TU Qiao-xia

(College of Mathematics and Physics, Huanggang Normal University, Huangzhou 438000, Hubei, China)

It is generally known that, Hamiltonian digraph must be strong connected digraph, on the contrary, it doesn′t work. This paper will prove that an orientation of the cube of a path with even order can be made strong using the push vertex operation， if and only if it can be made Hamiltonian using the push operation.

strong connected; Hamilton; push vertex

2017-03-04 doi 10.3969/j.issn.1003-8078.2017.03.05

涂巧霞，女，湖北武穴人，講師，碩士，主要研究方向?yàn)檫\(yùn)籌學(xué)與圖論。

O157.5

A

1003-8078(2017)03-0025-03