基于已實現NGARCH模型的上證50指數的風險度量

魏正元，羅云峰，余德英，王愛法

(重慶理工大學 理學院， 重慶 400054)

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基于已實現NGARCH模型的上證50指數的風險度量

魏正元，羅云峰，余德英，王愛法

(重慶理工大學 理學院， 重慶 400054)

基于NGARCH模型刻畫了波動率的杠桿效應特征，在已實現GARCH模型的波動率方程中引入杠桿參數的擾動，建立了新的已實現NGARCH模型，并研究了新模型的動態VaR估計問題。上證50指數5 min頻率高頻數據VaR估計的返回測試結果表明：該新模型比已實現GARCH模型更好地刻畫了波動率的杠桿效應特征，在一定程度上提高了風險度量的預測精度。

金融高頻數據；杠桿效應；已實現NGARCH；風險度量；Kupiec失敗率檢驗

近年來，隨著電子化交易的普及和信息技術的快速發展，金融市場的波動性也日趨激烈，如何更精確地度量金融風險引起了人們的高度關注。金融風險度量方法經過半個多世紀的發展已經取得較大的進展，其中以Morgan提出的VaR(value at risk) 的使用最為廣泛[1]。VaR表示在給定置信水平下，某個金融資產在未來觀測期內可能承受的最大損失。置信水平為p的VaR被定義為

(1)

其中: {rt,t=1,…,n}表示日對數收益率序列；Pt-1表示截止于t-1期信息的條件概率。

如何估計資產收益的波動率是金融風險度量的關鍵問題，而波動率的估計精度主要取決于模型的假設和數據的采集頻率。在金融計量中波動率估計方面，以Bollerslev為代表的學者們提出的一系列GARCH族模型的應用最為廣泛[2]。傳統的GARCH族模型是以低頻數據作為研究對象。隨著計算機技術和存儲技術的快速發展，使得金融高頻數據越來越容易得到，且高頻數據比低頻數據包含了更豐富的市場信息，更受研究者的青睞。Andersen等[3]于2001年提出將高頻數據下的已實現波動率 (realized volatility,RV) 作為真實波動率的估計量，使波動率計算不需要假設模型，相對簡潔。比較GARCH族模型和已實現波動率不難發現：GARCH族模型刻畫了過去收益對當前收益波動的影響，但該族模型并不適合以高頻數據作為研究對象的情況；已實現波動率的提出充分利用了高頻數據包含豐富市場信息的優點，但已實現波動率不能刻畫過去收益對當前收益波動的影響。基于此，Hansen等[4]于2012年提出了一種將GARCH模型結構應用于高頻數據的模型，稱為已實現GARCH (realized GARCH,R-GARCH)模型：

(2)

波動率模型的假設直接影響波動率的估計精度。為了提高估計量的準確性，需要考慮波動率的聚集性、長記憶性及杠桿效應等特征對估計精度的影響。聚集性是指某個金融資產在受到市場信息沖擊時，在某個觀測期內資產收益的波幅較大，而在其他觀測期內波幅較小。長記憶性是指波動率與滯后無窮階的波動率都有相關性。杠桿效應是指某個金融資產在受到市場信息沖擊時，波動對大的正負收益的沖擊是不對稱的，對負的收益的沖擊更大[5]。針對波動率特有的特征，Yan等[6]于2015年提出了高頻數據下的FIGARCH模型。研究結果表明：波動率的聚集性和長記憶性會直接影響波動率的估計精度。Hansen等[7]于2016年提出了已實現EGARCH(Realized EGARCH)模型，該模型體現了過去多階誤差項對當前收益大小變化的非對等影響。

波動率的杠桿效應特征影響波動率的估計精度，從而影響金融資產風險度量的準確性。為此，本文基于NGARCH模型刻畫了波動率的杠桿效應特征，在已實現GARCH模型的波動率方程中引入杠桿參數的擾動，建立了已實現NGARCH (realized NGARCH,R-NGARCH) 模型。新引進的杠桿參數刻畫了過去多階誤差項對當前收益大小變化的非對稱擾動，進一步研究了杠桿效應對金融風險度量精度的影響。

1 R-NGARCH(p,q) 模型

為了刻畫波動率的杠桿效應特征對波動率的估計精度的影響，考慮在R-GARCH(p,q) 模型的波動率方程中引入杠桿參數的擾動，提出了如下的R-NGARCH(p,q) 模型：

其中θ為杠桿參數。由式 (3) 可以看出：R-NGARCH(p,q) 建立了條件方差ht關于ht-i(i=1,…,p)和已實現測度xt-j(j=1,…,q)的動態方程，同時建立了已實現波動率xt關于條件方差ht和杠桿參數θ的函數關系。

