聚焦高考變換中的解析幾何大題

■陜西省洋縣中學 朱永明 劉大鳴((特級教師))

聚焦高考變換中的解析幾何大題

■陜西省洋縣中學 朱永明 劉大鳴((特級教師))

高考中的解析幾何題,難度為中檔以上,主要考查求曲線軌跡方程的方法,圓錐曲線的定義與性質應用,各圓錐曲線之間的聯系,直線與圓錐曲線間的位置關系及弦長、中點弦、最值、定點、定值的探索問題等,其中直線與圓錐曲線的位置關系是考查的重點和熱點,常與平面向量、函數與導數、方程、不等式等知識聯系在一起,考查知識點多,運算量大,能力要求高,本文圍繞如何尋找解決這種題型的技巧與捷徑來展開。

聚焦1——利用“點差法”簡化求解中點弦的有關問題

(1)求橢圓的標準方程;

(2)如果△BMN的重心恰好為橢圓的右焦點F,求直線l的方程。

解析：(1)由已知可得所以故橢圓的標準方程為

(2)橢圓的右焦點F(2,0)在橢圓內,滿足恒相交的前提,用點差法探究。如圖1,設線段MN的中點為Q(x0, y0),由三角形重心的性質知又B(0,4),所以(2,-4)= 2(x0-2,y0),得x0=3,y0=-2,求得Q的坐標為(3,-2)。設M(x1,y1),N(x2,y2),則x1+x2=6,y1+y2=-4。

圖1

感悟:求中點弦方程或垂直平分線的問題時常選用“點差法”。“點差法”必須以直線和圓錐曲線相交為前提,且注意直線斜率是否存在,當不存在時要特別驗證。“點差法”揭示了弦的斜率可以用弦的中點坐標來表示,在橢圓中,以P(x0,y0)為中點的弦所在直線的斜率為在雙曲線中,以P(x0,y0)為中點的弦所在直線的斜率為在拋物線y2= 2px(p〉0)中,以P(x0,y0)為中點的弦所在直線的斜率為。

聚焦2——由特殊情況猜想定值,再通過檢驗證明一般情況

解析：①當直線l過原點時,由橢圓的對稱性,可知

感悟:對于定值的探索性問題,我們可先特殊化處理,猜想問題的存在性,再作一般性的證明。這樣處理能為探究提供具體的方向,減少運算量。如本題中取平行直線系恒過原點,利用P、Q重合得到使探究是定值的問題簡單明朗化。

聚焦3——合理選擇參變量探究曲線恒過定點問題

解析：設直線PQ的方程為y=kx,由解得交點P、Q的坐標分別為

設M(0,yM),由A、M、P三點共線,得

設N(0,yN),同理由A、N、Q三點共線,得

感悟:本題探究以MN為直徑的圓是否經過定點,需要將圓的方程(含參數)寫出來,然后重點求M、N兩點的坐標。而M、N兩點是由直線PA、QA派生出來的,我們需要先探討P、Q的坐標。設直線PQ的方程為y=kx,通過解方程組求得各個量,引入參量k;直接設出P、Q的坐標,用參量x0,y0表示其他量,從而順利解決問題。

聚焦4——構建兩條曲線交點的曲線系方程證明直線恒過定點

在平面直角坐標系xOy中,從拋物線C:y2=4x上的點P(1,2)引斜率分別為k1、k2的兩條直線l1、l2,直線l1、l2與C的異于點P的另一個交點分別為A、B,若k1k2=4,試探究:直線AB是否恒過定點?若恒過定點,請求出該定點的坐標;若不恒過定點,請說明理由。

解析：直線恒過定點的探究,建立直線系方程解出交點。設直線PA的方程為y-2= k1(x-1),直線PB的方程為y-2=k2(x-1),由整理得k1y2-4y+同理,得

因為k1k2=4,所以故所以直線AB的斜率,直線AB的方程為x-2,解出其交點為(0,-2),所以直線AB恒過定點(0,-2)。

感悟:利用題設寫出已知點(或直線)的坐標(或方程),設出未知點(或直線)的坐標(或方程),此時設的變量為參量,結合已知條件求出目標曲線的含參方程。常常將含參方程化成m(k)·f(x,y)+g(x,y)=0型,令與參數式m(k)相乘的式子f(x,y)=0,且g(x,y)=0解出交點,從而證明直線恒過定點。

聚焦5——構建二元目標函數求最值

動點Q在橢圓C:2x2+y2=5上移動,兩定點為A(-,1),B,-1)。求△ABQ的面積最大時點Q的坐標。

解析：設點Q(x0,y0),則有5。直線AB的方程為x+2y=0,則點Q(x0,y0)到AB的距離且則△ABQ的面積:

根據能力提升規律，首先通過隨堂案例，進行單元知識的學習，每一/幾個模塊學習完成后，通過單元項目/階段實訓，進行知識的鞏固和提升，課程學完之后，通過課程綜合實訓，完成知識的靈活運用。

感悟:設出動點Q的坐標后,將目標轉化為二元函數,可以不消元,將乘積2x0y0轉化為然后利用基本不等式求得△ABQ的面積的最大值,最后由2x+ y=5獲得定值。

聚焦6——利用平面幾何三點共線的條件求最值

圖2

感悟:橢圓上的點到橢圓內一定點和一個焦點的距離之和的最小值,用定義轉化為橢圓上的點到另一個焦點和橢圓內定點的距離之差的最大值,再用“兩邊之差小于或等于第三邊”求最值,即用求解。

聚焦7——探索性問題求解中的“特殊位置猜定點”和“肯定順推法”

圖3

(1)求橢圓E的方程。

(2)當直線l與x軸平行時,設直線l與橢圓相交于C、D兩點。如果存在定點Q滿足條件,則。所以Q點在y軸上,可設Q點的坐標為(0,y0)。

當直線l與x軸垂直時,設直線l與橢圓相交于M、N兩點,則M,解得y0=1或y0=2。

所以,若存在不同于點P的定點Q滿足條件,則Q點的坐標只可能為Q(0,2)。

當直線l的斜率不存在時,由上可知,結論成立。

當直線l的斜率存在時,可設直線l的方程為y=kx+1,A、B的坐標分別為(x1, y1)、(x2,y2)。聯立得(2k2+ 1)x2+4kx-2=0。其判別式Δ=16k2+ 8(2k2+1)〉0,所以因此2k。易知,點B關于y軸對稱的點的坐標為B1(-x2,y2)。

感悟:圓錐曲線中的探索性問題,首先用特殊位置探究定點或定值,然后采用“肯定順推法”進行推理。假設滿足條件的幾何元素或參數值存在,然后利用這些條件并結合題目的其他已知條件進行推理與計算,若不出現矛盾,就說明滿足條件的幾何元素或參數值存在;若在推理與計算中出現了矛盾,則說明滿足條件的幾何元素或參數值不存在,同時推理與計算的過程就是說明理由的過程。本題中利用斜率不存在或斜率為0探究出滿足條件的特殊點Q,然后再進行推理,推理證明中用到直線和圓錐曲線位置研究的通法,特別引入對稱點證明三點共線將長度比值轉化為坐標的絕對值的比使問題簡單化,值得借鑒。

(責任編輯 王福華)