淺析解析幾何中的一題多變

■河南省平頂山市第一高級(jí)中學(xué) 左永記

淺析解析幾何中的一題多變

■河南省平頂山市第一高級(jí)中學(xué) 左永記

一題多變的學(xué)習(xí)實(shí)為針對(duì)性的訓(xùn)練與探究解答一類(lèi)題型的思維過(guò)程,對(duì)提高我們對(duì)這一類(lèi)題型的認(rèn)知與理解是非常有幫助的。而解析幾何問(wèn)題在高考中,無(wú)論是主觀題,還是客觀題,都能看見(jiàn)它們的“身影”,因此,解析幾何問(wèn)題的一題多變,是我們?cè)趥淇歼^(guò)程中提高正確解答這類(lèi)問(wèn)題的手段。

一、以圓的方程為背景求解最值問(wèn)題

已知實(shí)數(shù)x,y滿足方程x2+ y2-4x+1=0,求的最大值和最小值。

解：原方程可化為(x-2)2+y2=3,表示以(2,0)為圓心,3為半徑的圓。的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率,故設(shè)= k,即y=kx。如圖1所示,當(dāng)直線y=kx與圓相切時(shí),斜率k取最大值或最小值,此時(shí)=,解得k=±3。所以的最大值為3,最小值為-。

圖1

點(diǎn)評(píng):在處理與圓有關(guān)的最值問(wèn)題時(shí),一般要借助幾何性質(zhì)求最值。應(yīng)充分考慮圓的幾何性質(zhì),并根據(jù)代數(shù)式的幾何意義,借助數(shù)形結(jié)合思想求解。形如μ=的最值問(wèn)題,可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問(wèn)題。

變式1：本題條件同例1,求y-x的最大值和最小值。

分析：y-x就是直線y=x+b的截距b。

解：y-x可看作是直線y=x+b在y軸上的截距,如圖2所示,當(dāng)直線y=x+b與圓相切時(shí),縱截距b取得最大值或最小值,此時(shí),解得b= -2±6。所以y-x的最大值為-2+6,最小值為-2-。

圖2

點(diǎn)評(píng):形如t=ax+by的最值問(wèn)題,可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問(wèn)題。

變式2：本題條件同例1,求x2+y2的最大值和最小值。

分析：x2+y2表示圓上的一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方。

解：如圖3所示, x2+y2表示圓上的一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方,由平面幾何知識(shí)知,在原點(diǎn)和圓心連線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取得最大值和最小值。又圓心到原點(diǎn)的距離為所以x2+y2的最大值是(2+3)2=7+43,x2+y2的最小值是(2-)2=7-43。

點(diǎn)評(píng):形如(x-a)2+(y-b)2的最值問(wèn)題,可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方的最值問(wèn)題。

圖3

二、雙曲線中漸近線的相關(guān)問(wèn)題

b〉0),且一條漸近線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,2),則該雙曲線的離心率為_(kāi)___。分析：由雙曲線漸近線方程過(guò)點(diǎn)(1,2)可得a與b的關(guān)系。

點(diǎn)評(píng):求解圓錐曲線的離心率就是要確定一個(gè)關(guān)于a,b,c的關(guān)系式。

變式2：本題條件同例2,則一條漸近線與實(shí)軸所成銳角的值是____。

(1)求橢圓E的方程。

(2)若直線l:y=kx+m與橢圓E相交于A、B兩點(diǎn),與直線x=-4相交于Q點(diǎn),P是橢

點(diǎn)評(píng):求漸近線與實(shí)軸所成角,要先落實(shí)該角的一個(gè)三角函數(shù)值,而漸近線的斜率就是該角的正切值。因此,我們求解漸近線與實(shí)軸所成角時(shí)往往是確定漸近線的斜率。

三、圓錐曲線問(wèn)題中定值與定點(diǎn)問(wèn)題

點(diǎn)評(píng):存在性問(wèn)題,先假設(shè)存在,推證滿足條件的結(jié)論,若結(jié)論正確則存在,若結(jié)論不正確則不存在。解決存在性問(wèn)題應(yīng)注意以下幾點(diǎn):(1)當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時(shí),要分類(lèi)討論;(2)當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時(shí),先假設(shè)成立,再推出條件; (3)當(dāng)條件和結(jié)論都不知,按常規(guī)方法解題很難時(shí),要開(kāi)放思維,尋找另外的途徑。

變式：本例第(2)問(wèn)變?yōu)?“過(guò)橢圓E的右焦點(diǎn)F2且與坐標(biāo)軸不垂直的直線交橢圓于P、Q兩點(diǎn),線段上是否存在點(diǎn)M(m,0)使得若存在,求出實(shí)數(shù)m的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由?！?/p>

分析：變式后的問(wèn)題是一個(gè)探究性問(wèn)題,應(yīng)當(dāng)把問(wèn)題轉(zhuǎn)換為m的方程或m關(guān)于其他某一個(gè)變量的函數(shù),落實(shí)方程是否有解或函數(shù)值m的值域有意義。

點(diǎn)評(píng):解答探究性問(wèn)題的思路一般都是把問(wèn)題轉(zhuǎn)換為方程、不等式或函數(shù),論證方程、不等式是否有解,或確定函數(shù)是否滿足某些方面的數(shù)學(xué)意義。

(責(zé)任編輯 王福華)