Mathieu方程的一階近似解

韋玉程，張曉春

(1.河池學院 數學與統計學院，廣西 宜州 5463002.南寧市八桂綠城小學，廣西 南寧 530031)

Mathieu方程的一階近似解

韋玉程1，張曉春2

(1.河池學院 數學與統計學院，廣西 宜州 5463002.南寧市八桂綠城小學，廣西 南寧 530031)

考慮含小參數的Mathieu方程的近似解問題，運用攝動理論中的重正化方法，得到其一階近似解。并計算了一類含初值問題的Mathieu方程的近似解。

Mathieu方程；重正化方法；近似解。

0 引言

20世紀初，Hilb等人在研究具周期變系數的Liouville型方程時導出了Hill方程，

之后，人們發現，Hill方程在天體力學、自動控制、無線電技術等諸多領域中有廣泛的應用。20世紀60至80年代，Hill方程引起了廣泛的研究。主要討論其周期解的穩定性及初值問題。在實際的應用中，人們總是期待“運動”是穩定的周期函數，同時又適合一定的初始條件。Floquet理論表明：當f(t)為實的周期函數時，方程具有Floquet解，然而Floquet解還不是一般意義下的周期解。這樣激起人們興趣的是：什么條件下得到方程穩定的周期解？另一方面是周期解與Floquet解相差多大？

本文主要關注一類特殊的Hill方程——含有小攝動參數的Mathieu方程的近似解問題。Mathieu方程常見于自然科學及工程技術領域中。如月球的運動、電磁波在具周期結構性介質中的傳播、電學系統中受周期外力的激發、力學中非線性保守系統周期解的穩定性等問題以及船舶海洋工程中，纜繩和潛水艇拖纜的動力學問題等現象的數學模型的描述均涉及到Mathieu方程，關于Mathieu方程相關的討論可參看文獻[1-6]。

攝動方法是求解微分方程近似解的一種有效方法，其主要思想是通過攝動展開式(含參數的冪級數)的形式表示方程的近似解。但攝動展開式往往是發散的，其有效范圍有限，而且在某些所謂非一致域上變失效即出現長期項。圍繞著含參數冪級數中出現長期項的問題，數學與物理學工作者們做了深入的研究與探討，使用各種技巧想辦法消去長期項。于是出現了各種奇異攝動方法，如匹配展開法、平均法、多重尺度法、伸縮坐標法等等。關于攝動方法的相關知識看參閱文獻[7-8]。

重正化方法是坐標伸縮法的一種，其想法是在所得到的漸近展開冪級數的基礎上，對變量進行重新參數化，通過對參數的具體選取，達到消去長期項的目的。這是一種消長期項的有效方法之一。后來根據重正化方法發展形成的重正化群方法，在量子電動力學的領域中得到了很好的應用。日本物理學家Sin-ItiroTomonaga，因為在量子電動力學基礎理論的研究中使用重正化理論的得到的突破性的成果與J.Schwinger、R.Feynman共同獲得1965年的諾貝爾物理學獎。

本文將對Mathieu方程中使用重正化方法求其一階近似解，做為例子，我們還計算了一個具有初值條件的Mathieu方程的一階近似解。

1 主要結果及證明

定理：考慮形如

(1)

的含小參數的Mathieu方程，其中δ為不等于零的參數；ε是小參數。則方程具有如下形式的一階近似解：

其中C1，C2，C3，C4為常數。

證明：定理的結論將通過以下幾個步驟得到實現。

第一步，求冪級數形式解

對于方程(1)，設它具有如下形式的解，

u=u0+εu1+ε2u2+…，

(2)

于是

u″=u″0+εu″1+ε2u″2+….

(3)

把(2)，(3)代入(1)，整理之后得如下方程：

u″0+δu0+ε(u″1+δu1+u0cos2t)+…=0.

