基于完全抗混疊DTCWPT和包絡譜熵的軸承故障診斷

張鵬飛，林建輝，何 劉

（西南交通大學牽引動力國家重點實驗室，四川成都610031）

基于完全抗混疊DTCWPT和包絡譜熵的軸承故障診斷

張鵬飛，林建輝，何 劉

（西南交通大學牽引動力國家重點實驗室，四川成都610031）

針對經典小波包和雙樹復小波包（dual tree complex wavelet package transform，DTCWPT）能量泄漏和頻率混疊的缺陷，提出完全抗混疊的DTCWPT改進算法，該算法解決了經典小波包存在負頻率以及經典小波包和DTCWPT濾波器頻率不完全截止問題。根據高斯白噪聲頻率充滿整個頻帶的特性，通過小波包變換對高斯白噪聲進行分解，利用頻帶能量泄漏的定量分析方法，驗證了改進DTCWPT具有完全的抗頻帶能量泄漏特性。將改進DTCWPT方法和包絡譜熵引入到軸承故障診斷中，該方法的核心是：對軸承振動信號進行改進DTCWPT變換得到不同尺度的分解信號，分別計算各分解信號的包絡譜熵，合并熵值較小的幾個分量信號的包絡譜，最后根據合并的包絡譜來檢測軸承故障。該方法在消除經典小波包變換和DTCWPT頻率混疊和能量泄漏的同時還解決了小波包分量選擇盲目的問題。最后應用軸承故障試驗數據對該方法進行試驗驗證，結果表明：改進DTCWPT結合包絡譜熵選擇的方法能夠很好提取出軸承故障特征頻率的基頻、倍頻，提高了軸承故障的診斷效果。

軸承；改進DTCWPT；能量泄漏；包絡譜熵；故障診斷

軸承是旋轉機械中的核心部件，起到承載、支撐的關鍵作用，直接決定了機械設備運行品質和運行安全。特別是隨著我國工業機械化進程的進行，機械設備對軸承有更加高的要求。為了保障動力的安全傳遞，適應機械設備對軸承高可靠性的要求，開展軸承故障動態檢測技術的研究顯得十分迫切和必要。

在軸承故障診斷中，包絡解調技術是最常用的信號處理方法[1-3]，在對信號進行包絡解調前一般都要求先對振動信號進行濾波處理，而濾波器參數的選擇對信號后期的包絡解調效果有很大影響。目前，將小波包分解和包絡解調有機結合的處理方法在機械故障診斷中得到廣泛運用[4-7]。然而，經典離散小波包的小波濾波器存在負頻以及其濾波器不能完全截止的缺陷[8-9]，使得其小波包分解存在較大頻帶能量泄漏等問題，這給后續的包絡解調帶來較大影響，甚至得不到理想結果[10-11]。

根據高斯白噪聲在頻域充滿整個頻帶的特點，對高斯白噪聲進行分解，利用能量泄漏對經典小波包和雙樹復小波包分解效果進行定量分析[12-13]。對比了經典小波包和DTCWPT（dual tree complex wavelet package transform）的能量泄漏情況發現，雖然DTC WPT在各個頻帶上的能量泄漏較小但是其泄漏依然存在。本文在分析其泄漏產生的原因后提出了改進DTCWPT分解和重構算法。分析發現，改進算法完全克服了經典小波包和DTCWPT分解的能量泄漏問題。最后，文章結合包絡譜熵對信號的選擇特性，提出了基于改進DTCWPT和包絡譜熵選擇的軸承故障診斷方法

1 雙樹復小波包變換濾波特性和能量泄漏分析

DTCWPT相對于DTCWT（dual tree complex Wavelet transform）具有更高的頻率分辨率[14-16]，DTCWPT保留了DTCWT的優良特性，具有平移不變性、良好的方向選擇性、較小的頻率混疊以及較小的計算量等優點[8-9]。

1.1 經典小波包變換和雙樹復小波包變換濾波特性分析

小波變換是一種運用濾波算法對信號進行分解的方法，這相當于對信號進行低通和帶通濾波。知道小波濾波器系數時，利用以下公式可以計算得到相應濾波器的幅頻特性曲線[17]。

式中bi為濾波器系數。

本文以2層小波包分解為例，選擇db4小波包分解和DTCWPT進行濾波特性的比較。2層分解中各個子頻帶濾波器系數由公式2、3、4、5得到，式中H（z）為尺度濾波器系數，G（z）為小波濾波器系數。A1（z）、A2（z）、A3（z）、A4（z）的濾波器中心頻率依次增加。DTCWPT的濾波器系數計算由兩支經典小波包濾波器系數計算得到其實部和虛部。圖1和圖2分別為db4小波包和DTCWPT 2層分解的濾波特性曲線。

