立體幾何最值問題的解題思路

程少輝

摘 要：立體幾何試題是高考命題的必考點，本文結合多點教學經驗，詳細介紹了幾種常用的解決立體幾何最值問題的解題思路，為高考的復習規劃拋磚引玉，打開思路。

關鍵詞：高考試題 立體幾何 最值 解題

解決立體幾何試題需要有一定的空間想象力，將邏輯推理與運算相結合，才能較好地解決此類題目。近年來，高考命題在設計和立意上開始對立體幾何試題進行創新，其中立體幾何求最值的題型較多，需要重點關注一下該類題型的解題思路。下面針對高考題中該類型的一些題目進行簡要的分析。

一、轉移

例1 如圖1，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為BC的中點，若點P在線段D1E上，則點P到直線CC1的距離的最小值為_____。

分析 過點P作與直線CC1垂直且相交于點H的直線，則線段PH的長度就是點P到直線CC1的距離，但線段PH的長度的最小值不易求得。如果設點P在平面ABCD上的射影為P′，則PP′//CC1，易知PH=CP′，從而點P到直線CC1的距離的最小值就等于CP′的長度的最小值。這種利用平行線轉移的方法在求點到直線的距離或點到平面的距離時經常用到。[1]

解 設點P在平面ABCD上的射影為P′，顯然點P到直線CC1的距離的最小值為P′C的長度的最小值。注意到點P′是DE上的動點，易知：當P′C⊥DE時，P′C的長度最小，此時P′C==，所以點P到直線CC1的距離的最小值為。

二、對稱

例2 如圖2，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，點P是面BCC1B1上一動點，則AP+PD1的最小值為_____。

分析 聯想到平面幾何中的相應問題，可作點A關于平面BCC1B1的對稱點，從而通過對稱變換將線段AP相等地轉移到線段MP。

解 延長AB到M，使BM=AB，連接AP，D1P，MP，則AP+PD1=MP+PD1≥MD1=，當且僅當D1、P、M三點共線時取“=”，所以AP+PD1的最小值為。

點評 例2是一個動點的最小值問題，而例2是兩個動點的最小值問題，對稱變換是解決這類問題的重要手段。[2]

三、旋轉

例3 已知兩平行平面a、b之間的距離為，S∈平面a，M∈平面a，P∈平面b，N∈平面b，SP=，MN=2，求異面直線SP與MN所成角的最大值和最小值。

解 如圖3，設S在平面b上的射影為O，過S作SE//MN，交平面b于E，從而∠PSE或它的補角就是異面直線SP與MN所成的角。

易證SE=MN=2，從而OE=1。

將Rt△SOE以SO為軸旋轉，則點E的軌跡是平面b內以O為圓心的圓，設直線PO交圓O于A、B。

在Rt△SPO中，由SP=，SO=得∠PSO=45°。

在Rt△SOA和Rt△SOB中，由SO=，SA=SB=2得∠ASO=∠BSO=30°。

因為PA≤PE≤PB，所以15°=∠PSA≤∠PSE≤∠PSB=75°，所以異面直線SP與MN所成角的最大值和最小值分別為75°，15°。

點評 將Rt△SOE以SO為軸旋轉，觀察旋轉過程中∠PSE大小的變化，就能從直觀上找到∠PSE的最大值和最小值；

四、翻折

將多面體的兩個面中的一個面沿著它們的公共邊翻折，使這兩個面共面，從而使位于這兩個平面內的幾條線段位于同一平面內，這樣就將空間問題轉化為平面幾何問題，多個面的情形也可類似處理，這就是降維的思想。

例4 如圖4，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面為直角三角形，∠ACB=90°，AC=6，BC=CC1=，P是BC1上一動點，則CP+PA1的最小值是_____。

解 連接A1B，沿BC1將△CBC1展開到與△A1BC1在同一個平面內，如圖5所示，連接A1C，則A1C的長度就是所求的最小值。易知∠A1C1B=90°，又∠BC1C=45°，所以∠AC1C=135°，由余弦定理可求得A1C=5。所以CP+PA1的最小值是5。

五、展開

圓柱和圓錐側面（或表面）上曲線段長度的最小值問題，我們一般通過作它們的側面（或表面）展開圖，再利用兩點之間線段最短加以解決，這是化曲為直的思想。

例5 圓錐的母線長為4，底面半徑為，若在圓錐的側面繞一圈絲線作裝飾：從底面上的點A出發，沿圓錐側面繞一周回到點A，則這條絲線的最短長度是____。

解 圓錐的側面展開圖如圖6所示，連接AA1，則AA1即為絲線的最短長度，過點O作OC⊥AA1于C，由弧長公式可求得∠AOA1=120°，∠OAC=30°。因為OA=4，所以AC=2，AA1=4。所以這條絲線的最短長度是4。

結語

綜上所述，以上所舉例題均為高考題中的經典命題案例，值得考生深入研究分析，通過理解學習，進一步掌握立體幾何最值問題的解題思路，從而對此類考題有一定的解題思維模式，更加從容應對此類型題目。

參考文獻

[1]李巍.立體幾何創新題型及解題策略[J].科技致富向導.2013（12）

[2]許衛華.高中數學立體幾何教學策略分析[J].數理化學習.2014（03）