探討中考數學“新定義”問題的解題策略

吳小嶸

摘要：近幾年各省、市數學中考題中不斷出現“新定義”型問題，所謂“新定義”型問題，主要是指在問題中定義了中學數學中沒有學過的一些概念、新運算、新符號，根據新定義進行運算、推理、遷移的一種題型。

關鍵詞：特例探索；歸納證明；拓展應用；思維能力；創新能力

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2017）04-0102

近幾年各省、市數學中考題中不斷出現“新定義”型問題，所謂“新定義”型問題，主要是指在問題中定義了中學數學中沒有學過的一些概念、新運算、新符號，根據新定義進行運算、推理、遷移的一種題型，它能考查學生對新概念（公式）特性的理解和認識，能考查學生適應新問題、接受新知識、認識新事物的能力，又能考查學生的自學能力，以及信息的收集、遷移和應用能力，它對培養學生的思維能力和創新能力就有很好的促進作用。同時，此類題型新穎別致，頗具魅力，已成為中考試題中新亮點。本文先以最近兩年江西省兩道“新定義”中考試題為例進行探討。

例1（2015江西省中考題24題）：我們把兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”。例如圖1，圖2，圖3中，AF，BE是△ABC的中線，AF⊥BE，垂足為P，像△ABC這樣的三角形均為“中垂三角形”。設BC=a，AC=b，AB=c。

特例探索：（1）如圖1，當∠ABE=45°，c=2■時，a= ，b= ；

如圖2，當∠ABE=30°，c=4時，a= ，b= ；

歸納證明：（2）請你觀察（1）中的計算結果，猜想a2，b2，c2三者之間的關系，用等式表示出來，請利用圖3證明你發現的關系式；

拓展應用：（3）如圖4，在□ABCD中，點E，F，G分別是AD，BC，CD的中點，BE⊥EG，AD=■，AB=3。求AF的長。

分析：本題定義了一種新的“中垂三角形”，三個環節圍繞著新定義展開閱讀、感知、理解，計算、猜想、論證與拓廣應用；本題運用了中位線的性質、勾股定理、等腰直角三角形、全等三角形，相似三角線、平行四邊形等有關知識。本題要求解答者讀懂題意并結合已有的知識進行理解，再根據新的定義進行運算、猜想、推理，歸納、證明、遷移，拓展應用。

解：（1）如圖1，連接EF，則EF是△ABC的中位線，

∴EF=■AB=■，∵∠ABE=45°，AE⊥EF .∴△ABP是等腰直角三角形，∵EF∥AB ，∴△EFP也是等腰直角三角形，

∴AP=BP=2，EP=FP=1，∴AE=BF=■，∴a=b=2■.

如圖2，連接EF，則EF是△ABC的中位線.

∵∠ABE=30°，AE⊥BF，AB=4，

∴AP=2，BP=2■，∵EF∥■AB，∴PE=■，PF=1，

∴AE=■，BF=■ ∴a=2■，b=2■.

（2）a2+b2=5c2

如圖3，連接EF， 設AP=m，BP=n，則

∵EF∥■AB，∴PE=■BP=■n，PF=■AP=■m，

∴AE2=m2+■n，BF2=n2+■m2，

∴b2=AC2=4AE2=4m2+n2，

a2=bc2=4bf2=4n2+m2

∴a2+b2=5（m2+n2）=5c2

（3）如圖，連接AC，CE，延長CE交BA的延長線于點H。在△ACD中，∵E，G是分別是AD，CD的中點，∴EG∥AC。∵BE⊥EG，∴AC⊥BE。

又∵□ABCD，∴AE∥BC，AD=BC，BC=2AE。

∴△HAE∽△HBC。∵■=■=■=■，

∴HA=AB，HE=EC。∴BE，CA是△HBC的中線。

∴△HBC是“中垂三角形”，∴HB2+HC2=5BC2。

又∵AB=3，AE=■，∴HB=6，BC=2■. ∴.即HC=8.

∵AF是△HBC的中位線，∴AF=■HC=4。

思考：第（1）問設計特例探索僅僅認知了“中垂三角形”，但隱含了解決第（2）題思路方法，特別是中位線構造；第（2）問通過（1）猜想歸納中垂三角形一般結論并還是需要嚴格的幾何邏輯推理證明。第（3）小題解題方法多樣，主要是通過添加輔助線構造“中垂三角形”，然后再運用（2）問的一般結論求AF的長，有一定難度。但是，從整道題來看，第（1）小題和第（2）小題作為“路標”，解決第（3）小題可以拾階而上，讓學生經歷對新概念的理解、操作、運用和證明過程。此題解決的關鍵是先從特殊圖形出發，理解新概念的內涵，抓住本質，逐步歸納出解決一般情形的方法，然后進行拓展應用。