圖1 db4小波包濾波特性曲線

圖2 雙樹復數小波包濾波特性曲線

比較圖1和圖2發現db4小波包濾波器在各個尺度上均有負頻率，而DTCWPT濾波器僅存在很少負頻率，并且該負頻率會隨著分解層數增加而進一步減少。該特性也就是DTCWPT比經典小波包分解具有抗頻帶混疊的根本原因[8]。

1.2 經典小波包變換和雙樹復小波包變換能量泄漏分析

為了定量分析經典小波包和DTCWPT分解的能量泄漏問題，本文利用高斯白噪聲在整個頻域內包含所有頻率成分并均勻分布這一特性，利用DWPT（discrete wavelet package transform）和DTCWPT對高斯白噪聲進行分解，并設定理論頻帶范圍之外的頻率成分為能量泄漏部分。構造標準差為1的高斯白噪聲，其采樣頻率為8 000 Hz，采樣點數為8 000.進行3層經典小波包和DTCWPT分解，分別得到8個分量。由Mallet算法可知，信號頻率理論上被劃分為[0，500]、[500，1 000]、[1 000，1 500]、[1 500，2 000]、[2 000，2 500]、[2 500，3 000]、[3 000，3 500]、[3 500，4 000]八個理想頻帶，而理想頻帶以外的頻率成分為能量泄漏產生。首先求出各個分量的能量Ei，i＝1，2，…，8.而理想區間內的頻率成分能量為Eio，i＝1，2，…，8，則能量泄漏強度為：

利用式6求得經典小波包和DTCWPT分解后頻帶能量泄漏強度如圖3和圖4所示，可以看出DTCWPT的各頻帶能量泄漏強度都小于經典小波包變換。較強的能量泄漏意味著理想頻帶范圍之外存在著較多的頻率成分，這對后續包絡解調會產生很大的干擾。結合經典小波包和DTCWPT的濾波特性分析發現，DTCWPT能量泄漏小的主要原因是其小波包濾波器不存在較大負頻率，然而在非負頻率軸中，相鄰兩個濾波器間存在頻率交疊的現象，這是導致DTCWPT依然存在能量泄漏的原因。為了更好地將DTCWPT運用到工程中，本文提出了改進DTCWPT算法，該算法保留DTCWPT方法優良特性的同時，消除了小波包濾波器間的頻率交疊現象，達到完全抗頻帶混疊和抗能量泄漏。

圖3 經典小波包各頻帶能量泄漏強度

圖4 雙樹復小波包各頻帶能量泄漏強度

2 改進雙樹復小波包算法和仿真

2.1 改進雙樹復小波包算法及其頻率特性分析

DTCWPT雖然改善了小波函數在負頻率上的影響，但是由于小波濾波器不具有理想的頻率截止特性，低通部分和帶通部分在理論頻率交界處都相互延伸到對方一段，這使得各個子帶的頻率成分都包含了相鄰子帶的頻率成分，這也會造成頻帶混疊和能量泄漏。

為了改善小波濾波器不能完全截止問題，在分解過程中的各個濾波器后增加一個矯正濾波器。矯正濾波器作用是去掉小波濾波器中多余的頻率成分，其算法思路為每次與小波濾波器卷積后，就對卷積結果做快速傅里葉變換，然后將頻譜中多余的頻率成分的譜值置零，再對置零后的頻譜作傅里葉逆變換，以快速傅里葉逆變換的結果代替與小波濾波器卷積的結果，繼續進行小波包分解與重構。其算法為圖5所示，圖中矯正濾波器ch，cg計算公式分別為式7和式8，矯正濾波器輸出由式9計算得到。

圖5 改進雙樹復小波算法

式中，Nj為第j層的數據點，w=，x（n）為第j層尺度上的小波或尺度系數，x軇（n）為矯正濾波器輸出圖6為改進DTCWPT濾波器特性曲線，分析圖6發現，改進DTCWPT的濾波器在頻率正半軸沒有頻率交疊。

圖6 改進雙樹復數小波包濾波特性曲線

2.2 改進雙樹復小波包能量泄漏分析

同樣用改進DTCWPT對標準差為1的高斯信號進行3層小波包分解，其各個頻帶的泄漏能量強度如圖7所示，從圖中可以發現改進DTCWPT各頻帶幾乎沒有能量泄漏，其最大泄漏強度不超過4×10-3，所以改進DTCWPT算法具有完全的抗頻率混疊和能量泄漏的優勢。