(4)

比較方程(4)兩端ε的同次冪系數

ε0:u″0+δu0=0;

(5)

ε1:u″1+δu1=-u0cos2t;

(6)

二階線性方程(5)對應的特征方程為

λ2+δ=0，

故而方程(5)有通解

其中C1,C2為任意常數。從而方程(6)化為

(7)

由三角函數的和差化積公式得

將該方程拆分成以下四個方程：

(8)

(9)

(10)

(11)

根據微分方程疊加原理，方程(8)、(9)、(10)與(11)的解之和便是方程(7)的解。

方程(8)對應的的齊次線性方程的通解為

其中C3,C4為任意常數。根據非齊次項的形式，(8)的特解可設為

(12)

于是

(13)

將(12)與(13)代入(8)，并比較它們的系數得

從而有

故(8)的非齊次線性方程的特解為

類似的，可求得非齊次線性方程(9)、(10)、(11)的特解分別如下：

于是方程(6)的解為

將u0,u1代入(2)，得u的一階冪級數解的展開式為

第二步，作重正化變換

下面對u的冪級數展開式做重正化變換，令

t=τ(1+εω1+ε2ω2+…)，

代入u的冪級數展開式，得

下面將按ε進行展開，由于

注意到ε→0時有

于是有

類似的，有

因此

經整理可得

第三步，消長期項

在上面得到的的展開式中，發現長期項為

為了消除長期項，令

ω1=0,

注意到t=τ(1+εω1+ε2ω2+…)，即t=τ+O(ε2)，代回u的表達式得

至此，得到所要證明的結論。

2 初值問題實例

考慮如下Mathieu型初值問題

(15)

其中，δ為不等于零的參數；ε是小參數。

在(2)中考慮初值，有

u(0)=u0(0)+εu1(0)+ε2u2(0)+…=1；

比較ε的同次冪系數，得

u0(0)=1,u1(0)=u2(0)=…=0；

代入前面所求得的u0的表達式，可解得

再代入(14)式，可解得

從而初值問題(15)具有如下形式的一階近似解：

[1]張海燕，唐友剛，陳芳啟.非線性Mathieu方程的局部分岔和在余維2退化點的Hopf分岔[J].機械強度，2007(5)：717-721.

[2]劉彬，趙紅旭，侯東曉.一類含三勢阱Mathieu-Duffing振子的相對轉動系統的分岔混沌[J].物理學報，2014(17)：174502-1-9.

[3]李秀平，陳瓊，楊杰，等.Mathieu方程的不穩定區及其晶體挖擺動場輻射的穩定性[J].半導體光電，2014(3)：472-476.

[4]王杰方，安偉光，宋向華.一種Mathieu方程動力不穩定性邊界的方法[J].振動與沖擊，2015(12)：182-188.

[5]Xianghong Li, Jingyu Hou, Jufeng Chen . An analytical method for Mathieu oscillator based on method of variation of parameter[J] . Commun Nonlinear Sci Numer Simulat , 2016(37) : 326-353 .

[6]Appala Naidu Kotana, Atanu K. Mohanty . Computaion of Mathieu stability plot for any arbitrary toroidal ion trap mass analyser[J] . International Journal of Mass Spectrometry , 2017(414) : 13-22 .

[7]奈弗AH.攝動法[M].上海：上海科技出版社，1987.

[8]錢長偉.奇異攝動理論中及其在力學中的應用[M].北京：科學出版社，1981.

[責任編輯 韋志巧]

Approximate Solution of Mathieu Equation

WEI Yucheng1， ZHANG Xiaochun2

(1.School of Mathematics and Statistics, Hechi University, Yizhou, Guangxi 546300, China;2.Elementary school of Baguilucheng , Nanning, Guangxi, 530031 China)

In this paper, based on the renormalization method of singular perturbation theory is applied to the Mathieu equation, got the first-order approximate solution. Furthermore, we also calculate an initial value problem of Mathieu, as an example.

Mathieu equation; renormalization method; approximate solution

O175.1

A

1672-9021(2017)02-0067-06

韋玉程(1966-)，男(壯族)，廣西鳳山人，河池學院數學與統計學院副教授，博士，主要研究方向：臨界點理論。

廣西教育廳教改項目(2015JGB355；2015JGA332；2016JGA315)。

2016-11-18