高職高等數(shù)學中一元函數(shù)之幾種常用極限求法實例探析

曾位

【摘要】極限是高等數(shù)學中的重要概念之一，它既是用來刻畫變量在變化過程中變化趨勢的一個基本概念，又是研究高等數(shù)學的重要工具和思想方法，作為高等數(shù)學的基礎，它貫穿于整個高等數(shù)學始終.極限的求法是高等數(shù)學學習中的難點之一，又是全國專升本入學考試數(shù)學公共科目必考的內(nèi)容.求極限的方法較多，本文基于教師在高職生的教育教學中針對高職生的學習現(xiàn)狀歸納總結(jié)出了幾種常用的易于高職生學習的求極限的方法，并給出了幾道專升本真題實例，希望對專升本的學生有一定的幫助.

【關鍵詞】一元函數(shù)；極限；實例

極限是高等數(shù)學中的兩個重要概念之一，是高職學生進入大學后所學的第一個新的數(shù)學概念，是研究高等數(shù)學的重要工具和思想方法，作為高等數(shù)學的基礎，它貫穿于整個高等數(shù)學始終.一元函數(shù)極限的求法是高職學生高等數(shù)學學習中的難點之一，又是全國專升本入學考試數(shù)學公共科目必考的內(nèi)容.求一元函數(shù)極限的方法較多，本文基于本人在高職生的教育教學中針對高職生的學習現(xiàn)狀歸納總結(jié)出了在實際計算中用的較多、專升本考試中出現(xiàn)次數(shù)較多的幾種.

一、一元函數(shù)極限求法例析

（一）分段函數(shù)在某一點（左右兩側(cè)函數(shù)表達式不一樣）時求極限

求分段函數(shù)在某一點（左右兩側(cè)函數(shù)表達式不一樣）的極限，要根據(jù)定理，即 limx→x0f（x）=A limx→x-0f（x）=limx→x+0f（x）=A，特別注意當函數(shù)在某一點的左極限和右極限都存在但是不相等時，則函數(shù)在這一點的極限是不存在的.

例1 設函數(shù)f（x）=x，x<1，x-1，x≥1，

求 limx→1f（x）.

解 因 limx→1-f（x）=limx→1-x=1， limx→1+f（x）= limx→1+（x-1）=0，所以 limx→1f（x）不存在.

例2 設函數(shù)f（x）=|x|=-x，x<0，x，x≥0， 求 limx→0f（x）.

解 因 limx→0-f（x）= limx→0-（-x）=0， limx→0+f（x）=limx→0+x=0，所以 limx→0f（x）=0.

（二）一般一元函數(shù)求極限

1.有理整式函數(shù)直接代入法求極限

一般地，對于有理整式函數(shù)（多項式）f（x）=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0，有 limx→x0f（x）=f（x0）.

例3 求 limx→2（x4-3x2-6）.

解 原式=24-3×22-6=-2.

2.有理分式函數(shù)求當x→x0時的極限

對于有理分式函數(shù)f（x）=S（x）T（x），S（x），T（x）均為多項式.（1）當 limx→x0T（x）=T（x0）≠0時， limx→x0S（x）T（x）=S（x0）T（x0）；（2）當 limx→x0S（x）=S（x0）≠0， limx→x0T（x）=T（x0）=0時， limx→x0S（x）T（x）=∞；（3）當 limx→x0S（x）=S（x0）=0， limx→x0T（x）=T（x0）=0時，在求“00”型極限時，先對分子、分母進行因式分解或其他恒等變形（如，分子或分母有理化、三角恒等變形等），消去零因子，再求極限.

例4 求 limx→12x+22x2+x+1.

解 原式=limx→1（2x+2）limx→1（2x2+x+1）=2×1+22×12+1+1=1.

例5 求 limx→1x-3x2-5x+4.

解 x=1時，分母=0，分子≠0，但因 limx→1x2-5x+4x-3=12-5·1+41-3=0，∴l(xiāng)imx→1x-3x2-5x+4=∞.

例6 求 limx→12x2-x-13x2-2x-1.

解 原式= limx→1（x-1）（2x+1）（x-1）（3x+1）= limx→12x+13x+1

=2×1+13×1+1=34.

3.有理分式函數(shù)求當x→∞時的極限

一般地，對于有理分式函數(shù)

f（x）=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0bmxm+bm-1xm-1+…+b1x+b0，

求 limx→∞f（x）的方法：分子、分母同除以x的最高次冪.

結(jié)論： limx→∞f（x）=0，m>n，anbm，m=n，∞，m

例7 求 limx→+∞2x4+x2-13x5-4x+2.

