蒙特卡羅方法計算定積分

黃婧涵

摘 要 數學領域中，定積分計算問題應用廣泛，經典的定積分數學定義方法可直接用于求解定積分，但是，對于函數解析式未知的情況下，傳統的數學定義方法無法進行定積分計算，而蒙特卡羅方法對函數解析式不進行限制，其以概率方法進行近似計算從而逐漸逼近定積分理論值。本文針對函數解析式已知與未知的兩種情況，分別以定積分數學定義方法和蒙特卡羅方法進行定積分計算，并從算法收斂速度以及計算結果精確度兩方面對算法進行評測。實驗結果表明，定積分數學定義法收斂速度快，計算精度高，但是普適性低，對于函數解析式未知情況下無法進行計算；而蒙特卡羅方法盡管收斂速度較慢，但是普適性極高，且函數解析式未知情況下，效果更優。

關鍵詞 微積分；定積分；蒙特卡羅方法；收斂速度

中圖分類號 O1 文獻標識碼 A 文章編號 2095-6363（2017）07-0003-02

1 概述

微積分[ 1 ]是數學領域的一個基礎學科，是高等數學中研究函數微分、積分以及有關概念與應用的數學分支，其研究范疇包含3個方面：微分、積分以及微分與積分兩者之間的關系。

若（ ）f x是[a，b]上的連續函數，并且有（ ）（ ）F xf x=，則（ ）（ ）（ ）baf x dxF bF a∫=？。也就是說，一個定積分的值就是原函數積分上限的值與原函數在積分下限的值的差值，即牛頓-萊布尼茲公式計算定積分。其表明對于圖形無限細分再累加成為可能，并可將其轉化為對積分的計算，揭示了積分與微分本質的關系，因此牛頓-萊布尼茲公式又稱微積分基本定理。

然而計算定積分[ 2 ]的數學定義方法以及牛頓-萊布尼茲公式方法都僅限于函數（ ）f x解析式已知的情況，對于（ ）f x未知解析式的情況下，無法進行定積分求解。

蒙特卡羅（Monte-Carlo）[3]方法是20世紀40年代中期由于科學技術的發展和電子計算機的發明，被提出的一種以概率理論[4]為指導的一類極其重要的數值計算方法，是以隨機抽樣為主要手段，使用隨機數（或偽隨機數）解決數值計算問題的方法，又稱統計模擬方法。蒙特卡羅方法是一種重要的利用計算機模擬的近似計算方法，主要用于解決確定性的數學問題（如計算定積分）和隨機性問題（如擴散問題），廣泛應用于各個領域。對于定積分計算領域因函數（ ）f x解析式未知而無法運用定義方法進行定積分計算的難題，蒙特卡羅方法以統計模擬方法進行定積分計算。

2 蒙特卡羅方法計算定積分

定積分就是求解函數（ ）f x在區間[a，b]上圖線下方包圍的面積，即在Oxy坐標平面上，曲線（ ）f x與直線xa=、xb=以及x軸圍成的曲邊梯形的面積值（確定的實數值）。其數學定義為：若函數（ ）f x在區間[a，b]上連續，以平行于y軸的直線分割圖象為無數個矩形，而后累加區間[a，b]上的矩形。具體方法如下：

對于定積分計算問題，若函數（ ）f x解析式已知，則可以傳統的數學定義方法可直接求解定積分，亦可以蒙特卡羅方法以概率的近似計算方法求解定積分；但是對于函數（ ）f x解析式未知的情況，傳統的數學定義方法無法進行定積分計算，而以概率論進行近似計算的蒙特卡羅方法對函數解析式無限定，依舊適用于定積分計算。

3 實驗結果

針對函數（ ）f x解析式已知與未知的兩種情況，分別以數學定義方法與蒙特卡羅方法進行定積分計算，實驗結果如下。

4 結論

綜上所述，兩種方法在不同情況下收斂效果不同。定積分數學定義方法適用于給定函數解析式的定積分求解，其收斂速度快，計算結果精度高，然而普適性較低，難以實現函數解析式未知的定積分求解問題；而蒙特卡羅方法盡管收斂速度較慢，精度較低，實驗結果誤差并非單調遞減趨勢，但是普適性強，對函數解析式未知的定積分計算依然適用。

參考文獻

[1]同濟大學數學編委組.微積分：上冊[M].3版.北京：高等教育出版社，2009.

[2]馬曉濤，馬華.定積分計算中的幾個常用方法[J].高等數學研究，2005，8（6）：36.

[3]尹增謙等.蒙特卡羅方法及其應用[J].物理與工程，2002，12（3）：45-49.

[4]馬振華.現代應用數學手冊：概率統計與隨機過程卷[M].北京：清華大學出版社，2000：123-130.

[5]宮野.計算多重積分的蒙特卡羅方法與數論網絡法[J].大連理工大學學報，2001，4（11）：20-23.