t-Copula 函數模型在跨期套利中的理論研究

楊柳

t-Copula 函數模型在跨期套利中的理論研究

楊柳

跨期套利一般利用的是同一市場同種商品不同交割時間的期貨合約之間的價格差，當商品價格差分布在無套利區間中，則不存在套利機會；當商品價格差分布在無套利區間之外，則有套利機會，從而可以采取套利交易來得到利潤。套利組合是期貨市場上重要的投資工具之一，而套利組合的風險取決于單個合約的風險以及多種套利合約之間的相關性。期貨合約收益率序列多呈現“厚尾”或者“薄尾”分布，計算起來很容易發生誤差。為了更好地描述隨機變量之間相關性結構，并利用 Copula函數理論來刻畫變量之間的相關性，由此得出跨期套利交易 Copula 函數模型，并用該模型研究了 PVC 合約的套利交易。

跨期套利；Copula 函數模型；相關性分析；收益率

一、引言

套利是指同一時間買賣兩種不同的期貨合約，套利行為是利用同一資產的不同價格，獲得無風險利潤的一種行為。期貨套利是指利用期貨市場或期貨合約之間的相關期貨價格差異，逆向交易在期貨市場或相關期貨合約中，交易行為發生有益發展時的利差利潤。

跨期套利交易是指在同一市場上針對同一產品同時買入或賣出不同交割時間的期貨合約，來獲取利益而最終平倉了結。

在一個競爭激烈的，流動性比較強的市場中，套利行為將導致價格差異的消失，這會使市場趨于均衡。客觀地說，投資方式與投資方式之間并沒有確定的好處和壞處，對于使用什么樣的投資方式，一般會取決于投資者。因此，套利交易則被廣泛認為是起著某種特定作用的且具有獨立性質的并與投機交易大不相同的一種交易方式。

期貨市場套利交易與普通投資一般是不一樣的，套利者可以利用同一品種在兩個或者兩個以上期貨合約之間的差價，而不是依賴任何一個合約的價格來進行交易。客觀來講，期貨套利隱藏的利潤不是因為商品價格的上漲或者下跌，而是在于不同期貨合約不同月份之間商品價格差異的擴大或縮小，從而形成套利交易的頭寸。

二、Copula 函數模型建立

根據 Copula 函數相關理論，可以運用以下方法來構建 Copula 模型研究期貨套利。

第一步：確定邊緣分布。

波動性是金融市場的最重要特性之一，金融時間序列更是呈現時變等波動特征。此時的波動會隨著時間的變化而不斷變化，不斷變化，大波動往往跟隨后面的另一大波動，而較小的波動往往遵循另一個較小的波動。根據波動性的特點，我們可以利用 GARCH（Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity） 模型來刻畫時間序列的波動情況。本文使用 GARCH（1,1）模型來刻畫時間序列波動情況的條件邊緣分布。

令{xt},{yt},t=1,2,…N 分別表示兩個金融變量的收益率序列。

第二步：確定 Copula 函數。

本文所研究的期貨套利市場之間的相關關系是不斷變化的。比如當市場處于牛市或熊市時，相關市場之間的協同作用就會顯著增強，從而相關性增強，但是當處在兩種狀態時，期貨市場之間的變化通常又是不對稱的。因此要使用一種 Copula函數來全面地刻畫變量之間的特點。根據 Copula 理論性質，可以發現，利用 t-Copula 函數就可以實現這個刻畫過程。

第三步：參數估計。

首先，根據 Copula 函數 Ck(u,v,θk)的密度函數 Ck(u,v,θk)和邊緣分布 fx(x,θ1),fy(y,θ2)，可以得到聯合分布函數的密度函數：

那么，本文中的收益率序列樣本(xt,yt),t=1,2,…N 的對數似然函數為：

然后采用兩步極大似然估計法，第一步是對邊緣分布函數的對數似然函數進行極大化處理：

第二步對 Copula函數的密度函數進行極大化，代入上步所得的參數和，估計出 Copula 函數的參數，即

第四步：Copula 模型的檢驗。

Q-Q圖即分位數-分位數圖可以用于判定樣本是否服從于正態分布，并且Q-Q圖可以幫助確定采樣數據是否服從于某種類型的分布，比如，若采樣數據近似于正態分布，則在 Q-Q圖上顯示為直線，且點的分布越接近于直線，則樣本越趨向于正態分布。