解 原式= limx→+∞2x+1x3-1x53-4x4+2x5=0+0-03-0+0=0.

例8 求 limx→-∞2x3+x-13x3+x2.

解 原式= limx→-∞2+1x2-1x33+1x=2+0-03+0=23.

4.利用兩個重要極限公式求極限

利用兩個重要極限公式，即 limx→0sinxx=1和 limx→∞1+1xx=e，可得出兩個推導公式，即 limx→∞sinxx=0和 limt→0（1+t）1t=e，只要牢記兩個重要極限公式的本質(zhì)，即 lim□→0sin□□=1和 lim□→∞1+1□□=e（其中□表示x的函數(shù)），則此類極限問題就可迎刃而解了.

例9 求 limx→0sin5xx.

解 limx→0sin5xx=5limx→0sin5x5x=5×1=5.

例10 求 limx→∞1+1xx2.

解 limx→∞1+1xx2=limx→∞1+1xx12

=limx→∞1+1xx12=e12.

5.利用函數(shù)的等價無窮小代換求極限

定義：設limX=0，limY=0，且Y≠0，若 limXY=1，則稱X與Y是等價無窮小量，記為X～Y.

定理：設在某一極限過程中，α～α′，β～β′，若limβ′α′=a（或為∞），則limβα=limβ′α′.定理告訴我們：在計算只含有乘、除法的極限時，無窮小量可以用其等價無窮小量替代.

常用的等階無窮小列舉如下：當x→0時，有sinx～x，arcsinx～x，tanx～x，arctanx～x，1-cosx～x22（這里的x可以換為□，其中□表示x的函數(shù)）.

例11 求 limx→0tan3xsin5x.

解 limx→0tan3xsin5x=limx→03x5x=35（因為tan3x～3x，sin5x～5x，所以可以替換）.

例12 求 limx→01-cosxx2.

解 limx→01-cosxx2=limx→012x2x2=12（因為1-cosx～x22）.

注意：如果在加減法中用等價無窮小量替代，則會產(chǎn)生錯誤，如，limx→0tanx-sinxx3=limx→0x-xx3=0.

6.利用洛必達法則求極限

對于“00”或“∞∞”型未定式求極限，用定理：

（1）limf（x）=limF（x）=0（或為∞）；（2）f（x）與F（x）在∪°（a）內(nèi)（或|x|>N）可導且F′（x）≠0；（3） limf′（x）F′（x）存在（或為∞），則有 limf（x）F（x）=limf′（x）F′（x）.

例13 求 limx→0x-sinxx3.00

解 原式=limx→01-cosx3x2=limx→0sinx6x=16.

例14 求 limx→+∞lnxxn（n>0）.∞∞

解 原式=limx→+∞1xnxn-1=limx→+∞1nxn=0.

二、專升本真題分析

在我們的實際解題過程中，特別是專升本考試數(shù)學題目中，需要把幾種方法結(jié)合起來，綜合地應用，這就要求我們的思維要開闊，頭腦要靈活，下面舉幾道真題中的計算題實例說明.

例1 （2012年重慶市專升本）計算極限 limx→0x-sinxtan2x.

解 原式=limx→0x-sinxx2（此步驟用了函數(shù)的等價無窮小替換，即tanx～x）

=limx→01-cosx2x（此步驟用了洛必達法則）

=limx→0sinx2（此步驟繼續(xù)使用了洛必達法則）=0.

例2 （2015年成人高考專升本）計算 limx→1sin（x-1）x2-1.

解法一 原式=limx→1sin（x-1）（x+1）（x-1）（此步驟根據(jù)因式分解而來）

=limx→11x+1×limx→1sin（x-1）x-1（此步驟依據(jù)極限運算四則運算）

=12×1（此步驟依據(jù)兩個重要極限的第一個極限計算，即 lim□→0sin□□=1，此時“□”表示的是“x-1”）=12.

解法二 原式=limx→1x-1x2-1（此步驟應用了函數(shù)的等價無窮小替換，即當x→1時，sin（x-1）～（x-1））

=limx→11x+1（此步驟應用了因式分解求法）=12.

解法三 原式=limx→1cos（x-1）2x（此步驟用了洛必達法則計算）=12.

例3 （2016年重慶市專升本）求極限limx→0ex-cosxtan2x.

解 原式=limx→0ex-cosx2x（此步驟應用了函數(shù)的等價無窮小替換）

=limx→0ex+sinx2（此步驟用了洛必達法則計算）=12.

【參考文獻】

[1]易新友.高等數(shù)學[M].長沙：湖南師范大學出版社，2015.