變截面諧振管內駐波非線性研究

郭琪磊，馬 堯，寧方立

（1.中國民用航空飛行學院，航空工程學院，四川廣漢618307；2.西北工業大學，機電學院，陜西西安710072）

變截面諧振管內駐波非線性研究

郭琪磊1，馬 堯1，寧方立2

（1.中國民用航空飛行學院，航空工程學院，四川廣漢618307；2.西北工業大學，機電學院，陜西西安710072）

基于整體軸向諧振激勵下求解變截面諧振管內非線性駐波的間斷Galerkin方法，研究了圓錐形諧振管內非線性駐波穩態時的瞬態特性。在圓錐形諧振管中，能夠獲取到無沖擊的非線性駐波，驗證了本方法計算圓錐形諧振管內非線性駐波的正確性，并通過提高局部逼近階N，改善了壓力波形兩端的數值振蕩；研究了加速度幅值a0、頻率f、初始壓力P0對非線性駐波壓力波形和諧振管內流體流速的影響，為實現諧振管內非線性駐波應用于強聲密封提供了有益思考。

諧振管；非線性駐波；Navier-Stokes方程；間斷Galerkin；參數影響

諧振管內高幅值聲壓可應用于聲壓縮[1]、強聲密封[2]和微機電系統[3]等工程實踐中。圓柱形諧振管內非線性駐波由于具有聲飽和現象，其最大聲壓幅值僅能達到336 kPa.相比于圓柱形諧振管，變截面諧振管能夠獲得更高的聲壓幅值，Lawrenson[1]和Ilinskii[4]于1998年分別以試驗和數值仿真的方法研究了變截面諧振管內非線性駐波形成特性。其后，國內外學者對變截面諧振管內非線性駐波特性進行了深入廣泛的研究。

Chun和Kim[5]在控制方程的建立中考慮了諧振管橫截面積的影響，發現諧振管內駐波的非線性效應與諧振管的形狀及外激勵幅值的關系。Luo[3]等無量綱化諧振管尺寸，利用伽遼金方法對不同尺寸的諧振管內的非線性駐波進行了一維數值仿真，發現諧振管的各向尺寸比例關系對其內部非線性駐波幅值的影響十分顯著。Li[6]等通過數值仿真的方法對諧振管形狀進行優化，從而獲得了高于文獻[1]中的壓縮比（Pmax/Pmin）。Mortell和Seymour[7]在圓錐形、指數形諧振管內獲得了無沖擊的壓力波形，并探尋了激勵幅值與頻率的內在關系。

在已有研究中[8]，基于Navier-Stokes方程和理想氣體狀態方程，并結合Runge-Kutta方法和限制器技術，構建了一種整體軸向諧振激勵下求解諧振管內非線性駐波的間斷Galerkin方法，分析了不同形狀諧振管內非線性駐波的各項物理性質。

本文研究整體軸向激勵下圓錐形諧振管內非線性駐波穩態時的瞬態特性，對比研究不同物理參數對壓力波形和流體流速的影響，為獲得更高壓縮比的諧振管形狀優化提出了可行性建議。

1 控制方程

整體軸向激勵下諧振管內流體為牛頓流體，其流動特性滿足一維瞬態Navier-Stokes方程（質量守恒方程與動量守恒方程）：

式中，ρ為流體密度；u為流體沿諧振管軸向速度；A為諧振管內節點處的截面積；t為時間；x為諧振管軸向坐標；r為諧振管徑向坐標；P為壓力；μ為流體動力粘度；a（t）為諧振管軸向諧振激勵加速度。

