例談運用分類討論思想解題

趙光義

在一些數學問題中，有些問題的結論不是唯一確定的，這就需要我們用分類討論的思想解決問題.在用分類討論思想解決問題時，我們要按照統一的標準進行分類，做到不重不漏.下面舉幾個運用分類討論思想解決數學問題的例子，加深同學們對分類討論思想的認識.

一、由絕對值引起的分類

例1 已知：a，b≠0，則[aa]+[bb]= .

解：根據a，b的正負，分四種情況討論：

① 當a>0，b>0時，[a=a，b=b]，

∴原式=1+1=2.

②當a>0，b<0時，[a=a，b=-b]，

∴原式=1-1=0.

③當a<0，b>0時，[a=-a，b=b]，

∴原式=-1+1=0.

④當a<0，b<0時，[a=-a，b=-b]，

∴原式=-1-1=-2.

綜上所述，[aa]+[bb]的值為2，0，-2.

評注：含有絕對值的問題，通常根據絕對值的定義，按照含有絕對值式子的正負進行分類求解.

二、由概念的指向不明確引起的分類

例2 若函數y=（a-1）x2-2x-1的圖象與x軸只有一個交點，則a的值為 .

解：分兩種情況討論：

① 當a-1≠0，即a≠1時，函數為二次函數，函數y=（a-1）x2-2x-1與x軸只有一個交點時，Δ=（-2）2-4（a-1）×（-1）=0，

解得a=0.

②當a-1=0，即a=1時，函數為一次函數y=-2x-1，與x軸只有一個交點（[-12]，0）.

綜上所述，a=0或1.

評注：本題中，“函數”的概念指向不明確，該函數有可能是二次函數，也有可能是一次函數，因此我們需要分類討論.

三、由全等三角形或相似三角形的對應邊引起的分類

例3 如圖1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，點P為AB邊上一動點，若△PAD與△PBC是相似三角形，則滿足條件的點P的個數是 （ ） [·][A][B][C][D][P][圖1]

A. 1個 B. 2個

C. 3個 D. 4個

解：∵AD∥BC，∠ABC=90°，

∴∠BAD=∠ABC=90°.

又AB=8，AD=3，BC=4，

∴設AP=x，則BP=8-x.

要使△PAD與△PBC相似，分兩種情況討論：

①若△APD∽△BPC，則[APBP=ADBC].

∴[x8-x=34].

解得[x=247] .

②若△APD∽△BCP，則[APBC=ADBP].

∴[x4=38-x].

解得x=2或x=6.

綜上所述，滿足條件的點P有3個.故選C.

評注：三角形的相似，由于邊的對應存在不唯一性，所以在求解此類問題時，通常按照邊的對應關系進行分類討論.

四、由等腰三角形或直角三角形引起的分類

例……