靜摩擦力積累的實驗探究

韋蘭香，梁玉娟，賴華碧，左倩，鄭惠敏

(河池學院 物理與機電工程學院，廣西 宜州 546300)

靜摩擦力積累的實驗探究

韋蘭香，梁玉娟，賴華碧，左倩，鄭惠敏

(河池學院 物理與機電工程學院，廣西 宜州 546300)

在日常生活中靜摩擦力隨處可見，且作用巨大。許多力學、大學物理教科書中關于力平衡的一些實例，在理論上從某個側面體現出靜摩擦力是可以積累的，且效果顯著。為了探究靜摩擦力作用的相互性及顯著性，文章通過用標準砝碼，采用不同材料進行實驗探究，結果表明靜摩擦力是可以積累的，且隨著兩物體接觸面的增大而顯著增大，與理論研究結果是相一致的。

靜摩擦力；棉線；鐵棒；玻璃瓶；竹筒

0 引言

所謂靜摩擦力是指相互接觸并相互擠壓的兩個物體保持相對靜止，但是存在著相對運動的趨勢時，在接觸面之間出現一對阻礙相對運動的力。日常生活中，靜摩擦力是很常見的，且應用非常廣泛，作用巨大。例如，在靜摩擦力的作用下，人、動物可以在地面上正常行走，車輛能安全行駛在路上，若沒有靜摩擦力，物體、動物會相互頻繁碰撞，世界將是混亂無序的；皮帶運輸機傳送貨物時的是貨物和傳送帶之間的靜摩擦力，解放勞動力，提高工作效率；各種漂亮的服裝，靠的是紗線之間的靜摩擦力；人類能拿筷子夾菜、拿筆寫字都是靜摩擦力作用的結果，可見，靜摩擦力的作用是何等的巨大。由力學、大學物理等教科書[1-3]可知，靜摩擦力的大小、方向不是固定不變的，而是由物體受到外力作用決定的，大小在零和最大值之間變化，最大值靜摩擦力f=μN，μ為靜摩擦力系數，N為正壓力。為了能獲得更大的靜摩擦力，還可以把靜摩擦力積累起來，文獻[1-4]已從理論上推導出纏繞在木樁上繩索兩端張力之間的關系為T=T0e-μθ，其中T0為阻力，T為動力，μ為靜摩擦力系數，θ為繩索纏繞木樁的包角，動力隨著繩索纏繞木樁包角的增大而呈負指數關系減小，即T遠遠小于T0，e指數中包含有摩擦系數，因此，該式隱含體現出靜摩擦力隨著繩索纏繞木樁包角的增大而迅速增大。為了探究靜摩擦力作用的相互性及顯著性，下面分別用不同的材料進行實驗探究。

1 實驗模型及簡化處理

圖1 實驗模型

圖2 輕繩一小質元受力側面圖

建立如圖1所示的模型，設重物的質量為m，用纏繞在水平柱上的繩子將其拉住，柱與繩之間的摩擦系數為μ，為使重物不下落，求所用最小拉力F為多大？

任意取輕繩一小質元，其受力側面圖如圖2所示，其中T為阻力方向，T+dT為拉力方向，f為繩與柱之間的靜摩擦力，小質元的起始角為θ，小質元對圓柱中心點O的夾角為dθ。由幾何關系可得靜摩擦力f與拉力T+dT的夾角為dθ/2。對所取微元應用牛頓第二定律，得[3]

切線方向：(T+dT)cos(dθ/2)+f-Tcos(dθ/2)=0

(1)

因為dθ是無窮小量，所以有cos(dθ/2)→1，sin(dθ/2)→dθ/2。當θ=0時T=mg，θ=Θ時T=F。Θ=L/R，Θ代表繩長為L所對應的總圓心角。略去二階無窮小量dTdθ，整理得

(4)

對(4)式作定積分得，

F=mge-μΘ

(5)

(5)式的F即是繩端的拉力。

現將繩端與高精度酷貝電子彈簧秤相連，拉力F的大小由酷貝電子彈簧秤直接讀取，且其方向是可以改變的，從而可以改變繩子纏繞柱子包角的大小。酷貝電子彈簧秤有4種單位可以切換：公斤(kg)、磅(lb)、市斤(g)、盎司(oz)。現重物采用標準砝碼，電子彈簧秤選用公斤(kg)作為單位，因此(8)式中可以去掉重力加速度而簡化為：

M拉力=m砝碼e-μΘ

(6)