上述質量守恒方程與動量守恒方程不足以求解諧振管內流體密度ρ、軸向速度u、壓力P等未知量，因此引入理想氣體狀態方程

其中，p0為流體初始壓力；ρ0為流體初始密度；γ為流體比熱容比。

在空間離散過程，本文將考慮偽一維瞬態可壓縮Navier-Stokes方程的向量形式

在局部單元Dk上用方程得到的解為局部近似解（x，t），并對式中空間變量進行分部積分，并用數值通量F（hx，t）*代替F（（x，t）），得到控制方程弱形式

局部近似解可用如下格式表示

并在式中再次對空間變量進行分部積分，得到半離散格式的控制方程強形式

式中，Mk、Sk分別為局部質量矩陣、局部剛度矩陣，且其矩陣元素分別為（x，t）為局部節點解向量，ψ（x）局部試驗函數矢量，且有

諧振管內流體初始為靜止狀態，并將坐標系固連于諧振管中，對諧振管兩端速度施加無滑移邊界條件；之后加以頻率為f的整體軸向諧振激勵，激勵加速度為

式中，a0為激勵加速度幅值。

2 數值模型

圓錐形諧振管內填充R-134氣體作為工作媒質，R-134氣體參數如表1所示。

表1 R-134氣體參數

圓錐形諧振管形狀與文獻[1]中所述一致，管形函數如下：

根據文獻[3]，圓錐形諧振管軸向長度Lx=0.17m，諧振管小端半徑R1=0.005 6 m，大端半徑R2=0.044 45 m，如圖1所示；根據文獻[2]中關系式f=c0/（2Lx），推算得驅動諧振管的整體軸向諧振激勵頻率f=618Hz，并采用文獻[3]中關系式a0=F0Lx（2πf），得加速度幅值為a0=1 182.5m/s2.

圖1 圓錐形諧振管幾何形狀

編寫數值計算程序，對圓錐形諧振管內非線性駐波進行數值仿真。選取諧振管內（X=0.0，Y=0.0）位置作為觀測點，并選取局部逼近階N=7、單元數K=250，記錄圓錐形諧振管內監測點處壓力、速度等物理參數。

3 數值計算結果與分析

圖2（b）為局部逼近階N=5和N=7時圓錐形諧振管內非線性駐波的兩周期內壓力波形。與圓柱形諧振管內壓力波形出現沖擊波不同[8]，圓錐形諧振管內非線性駐波的壓力波形呈現出波峰尖銳、波谷平緩的特征，這與文獻[4]一致，驗證了本方法計算圓錐形諧振管內非線性駐波的準確性。同時，增大局部逼近階N，改善了壓力波形兩端的數值振蕩，從而提高計算精度。

圖2 不同加速度幅值下監測點處壓力波形

本文還探究了加速度幅值變化對于壓力波形的影響。如圖2所示，隨著激勵加速度幅值增大，壓力波形在波峰位置發生畸變，最大壓力幅值逐漸升高，壓縮比隨之增大，壓力波形整體結構也變得愈加尖銳。表2同樣證明了這一結論。

表2 不同加速度下壓力幅值與最大壓縮比

表3 不同頻率下壓力幅值與最大壓縮比

表4 不同初始壓力下壓力幅值與最大壓縮比

為探尋頻率f對非線性駐波的影響，對不同激振頻率下非線性駐波進行數值計算。如表3所示，隨著頻率f的增加，壓力幅值P和壓縮比Pmax/Pmin并沒有隨之線性增加，而是在f=618 Hz處出現最大值：壓力幅值P=731.5 kPa，壓縮比Pmax/Pmin=4.13.說明該諧振管的激振頻率為f=618 Hz，即此時諧振管內非線性駐波呈現無沖擊波且高幅值的壓力波形。

文中表4為不改變其他激勵條件而選取不同初始壓力P0的數值計算結果。同表3結果類似，在初始壓力P0=301 kPa時，非線性駐波的壓力幅值和壓縮比均出現最大值。

最后，研究了穩態時不同初始參數對諧振管內流體流速的影響。圖3、圖4分別為不同加速度幅值和激振頻率下流體流速，結果顯示在不改變其他條件下，諧振管內流體流速分別在a0=1 182.5 m/s2和f =618 Hz得到最大值u=2.912 m/s.正是由于諧振管內流體具有較大流速，才能阻礙諧振管兩端的氣體由高壓區域流向低壓區域，從而達到強聲密封目的。

