在初中數學教學中培養學生的逆向思維

張圣游

一、在數學知識講解中滲透逆向思維

逆向思維是素質教育中不容忽視的內容，也是一種創新的思維方式。初中數學教材中包含了很多滲透逆向思維的教學內容，教師可以引導學生從逆向（反面）來理解其內涵，從而培養學生的逆向思維習慣。

1.結合數學概念或定義教學，滲透逆向思維

不少初中數學概念與定義需要學生從正反兩面加以思考與理解。在教學這些內容時，教師既要引導學生從正面理解，又要引導他們逆向思考，深入理解數學知識。

如在教學一元二次方程根的概念時，教師應先引導學生正向理解概念：“如果x1、x2為方程ax2+bx+c=0的兩根，那么ax12+bx1+c=0，ax22+bx2+c=0。”然后，教師引導學生進行反向分析：“如果ax12+bx1+c=0，ax22+bx2+c=0，且x1≠x2，那么x1、x2為方程ax2+bx+c=0的兩個根。”通過正向與逆向兩方面的分析，學生會更透徹、更全面地把握一元二次方程根的定義，提高解題效率。

2.借助定理與推論，培養逆向思維

數學定理是學生需要掌握的基礎知識之一，也是訓練學生逆向思維的重要素材。在教學初中數學定理時，教師可以引導學生注意定理的可逆性和相互性，分清定理的題設與結論。雖然每個定理都有逆命題，但有些逆命題可能不妥，這是學生容易出錯的地方，教師可以先正面講解，然后再逆向提問，訓練學生逆向思維的同時，又幫助他們更深地理解定理，準確運用定理解題。

3.利用數學公式，滲透逆向思維

在初中數學教學中，數學公式也是訓練學生逆向思維的重要途徑。教師可以合理利用數學公式引入逆向思維，讓學生探索公式的互逆形式，打破學生的常規思維，熟練地掌握逆用公式，輕松解題。如多項式乘法與因式分解、乘方與開方均為互逆運算，在教學時，教師要注意啟發學生的逆向思維，認識它們的互逆關系，養成逆向思維的習慣。

二、在數學解題應用中強化逆向思維訓練

1.運用逆推法或反證法

在解答數學題目時，如果由正面思考步驟比較煩瑣或者難以解答的題目時，學生不妨試著改變思維方式，運用逆推法或反證法，包括數學定理、公式等知識的逆向應用，另辟蹊徑。

例1.已知梯形ABCD中，AB與CD平行，∠C≠∠D，證明：梯形ABCD不是等腰梯形。

教師可以引導學生運用反證法，輕松得證。假設梯形ABCD是等腰梯形，所以∠C=∠D（等腰梯形同一底上的兩個內角相等），和題中所給條件∠C≠∠D相矛盾，所以假設不成立。可見，梯形ABCD不是等腰梯形。

例2.已知|a|﹤1，|b|﹤1，求證：|a+b|﹤|1+ab| 。

如果按照常規思維，學生直接證明該題會有一定的困難。此時，教師可以引導學生嘗試逆推法，由結論進行推倒，得到應有的不等式。將|a+b|﹤|1+ab| 兩邊平方，可以得出a2+2ab+b2﹤1+2ab+ a2b2，即 a2+b2-a2b2 -1﹤0。分解因式（1-b2）（a2-1）﹤0，根據已知條件推出這個不等式，再予以證明。

∵|a|﹤1，|b|﹤1

∴a2﹤1，b2﹤1，則有a2-1﹤0，

1-b2﹥0，那么（a2-1）（1-b2）﹤0

∴a2+b2-a2b2-1﹤0

∴a2+b2+2ab﹤1+a2b2+2ab

∴（a-b）2﹤（1+ab）2

∴|a+b|﹤|1+ab|

2.適當地展開逆向變式訓練

教師適當地展開逆向變式訓練，即轉化已知與求證，使之變為相似于原題的新題型，能進一步強化學生的逆向思維。

例3.如圖1所示，在△ABC中，AB=AC，P、Q 分別是AC、AB邊上的兩點，同時∠ABP=∠ACQ，求證：AP=AQ。

當學生證明命題后，教師可引導他們轉換原題中的結論與題設，形成新的命題，養成雙向思維的好習慣。“逆向變式”：如圖1所示，在△ABC中，AB=AC， P、Q分別是AB、AC邊上的兩點， AP=AQ，證明：∠ABP=∠ACQ ；“逆向變式”；在△ABC中，P、Q分別是AC、AB邊上的兩點，同時AP=AQ，∠ABP=∠ACQ，證明：AB=AC。通過逆向變式訓練，能夠促使學生構建完整而合理的新知識，更好地理解問題的本質，學會舉一反三。

在初中數學學習中，逆向思維有助于學生加深對知識的理解，簡化解題過程，提高學習能力。因此，數學教師要結合教學內容，有針對性地強化逆向思維訓練，讓學生養成逆向思維的習慣，進一步提高學生的解題能力。