由于(6)式沒有重力加速度，因此可以避免因測量當地重力加速度不準而帶來的誤差，提高精確度。酷貝電子彈簧秤的參數如下：

產品材質：ABS塑料外殼+高強度精鋼

產品尺寸：長10cm×寬5.5cm×高2cm

包裝尺寸：長17cm×寬10cm×高3cm

產品重量：180g

誤差范圍：最大稱重50kg，最小稱重100g，10kg以下精度為5g，誤差0～20g，10kg以上精度為10g，誤差0～50g。

2 實物實驗及結果分析

圖3 實驗裝置

實驗裝置如圖3所示，首先是確立材料之間的摩擦系數，采用θ=90°角，即電子彈簧秤沿水平方向拉，標準砝碼在豎直方向。確立好材料之間的摩擦系數后，固定好標準砝碼的質量，依次將棉線纏繞在不同材料的圓柱體上并在電子彈簧秤上讀出對應圈數拉力的示數。實驗材料選用的棉線直徑為1.45 cm，線密度為0.731 g/m。圓柱體的材料分別選取直徑為3.5 cm的鐵棒、直徑為18.8 cm的圓柱形玻璃瓶、直徑為7.1 cm的竹筒。根據實驗測得的數據，依據公式(6)計算出材料之間的摩擦系數，然后再根據所求得摩擦系數的平均值由公式(6)計算出棉線纏繞圓柱體不同圈數所需拉力的理論值，并與實驗值進行比較，見表1～表6所示，理論值與實驗值直觀形象比較見圖4所示。

實驗一：棉線與鐵棒

表1 確定棉線與鐵棒之間的摩擦系數μ(θ=90°)

表2 M拉力隨棉線纏繞鐵棒圈數的變化關系(m砝碼=750g)

實驗二：棉線與玻璃瓶

表3 確定棉線與玻璃瓶之間的摩擦系數μ(θ=90°)

表4 M拉力隨棉線纏繞玻璃瓶圈數的變化關系(m砝碼=750g)

實驗三：棉線與竹筒

表5 確定棉線與竹筒之間的摩擦系數μ(θ=90°)

表6 M拉力隨棉線纏繞竹筒圈數的變化關系(m砝碼=750g)

圖4 固定砝碼質量為750 g，拉力隨棉線纏繞圓柱物體圈數的變化關系

由表2、表4、表6、圖4可知，重物為750 g的標準砝碼，拉力隨著棉線纏繞圓柱體圈數的增加而顯著減小。代表理論值的曲線比較平滑，衰減到零所需的圈數較多；代表實驗值的曲線比較陡峭，衰減到零所需的圈數較少，這是由于簡易的實驗設備比較粗糙，代表重物的質量比較少，電子彈簧秤存在一定的誤差，測量摩擦系數時不能保證每次都是90°角，因此，實驗值與理論值存在一定的差別，但變化趨勢是一致的，都說明隨著棉線與圓柱體接觸點的增多，接觸面增大，靜摩擦力積累越來越多，致使棉線兩端的張力顯著不同。日常生活中，有效利用靜摩擦力的積累可以省力，提高工作效率。

3 結論

通過不同的材料做實驗得到相類似的結果：繩端拉力隨棉線纏繞圓柱體圈數的增多而顯著減小，說明存在靜摩擦力的情況下，繩中的張力不同，且隨接觸點的增多可以存在很大差別，甚至達到繩端拉力為零，因此，巧妙地利用靜摩擦力的積累可以省力，解放勞動力，提高工作效率。

[1]漆安慎，杜嬋英.普通物理學教程力學[M].3版.北京：高等教育出版社，2012.

[2]張漢壯，王文全.力學[M].3版.北京：高等教育出版社，2015.

[3]陳信義.大學物理教程[M].2版.北京：清華大學出版社，2008.

[4]梁玉娟，左倩，賴華碧，等.靜摩擦力在曲面上的累積效應[J].河池學院學報，2016，36(5)：109-112.

[責任編輯 韋楊波]

Experimental Exploration of the Calculation of Static Friction

WEI Lanxiang ,LIANG Yujuan, LAI Huabi, ZUO Qian, ZHENG Huimin

(School of Physics and Mechanical & Electronics Engineering, Hechi University, Yizhou, Guangxi 546300, China)

static friction can be seen everywhere in daily life but it plays a vital role. Some cases about force balance in lots of textbooks, such as mechanism, college physics, etc, from some aspect embody the static friction can be accumulated and has prominence effect in theory. In order to explore the mutuality and significance of static friction, this paper does some experiments to explore by using different material and scaling with standard weight. The result shows that the static friction can be accumulated, and significantly increases with the increasing of the contact area of two objects, which is in accordance with the theory.

static friction; cotton thread; iron bars; glass bottle; bamboo

O314

A

1672-9021(2017)02-0063-04

韋蘭香(1979-)，女，廣西東蘭人，河池學院物理與機電工程學院講師，主要研究方向：交通流理論，物理教學。

2016年國家級、自治區(qū)級大學生創(chuàng)新訓練資助項目(201610605013，201610605016，201610605068)。

2016-11-26