R-NGARCH(p,q) 模型實質上是一個離散時間的隨機波動率 (stochasticvolatility,SV) 模型，但由于波動率的已實現測度的存在，因此R-NGARCH(p,q) 模型可以直接用極大似然估計(maximumlikelihoodestimator,MLE)方法來得到所有參數的估計值[8-11]。

假設{zt}服從正態分布，由式 (3) 可計算出收益率序列{rt}的對數似然函數為

波動率的預測過程可歸納為：首先，由極大似然估計方法計算出模型中所有參數的估計值；其次，由參數的估計值計算出初始條件方差h0的估計值；最后，將參數估計值和初始條件方差h0代入式 (3) 進行迭代計算得到波動率ht的預測值。

綜上，基于R-NGARCH (p,q) 模型的VaR度量的具體步驟為：

1) 對采集的金融高頻數據進行處理，選取合適頻率的數據計算出已實現波動率序列{xt}。本文選取5 min頻率的高頻數據。

2) 建立R-NGARCH(p,q)模型，采用樣本自相關函數 (ACF) 來確定模型的階數，并對模型的估計方法進行隨機模擬，驗證模型參數估計的準確性，最終計算出模型中所有參數的估計值。

3) 將參數估計值和初始條件方差h0代入式 (3)，迭代計算波動率ht的預測值。

4) 假定置信水平，由該分位數值與波動率的估計值得到VaR的預測值。

5) 基于實際金融數據對得到的VaR進行Kupiec失敗率檢驗，驗證模型的風險預測精度。

2 實證分析

2.1R-NGARCH(p,q) 模型的隨機模擬

使用蒙特卡羅方法來檢驗R-NGARCH(1,2) 模型的參數估計的準確性。從正態隨機變量(均值為0，方差為1)中隨機抽取t=244個樣本(表示1年中244個交易日的日對數收益率序列)。將樣本數據代入模型計算出各個參數的估計值。該過程分別重復N1=500，N2=1 000，N3=1 500次。

表1給出了不同次數下R-NGARCH(1,2) 模型的隨機模擬結果。由表1可知：9個參數的真值與其估計均值非常接近，所有參數的均方誤差在5%的顯著性水平下均是顯著的；同時，隨著模擬次數的增加，參數估計均值更接近于參數真值，參數估計的均方誤差也越小。模擬結果表明：本文所采用的波動率的估計方法具有較高的準確性。

2.2 數據與樣本說明

本文采用的數據為上證50指數2016年244個交易日的日對數收益率序列(圖1) 和5min頻率的已實現波動率序列(圖2)。圖1和圖2證實了波動率存在聚集性和杠桿效應等特征，說明該數據比較適合用GRACH族模型來建模。數據來源為銳思數據庫(www.resset.cn)。

圖1 上證50指數2016年的日對數收益率

圖2 上證50指數2016年的已實現波動率

2.3 R-NGARCH (1,2) 模型的數據擬合

圖3為收益率的樣本ACF圖與樣本絕對值ACF圖。從圖3可以看出：收益率序列的相關性較弱，而絕對值收益率序列自第2階起序列間有較強的相關性，說明收益率序列存在顯著的ARCH效應，因此用R-NGARCH (1,2) 模型來擬合該數據。

圖3 對數收益率及絕對值收益率的ACF圖

表2為基于上證50指數5 min頻率高頻數據的R-NGARCH(1,2) 模型的參數估計結果。從表2可看出：參數的估計值在5%的顯著性水平下均是顯著的，表明參數的估計精度較好；φ1與φ2的估計值之和接近于1，說明波動率的已實現測度是真實波動率的漸進無偏估計；zt和θ為負相關，說明杠桿參數θ對負的收益做出的反應更為明顯，證實了杠桿效應對波動率的估計精度的影響。

將表2得到的參數估計值代入初始條件方差為h0的R-NGARCH(1,2) 模型進行迭代計算波動率ht，得到ht的估計值。為了驗證該模型的估計精度，同時還計算出基于5 min頻率高頻數據的R-GARCH(1,2) 模型的波動率的估計值。將兩種不同模型的波動率的估計值代入式(1)計算出相應的VaR，最終比較兩種不同模型的VaR預測的精度。

表1 基于不同次數下R-NGARCH (1,2) 模型的隨機模擬結果

表2 R-NGARCH(1,2) 模型的參數估計

2.4 VaR的返回測試

由于VaR是基于過去信息建模得出的未來風險價值，因此無論采用哪種方法得到的有關金融資產收益的VaR，其實質上都是一個估計值，需要對其預測結果的準確性進行返回值測試。VaR返回值測試的方法很多，其中最常用的是Kupiec[13]提出的失敗率檢驗法。該方法的基本思想為：金融資產真實虧損超出風險價值的事件可看作服從0～1分布中發生的相互的獨立事件。定義示性變量：

