一道高考題反思如何進(jìn)行高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)

蔡愛欽

中圖分類號：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B文章編號：1672-1578（2017）06-0245-01

2017年考試大綱在能力要求內(nèi)涵方面，增加了基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性的要求，增加了數(shù)學(xué)文化的要求。因此，我們要引導(dǎo)學(xué)生重視基礎(chǔ)知識、基本技能和基本的數(shù)學(xué)思考方法，對習(xí)題要舉一反三，一題多解，解題中要不斷優(yōu)化解題思路、加大思維量減少運算量，在數(shù)學(xué)文化方面，要求學(xué)生注重這方面知識的積累，注重實際應(yīng)用。

為了適應(yīng)新考試大綱要求，高三的復(fù)習(xí)不應(yīng)該只是停留在就題講題層面，而應(yīng)該是在講解習(xí)題的過程中尋找知識點之間的聯(lián)系，進(jìn)行思想方法的歸納總結(jié)，進(jìn)行題目的挖掘和引申，構(gòu)建專題的知識網(wǎng)絡(luò)，在進(jìn)行高效復(fù)習(xí)的同時培養(yǎng)學(xué)生的能力。下面我就以函數(shù)的對稱性和函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為核心，介紹如何進(jìn)行高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)。

母題：設(shè)點P在曲線y=12ex上，點Q在曲線y=ln（2x）上，則|PQ|最小值為2（1-ln2）。

分析：常規(guī)思路是設(shè)出動點坐標(biāo)P（x1，12ex），Q（x2，ln2x2），列出|PQ|=f（x1，x2），再求最值。顯然雙動點難度很大，注意到指對數(shù)函數(shù)的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)y=12ex與y=ln（2x）互為反函數(shù)，圖象關(guān)于y=x對稱，則|PQ|≥d1+d2≥2d0其中d0是點P到直線y=x的距離。將問題轉(zhuǎn)化為求“曲線y=12ex上的點到直線y=x的距離的最小值”。

整道題是觀察并發(fā)現(xiàn)兩函數(shù)的特性，根據(jù)它們互為反函數(shù)的圖像特性，把所求的點點距離轉(zhuǎn)化為點線距離，構(gòu)造函數(shù)求解。觀察、分析、轉(zhuǎn)化，這就是考查能力。利用圖形的對稱性將問題轉(zhuǎn)化為解析幾何問題，在求最小值時又用到導(dǎo)數(shù)知識，從數(shù)到形的轉(zhuǎn)化，將一類知識遷移到另一類知識情境中創(chuàng)造性解決，這就是創(chuàng)新能力，就是學(xué)科素養(yǎng)，學(xué)科價值。在教學(xué)過程中，要引導(dǎo)學(xué)生歸納處理雙動點問題的基本方法：力求向單動點問題轉(zhuǎn)化，解題過程要做到思路清晰，有法可依。

當(dāng)然對于文科生來講，由于對反函數(shù)要求比較低，導(dǎo)數(shù)方面也相對較弱，因此在講解這道題時可以適當(dāng)降低難度，比如可以先設(shè)計以下兩個題目：

題1：設(shè)直線x=t與函數(shù)f（x）=x2，g（x）=lnx的圖象分別交于點M，N則當(dāng)|MN|達(dá)到最小時t的值為2。

此題雖然兩個點都是動點，但由于它們的橫坐標(biāo)相等，所以求MN的距離難度不大，設(shè)計這道題目的目的是要建立利用導(dǎo)數(shù)求最值的知識框架，讓學(xué)生熟悉這個知識背景的前提下解決母題。

題2：設(shè)點P在曲線y=ex上，點Q在曲線y=lnx，則|PQ|的最小值為0.5。

此題學(xué)生較容易看出兩個函數(shù)互為反函數(shù)，再復(fù)習(xí)反函數(shù)的性質(zhì)，構(gòu)建有關(guān)反函數(shù)的知識體系，學(xué)生解決此題自然就得心應(yīng)手。

通過上面學(xué)生對利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)求最值問題有了初步的了解，這時我們可以讓學(xué)生歸納有關(guān)利用導(dǎo)數(shù)求最值的方法步驟，并以此為載體，引導(dǎo)學(xué)生回憶利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性，極值，求切線的方法，這樣通過簡單的一道母題就復(fù)習(xí)了導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的知識點，構(gòu)建起導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的知識體系，這也再次體現(xiàn)了這道題的學(xué)科價值。

通過上面學(xué)生對曲線關(guān)于直線對稱的曲線問題也有了了解，這時我們可以順便復(fù)習(xí)有關(guān)直線對稱其他類型問題，比如關(guān)于x軸、y軸對稱等，建立起有關(guān)對稱的知識體系，拓展學(xué)生的應(yīng)用能力，大大提高高三復(fù)習(xí)的效率。

接下來我們可以再設(shè)計兩道姐妹題，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固剛才所建立的知識體系。

姐妹題1：已知函數(shù)f（x）=lnx2+12，g（x）=ex-2，對于使得g（a）=f（b） 成立，則b-a的最小值為ln2。

解法分析：設(shè)g（a）=f（b）=m，從而可求出b，a，再求出b-a，令b-a=h（m），再利用導(dǎo)數(shù)求最值的方法求h（m）的最小值即可。

此題是構(gòu)造新函數(shù)，再用導(dǎo)數(shù)求最值的方法解題，這考查了學(xué)生觀察、分析、轉(zhuǎn)化的能力，同時也再次鞏固了利用導(dǎo)數(shù)求最值知識點。

姐妹題2：已知函數(shù)g（x）=a-x2（1e≤x≤e，e， 為自然對數(shù)的底數(shù)）與h（x）=2lnx的圖象上存在關(guān)于x軸對稱的點，則實數(shù) α的取值范圍是[1，e2-2] 此題不僅考查了對稱問題，還考查了構(gòu)造函數(shù)，函數(shù)求極值問題，正好鞏固了本節(jié)的兩個重要知識點。

我們還可以進(jìn)一步深化，提高學(xué)生的遷移能力。

深化題1：函數(shù)f（x）=ex+x2+x+1與g（x）的圖象關(guān)于直線2x-y-3=0對稱，P與Q分別是函數(shù)f（x），g（x）圖象上的動點，則|PQ|的最小值為2 5。

解法分析：根據(jù)函數(shù)f（x）的圖象與g（x）關(guān)于直線2x-y-3=0對稱，所以函數(shù)f（x）到直線的距離的最小值的2倍，即可|PQ|的最小值。

深化題2：若實數(shù)a，b，c，d滿足（b+a2-3lna）2+（c-d+2）2=0 則（a-c）2+（b-d）2的最小值為8。

解法分析： 根據(jù)b+a2-3lna=0，c-d+2=0構(gòu)造函數(shù)y=3lnx-x2設(shè)c=x，d=y轉(zhuǎn)化為曲線y=3lnx-x與直線y=x+2之間的最小距離的平分值即可。

高三學(xué)生的時間是非常寶貴的，課堂上能否高效教學(xué)直接影響著學(xué)生的高考分?jǐn)?shù)，所以我們在設(shè)計課堂教學(xué)時不能具有隨意性，而應(yīng)該精心備課，構(gòu)建專題知識網(wǎng)絡(luò)，進(jìn)行系統(tǒng)教學(xué)，教學(xué)中我們可以設(shè)計一題多變，一題多解，歸納解題方法，提高復(fù)習(xí)效率。