圖7 改進雙樹復小波包各頻帶能量泄漏強度

3 基于小波包分解的包絡譜熵

軸承出現局部故障時，其時域波形表現為周期性沖擊的調制信號，為有效檢測沖擊的周期性，引入包絡譜熵的概念[17]。

信號x（t）經小波包分解和單子重構后得到n個分量信號d（1k），d（2k），…，d（nk），其中n=2j，j為小波包分解層數，k=1，2，….計算n個分量的包絡譜F1（k），F（2k），…，F（nk）.首先對包絡譜做平方處理（改善譜線區分度）E（ik）=（k），得到各個包絡譜分量的最大值Eimax和最小值Eimin，再將區間[Eimax，Eimin]劃分為M個等長區間：[Eimin，a1]，[a1，a2]，…，[aM-1，Eimax].如果第i個分量的包絡譜線的平方落在第m個區間[aM-1，am]的個數為N，各個分量譜線的個數為K，那么在該區間的譜分布概率為P（im）=N/K，則第i個分量信號的包絡譜熵為：

4 基于改進DTCWPT和小波熵選擇的軸承故障診斷模型

依據信號的采樣頻率，對信號進行以下幾步處理：第一步，對振動加速度信號進行合適層數的改進DTCWPT分解和單子重構得到個分量；第二步，針對每個分量計算Hilbert包絡和傅里葉變換；第三步，針對每個分量計算包絡譜熵，并設定熵閾值；第四步，合并小于熵閾值的包絡譜信號的頻率軸。應用合并信號的傅立葉譜來檢測輪對軸承故障。該檢測模型如圖8所示。

圖8 軸承改進DTCWPT和包絡譜熵選擇的故障檢測模型

5 軸承故障檢測模型的實驗驗證

利用工程信號驗證軸承故障檢測模型的有效性，測試數據來源于某軸承試驗臺，測試軸承為SKF6205-2RS深溝槽滾動軸承，部分參數見表1.軸承上布置了內圈和外圈的單點故障，故障點直徑為0.007 mm，深度為0.011mm.加速度傳感器以垂直于地面方向安裝在測試點上，信號采樣頻率為12 000 Hz，主軸的轉速為1 797 r/min，軸承的回轉頻率為f=29.95 Hz.

軸承單點故障時的特征頻率可由理論計算得到，公式14是軸承內圈故障特征頻率的計算方法，公式15是軸承外圈故障特征頻率fo的計算方法。

表1 SKF6205-2RS軸承主要參數

由公式14和表1可以計算得到在轉速為1 797 r/min時軸承內圈的故障特征頻率fo=107.36 Hz.圖9為軸承外圈故障時域圖，圖10為外圈故障信號的傅里葉譜。從圖10中可以發現軸承外圈故障特征頻率，但是由于噪聲影響主軸轉頻和軸承外圈故障特征頻率的諧波分量被淹沒在噪聲中，僅靠幅值很小的一個故障特征頻率譜線很難對軸承故障下結論。同樣用本文提出的故障檢測模型對外圈故障數據進行處理，其層改進DTCWPT處理后各個分量信號（頻率由低到高）的包絡譜熵如圖11，具體的熵大小見表2.軸承外圈出現故障時，滾動體每次經過故障點都會產生振動沖擊，故障信號表現為高頻振動與故障特征信號互相調制現象，所以此時信號中高頻部分表現出規律性和有序性，其對應的包絡譜熵值變小，而該信號低頻處故障特征信息不明顯，其無序性最強，相應的包絡譜熵值也最大，各個分量信號頻帶由低頻向高頻過渡時必然出現包絡譜熵值由大到小的變換，包絡譜熵值由大變小必然是信號更有序的表現，若只關注信號由無序變有序過程只需關注包絡譜熵值由大到小的變化值，即關注相鄰頻帶包絡譜差值的負值（正值無關計為0）。該變換曲線定義為包絡譜熵下坡線。圖11的包絡譜熵下坡線為圖12所示，包絡譜熵差值在點3處最小（峰谷）也就是頻率分量由3過渡到4，信號由無序變為有序最明顯。所以最佳包絡譜熵閾值大小應小于頻帶分量3的包絡譜熵（0.027 0），合并包絡譜熵小于0.027 0的小波包節點包絡譜如圖13所示。