圖3 不同加速度幅值下流體流速變化

圖4 不同激振頻率下流體流速變化

4 結論

基于整體軸向諧振激勵下求解變截面諧振管內非線性駐波的間斷Galerkin方法，研究了一維圓錐形諧振管內非線性駐波穩態時的瞬態特性。在圓錐形諧振管中，能夠獲取到無沖擊的非線性駐波，驗證了本方法計算圓錐形諧振管內非線性駐波的正確性性，并通過提高局部逼近階N，緩解了壓力波形兩端的數值振蕩；研究了加速度幅值a0、頻率f、初始壓力P0對非線性駐波壓力波形和諧振管內流體流速的影響，為實現諧振管內非線性駐波應用于強聲密封提供了有益思考。

[1]Lawrenson C C，Lipkens B，Lucas T S.Measurements of macrosonic standing waves in oscillating closed cavities[J]. Journal of the Acoustic Society of America.1998，104（2）：623–636.

[2]Daniels C C，Steinetz B M，Finkbeiner JR，Li X F，Ra man G.Investigations of high pressure acoustic waves inres onators with swal-like features[C]//NASA Seal Secondary Air Flow System Workshop.November 5-6，2003，Cleveland，USA.

[3]Luo C，Huang X Y，Nguyen N T.Generation of shock-free pressure waves in shaped resonators by boundary driving[J]. Journal of the Acoustic Society of America，2007，121（5）：2515-2521.

[4]Ilinskii Y A，Lipkens B，Lucas T S，et al.Nonlinear stand ing waves in an acoustical resonator[J].Journal of the Acous tic Society of America，1998，104（5）：2664-2674.

[5]Chun Y D，Kim Y H.Numerical analysis for nonlinear reso nant oscillations of gas in axisymmetric closed tubes[J].Journal of the Acoustic Society of America，2000，108（6）：2765-2774.

[6]Li X，Finkbeiner J，Raman G.Optimized shapes of oscillati ng resonators for generating high-amplitude pressure waves [J].Journal of Acoustic Society of America.2004，116：2814–2821.

[7]Mortell M.P，Mulchrone K.F，Seymour B.The evolution of macrosonic standing waves in a resonator[J].International Journal of Engineering Science.2009，47：1305-1314.

[8]韋娟，寧方立，郭琪磊.諧振管內非線性駐波的間斷Galerkin方法[J].機械工程學報，2016，52（23）：141-151.

Research on Nonlinear Standing Waves in Variable Cross-section Resonator

GUO Qi-lei1，MA Yao1，NING Fang-li2
（1.Civil Aviation Fight University of China，Aeronautical Engineering Institute，Guanghan Sichuan 618307，China；2.Northwestern Polytechnical University，School of Mechanical Engineering，Xi’an Shaan’xi 710072，China）

in this paper，based on the discontinuous Galerkin method for solving the nonlinear standing wave in a variable cross-section resonance tube，the transient characteristics of a nonlinear standing wave in a conical resonator are studied.In the conical resonance tube，nonlinear standing waves can get no impact，verify correctness of the conical resonance tube in the nonlinear standing wave method，and by increasing the local approximation order N，improves the numerical oscillation pressure waveform at both ends.The acceleration amplitude a0，frequency f，P0influence of initial pressure on nonlinear standing wave pressure the resonance tube flow velocity waveform，in order to achieve the resonance tube is applied to the strong nonlinear standing wave acoustic seal provides beneficial thinking.

resonators；nonlinear standing waves；Navier-Stokes equations；discontinuous galerkin；parameters affect

TH113.1

A

1672-545X（2017）04-0005-04

2017-01-24

郭琪磊（1988-），男，內蒙古呼倫貝爾人，研究生，助教，研究方向：強聲密封和氣動聲學。