三、同品種跨期套利研究

本文主要針對中國期貨市場的PVC交易情況進行研究，了解和分析PVC價格差異的規律以使得在交易中獲取收益。隨著合約的連續時間越長，保證金也會越來越多，進行套利的融資成本或者說機會成本也就越大，另外持有期限太長的期貨合約將會有很大的不確定性的風險。因此，在本文中，我們選擇最近兩個季度的合約作為標的資產來構建跨期套利組合。根據以上選取數據原則，本文將2015 年10月8 日至 2016 年 7 月 8 日期間 PVC1608 合約和 PVC1609 合約按照一定規則進行拼接，再經過缺省數據處理得到了最終用于跨期套利交易的標的資產價格時間序列。

圖1 PVC 合約價格走勢圖

從PVC1608合約和PVC1609合約的價格走勢圖中可以看出兩個合約的價格趨勢具有很強的一致性，同時，同步性亦很強，可以得出結論，這兩個合約具有很強大的聯動關系。為了更嚴格地進行下一步的研究，首先進行相關系數檢驗。

相關系數表示的是多元正態分布的變量之間的線性相關程度，通過期貨合約套利風險的相關系數來衡量，通常利用 pearsonρ 相關系數來描述時間序列之間的線性關系。通過R軟件計算出兩個合約的相關系數如下：

表1 PVC1608 合約和 PVC1609 合約相關系數矩陣

由價格走勢圖和相關系數矩陣，我們可以看出 PVC1608 和PVC1609兩個合約具有很強大的關聯性，相關系數顯著性檢驗中的 t統計量為 70.1062，自由度為 165，對應的 P 值趨近于 0，說明兩個合約之間的相關性非常顯著。

表2 PVC 日收益率基本統計

表2列出了不同期貨合約的收益率及其是否服從正態分布的統計數據，從收益率的統計特征看，期貨合約的收益率接近于正態分布的偏度 0 及峰度 3，顯著水平 P 值接近零，可以接受每個期貨合約收益率序列對數正態分布的假設。

根據選定的閾值，進行極大似然估計處理和尾部的擬合，得到以下參數：

表3 期貨合約收益序列模型參數估計

二元 t-Copula 函數也有對稱性，若變量間具有對稱的相關關系，就可以使用 t-Copula 函數來刻畫這種特點，這一特性與二元正態函數一樣。利用邊際推斷函數法對 t-Copula 函數進行估計，結果如下：

表4 Copula函數的參數估計和標準誤差 t比率

圖2 Q-Q 圖

Q-Q圖上軌跡接近直線，則說明樣本數據近似于正態分布，且直線的斜率就是標準差，截距是均值，點的分布越切近于直線，則說明樣本越趨向于正態分布。

本文實證表明，實證結果表明，期貨組合收益率具有較強的相關性，投資者可以利用期貨合約組合收益率波動套利交易，并通過測量套利組合的風險值，在一定程度上控制和降低套利風險。監管層還可以基于套利組合風險價值確定保證金水平，以有效控制風險為前提，減少套利者套利交易成本。

以尾部極值分布構建的 Copula 函數的邊緣分布，可以盡可能地捕獲期貨合約的極端風險情況，由此求得期貨套利投資組合風險將更準確和更精確，套利組合保證金將更加可靠和真實。

中國目前的期貨套利組合通常情況下只收取單邊的保證金，也就是說兩個合約收取的保證金大約是單個合約的結算價的 5%-10%。與結果相比，中國目前的套利組合保證金比風險水平更高。作為套利交易的主要交易成本之一，套利組合保證金過高，在一定程度上會影響期貨套利合約的合理價差。

四、展望

Copula 函數由于其本身特有的性質，在很多領域上都會有很多重要的運用，利用 Copula 函數來研究問題有很多優點：

（一）Copula 函數可使用于多元分布。

（二）由于嚴格單調遞增變換，Copula 函數所獲得的一致性和相關特性不會改變，因此其應用范圍和實用性將更加廣泛。

（三）在 Copula 理論的實際應用中，邊緣分布的選擇不受限制，如果變量單調遞增，Copula 函數的一致性和相關性的估計值不會改變。

（四）Copula 函數模型可以捕捉變量之間的特殊關系，如非線性、非對稱和尾部結構，這是一個非線性函數，更符合實際情況。

在應用 Copula 函數時，主要的難點是選擇哪種函數形式，在選擇 Copula 函數時，要考慮的是實際數據所顯示的尾部相關性，并根據這些實際期貨數據，選擇與之相適應的 Copula 函數。因此，研究 Copula 函數的性質對于其應用具有重要意義，對其定義、性質和應用需要進行深入的研究，并應用它去解決更多實際問題。

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1008-4428（2017）06-91-03

楊柳，女，山東濟寧人，碩士研究生，現就讀于山東科技大學，專業：運籌學與控制論，研究方向：統計與保險精算。