圖9 外圈故障時域圖

圖10 外圈故障傅里葉譜

圖11 外圈故障信號DTCWPT包絡譜熵

表2 內圈故障信號各個頻帶包絡譜熵

圖12 包絡譜熵下坡線

圖13 改進DTCWPT-包絡譜熵選擇處理后的傅里葉譜

從圖14中可以清楚發現軸承轉頻、倍頻、外圈圈故障特征頻率及其倍頻，其譜線清晰明了，這些特征能很好斷定軸承狀態。該方法與原始信號直接包絡譜分析（圖15）對比發現，直接包絡譜方法雖然也檢測到了轉頻和外圈故障特征頻率及其2倍頻，但是其特征頻率高階諧波凸顯不佳。故障沖擊顯著時的頻譜會表現出更多高階諧波，而直接包絡譜分析顯然對高階諧波檢測能力不足，并且直接包絡譜方法檢測出的特征譜線比本文方法檢測到的特征譜線幅度小，這不利于低信噪比故障信號的檢測。而本文方法不僅檢測到了故障特征頻率的高階諧波，還增強了各個特征譜線，相對于傳統直接包絡譜方法具有更強的檢測能力。

圖14 外圈故障直接包絡譜圖

圖15 內圈故障直接包絡譜圖

6 結束語

本文在改進DTCWTP的同時，將包絡譜熵理論引入到軸承故障檢測中，具有很好的工程運用價值。該方法概括起來具有以下特點：

（1）DTCWTP與經典小波包變換相比，其濾波器不存在負頻率成分，使得DTCWTP具有近似平移不變性和抗頻率混疊。但是DTCWTP和經典小波一樣，其濾波器在截止頻率處不能完全截止，在相鄰分解尺度頻率間存在嚴重的頻率混疊和能量泄漏；

（2）改進DTCWTP的濾波器不存在經典小波包濾波器的負頻率，并且其濾波器在截止頻率處完全截止，使得改進DTCWTP在相鄰尺度分解中不存在頻率泄漏和頻率混疊的缺陷，其能量泄漏幾乎為零；

（3）包絡譜熵反應解調譜對應時域波形的有序性和周期性。包絡譜熵越小，其原始信號周期性沖擊越明顯，這為小波包分解后分量信號的選擇提供了理論依據；

（4）改進DTCWTP與包絡譜熵相結合的軸承故障診斷方法，能夠有效檢測出故障基頻、倍頻等關鍵振動模式和振動特征，具有重要的工程意義。

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Diagnosis O f Bearing Fault Based On Comp lete Anti-Aliasing DTCWPT And Envelope Spectrum Entropy

ZHANG Peng-fei，LIN Jian-hui，HE Liu
（Southwest Jiaotong University，State Key Laboratory of Traction Power，Chengdu 610031，China）

A new improved algorithm of the complete anti-aliasing dual tree complex wavelet package transform（DTCWPT）is proposed aiming at the energy leakage and frequency aliasing existing in classical wavelet package transform or DTCWPT.The improved algorithm solves the problem of negative frequencies existing in classic wavelet and the problem of the frequency of filter being incomplete cutoff in classic wavelet transform and DTCWPT.According to the characteristics of gaussian white noise，whose frequency is full of the whole frequency band，the gaussian white noise was decomposed by a wavelet packet transform，and the parts with energy leakage were regarded as a theoretical part band beyond the range of the frequency components.Then the lower energy leakage characteristic of improving DTCWPTwas verified by a quantitative analysismethod of frequency band energy leakage.The improved DTCWPT and envelope spectrum entropy was introduced into the fault detection of bearing.The vibration signals of bearing were decomposed through the improved DTCWPT to get the different scale decomposition signal.The envelope spectrum entropy of decomposition signal was calculated，and the envelope spectrums of several component signals that has small spectrum entropy were selected tomerge.Themerged envelope spectrum was applied to detect fault of bearing.The new method solves the problem of frequency aliasing and energy leakage existing in classical wavelet packet transform or DTCWPT and it solves the problem of the unreasonable choice of wavelet packet component at the same time.The method was verified by the test data of bearing fault，the results showed themethod of improved DTCWT and envelope spectrum entropy can effectively detect the fundamental frequency and frequency multiplication caused by the fault of bearing and improve the effect of bearing fault diagnosis.

bearing improved DTCWPT；energy leakage；envelope spectrum entropy；fault diagnosis

U211

A

1672-545X（2017）04-0144-06

2017-01-25

國家自然科學基金項目（61134002，51305358）；精密測試技術及儀器國家重點實驗室開放課題（PIL1303）

張鵬飛（1990－），男，河北廊坊人，碩士研究生，主要研究方向為非線性非平穩信號處理；林建輝（1964－），男，福建莆田人，博士生導師，主要研究方向為鐵路機車車輛設計安全檢測技術和試驗研究以及機械設備故障診斷；何劉（1990－），男，四川綿陽人，碩士研究生，主要研究方向為非線性非平穩信號處理。