例2（2016年江西省中考題22題）【圖形定義】：如圖，將正n邊形繞點A順時針旋轉60°后，發現旋轉前后兩圖形有另一交點O，連接AO，我們稱AO為“疊弦”；再將“疊弦”AO所在的直線繞點A逆時針旋轉60°后，交旋轉前的圖形于點P，連接PO，我們稱∠OAB為“疊弦角”，△AOP為“疊弦三角形”。

【探究證明】：（1）請在圖1和圖2中選擇其中一個證明：“疊弦三角形”（即△AOP）是等邊三角形；（2）如圖2，求證：∠OAB=∠OAE。

【歸納猜想】：（3）圖1、圖2中“疊弦角”的度數分別為 ，

（4）圖n中，“疊弦三角形” 等邊三角形（填“是”或“不是”）；

（5）圖n中，“疊弦角”的度數為 （用含n的式子表示）。

分析：本題定義了“疊弦三角形”的概念，圍繞它的定義進行猜想、探究、證明。本題運用了旋轉的性質，等邊三角形、全等三角形的性質和判斷方法及正多邊形等有關知識。本題要求解答者讀懂題意并結合已有的知識進行理解，再根據已學的概念進行探究證明、歸納猜想。

（1）如圖1，∵四ABCD是正方形，

由旋轉知：AD=AD′，∠D=∠D′=90°，∠DAD′=∠OAP=60°

∴∠DAP=∠D′AO，∴APD≌AOD′（ASA）∴AP=AO，

又∠OAP=60°，∴AOP是等邊三角形.

（2）如右圖，作AM⊥DE于M，作AN⊥CB于N.

∵五邊形ABCDE是正五邊形，由旋轉知：AE=AE′，∠PEA=∠E′=108°，∠EAE′=∠OAP=60°∴∠EAP=∠E′AO，∴△APE≌△AOE′（ASA）∴∠OAE′=∠PAE.

在Rt△ABM和Rt△ABN中，

∠M=∠N=90°∠ABM=∠ABN=72°AE=AB

∴Rt△AEM≌Rt△ABN （AAS）。∴∠EAM=∠BAN，AM=AN.

在Rt△APM和Rt△AON中，AP=AOAM=AN

∴Rt△APM≌Rt△AON（HL）.

∴∠PAM=∠OAN，∴∠PAE=∠OAB∴∠OAE′=∠OAB（等量代換）

（3）15°，24°

（4）是

（5）∠OAB=[（n+3）×180°÷（n+3）-60°]÷2=60°-■。

思考：此題第（1）問探究了“疊弦三角形”的形狀，然后在第（2）問中探索“疊弦三角形”的“疊弦角”的性質。最后在第（3）（4）（5）問中由特殊到一般，進一步探究了“疊弦三角形”的形狀及“疊弦角”的度數。題目中新定義的數學概念與學生已有的數學概念和知識有機結合，通過添加輔助線，構造全等三角形，來證明等角和等線，鍛煉了學生的推理能力，有助于發展學生的空間觀念，較好地考查了學生獲取信息及利用所獲得的信息解決問題的能力，有利于培養學生形成良好的學習方式，培養了學生自主學習的能力； 靈活運用的能力。

上述兩道“新定義”中考試題，要求考生能透徹理解課本中的所學內容，善于總結解題規律，歸納出用于應用的操作程序及步驟。其解題的過程就是將“新”規則及符號轉化到“舊”的知識體系中。其解題的關鍵的兩點：一是掌握問題原型的特點及其問題解決的思想方法，二是根據問題情景的變化，合理進行思想方法的遷移。其解決新的途徑有三種：利用新知識解決問題；利用結論解決問題；利用新方法解決問題。利用新知識解決問題本題也是一種對新定義規則的應用，而新定義的規則學生是比較容易理解與掌握的。其解題方法：一般是運用新定義的法則轉化成常規方法，其中運用數形結合思想、類比思想、轉化思想、分類討論思想、方程思想、函數思想等，多角度、多側面分析問題。

總之，新定義型問題，一般構思巧妙、題意新穎、隱蔽性強，因此在平時的學習中要加強閱讀能力的培養，通過轉化、類比、推廣等方法，建構知識網絡，養成科學合理的推理運算，提高靈活綜合運用所學知識解決較為復雜問題的能力。這樣，學生在解決“新定義”型問題中就一定能取得更好的成績。

參考文獻：

[1] 嚴浩良，沈岳夫.對一道“新定義”型探究題的解法探析與拓展[J].中學數學，2016（4）.

[2] 胡偉斌.對一道新定義題的再探究[J].中學數學教學參考旬刊，2013（7）.

[3] 李立松.對一道新定義試題的解題分析的思考[J].中學數學教學參考，2007（12）.

[4] 陶衛東.對一道新定義試題的解題分析的思考[J].理科考試研究（初中版），2013（20）.

[5] 劉建玉.見識一道“新定義”試題[J].中學生數學（初中版），2013（3）.

（作者單位：江西省撫州市東鄉區第二中學 344000）