(4)

原假設為H0:W<α(α為顯著性水平)，W=F/T，F為失敗天數(即真實虧損超過風險價值的天數)，T為實際觀測天數。Kupiec給出了其似然比統計量

(5)

在原假設條件下，統計量LR服從自由的為1的χ2分布，檢驗p值為

(6)

如果p<0.05，則拒絕原假設；反之，不拒絕原假設。由p值的定義和LR統計量的構造可知，當檢驗結果在5%的顯著性水平下不顯著時，p值越接近于置信水平，其VaR的預測結果就越精確。

圖4、5分別為在95%的置信水平下5min頻率高頻數據的R-GARCH(1,2) 模型與R-NGARCH(1,2) 模型的VaR預測結果。由圖4、5可知：在244個交易日中，R-GARCH(1,2) 模型有9d預測失效，R-NGARCH(1,2) 模型有13d預測失效。

表3為在95%的置信水平下兩種不同模型的VaR預測結果，并根據式(5)(6) 計算出對應的LR統計量的p值。從表3可看出：R-GARCH(1,2) 模型預測收益的溢出率為3.69%，LR檢驗的p值為0.325 1，測試結果在5%的顯著性水平下不顯著，但遠小于置信水平，預測結果明顯高估了市場風險；R-NGARCH(1,2) 模型預測收益的溢出率為5.33%，LR檢驗的p值為0.816 1，測試結果在5%的顯著性水平下不顯著，且p值較接近于置信水平，其預測結果更為準確。兩種不同模型的VaR測試結果表明：R-NGARCH模型的市場風險度量能力優于R-GARCH模型。

圖4 95%的置信水平下R-GARCH(1,2) 模型的VaR預測圖

圖5 95%的置信水平下R-NGARCH(1,2) 模型的VaR預測圖

模型溢出天數溢出率/%LR檢驗的p值R-GARCH(1,2)93.690.3251R-NGARCH(1,2)135.330.8161

注：溢出天數表示實際損失大于VaR的預測值，溢出率=(溢出天數/觀測天數)×100%。

3 結束語

本文基于NGARCH模型刻畫了波動率的杠桿效應特征，提出了R-NGARCH模型。在此基礎上，首先分析了R-NGARCH(p,q) 模型的金融風險度量方法，并列出具體操作步驟。其次，對R-NGARCH(1,2) 模型的估計方法進行了蒙特卡羅模擬。模擬結果表明：新模型的參數估計值有較好的穩健性。最后，基于R-NGARCH(1,2) 模型對上證50指數2016年244個交易日的收益率序列及5 min頻率的已實現波動率序列進行了實證分析。結果顯示：R-NGARCH模型較好地體現了波動率的杠桿效應特征，模型的市場風險度量效果優于R-GARCH模型，在一定程度上提高了風險度量的預測精度。

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(責任編輯 陳 艷)

Measure of Risk for SSE 50 Index Based on Realized NGARCH Model

WEI Zheng-yuan, LUO Yun-feng, YU De-ying, WANG Ai-fa

(College of Science, Chongqing University of Technology, Chongqing 400054, China)

We constructs a new realized NGARCH model by introducing perturbation of leveraged parameter in the volatility equations of the realized GARCH model, which is based on the leverage effect of volatility described by the NGARCH model. Further, we analyze the dynamic VaR estimation problem of the new model. Empirical analysis about the high-frequency data of Shanghai Stock Exchange 50 index shows that the new model is more suitable than the realized GARCH model in describing the leverage effect of volatility. By using our new model, we can improve the prediction accuracy of measure of risk in a certain extent.

high-frequency financial data; leverage effect; realized NGARCH; measure of risk; Kupiec proportion of failures test

2017-03-22 基金項目：國家統計局統計科研重點項目(2014Z25)；重慶市教委科學技術研究項目(KJ1500925,KJ1600930)；重慶理工大學研究生創新基金資助項目(YCX2015228)

魏正元(1975—)，男，湖北襄陽人，博士，副教授，主要從事應用概率統計、金融統計、金融數學研究,E-mail:zyweimath@163.com；羅云峰(1991—)，男，四川巴中人，碩士研究生，主要從事金融統計與數據分析相關研究。

魏正元，羅云峰，余德英，等.基于已實現NGARCH模型的上證50指數的風險度量[J].重慶理工大學學報(自然科學)，2017(5):180-185.

format：WEI Zheng-yuan, LUO Yun-feng, YU De-ying, et al.Measure of Risk for SSE 50 Index Based on Realized NGARCH Model[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2017(5):180-185.

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2017.05.030

O21

A

1674-8425(2017)05-0180-06