立足基本方法 提高思維層次
——例談解析幾何問題的解題策略

■江蘇省常州市第二中學 黃 雯

立足基本方法 提高思維層次
——例談解析幾何問題的解題策略

■江蘇省常州市第二中學 黃 雯

圓錐曲線是高考考查的重點內容,在填空題與解答題中均有體現。填空題綜合性較小,主要考查圓錐曲線的定義、標準方程和簡單的幾何性質。解答題除了考查圓錐曲線的通性通法和基本知識,還經常與函數、不等式、向量等知識結合起來構成難度較大的綜合題,往往滲透著數形結合、化歸轉化、函數與方程等數學思想。本文圍繞解析幾何題如何優化過程、減小運算量、提高思維層次、正確解出結果的話題進行研討。

一、最值與范圍問題——構建目標函數

如圖1,點P(0,-1)是橢圓C1:的一個頂點,橢圓C1的長軸是圓C2:x2+y2=4的直徑。l1,l2是過點P且互相垂直的兩條直線,其中l1交圓C2于A,B兩點,l2交橢圓C1于另一點D。

圖1

(1)求橢圓C1的方程;

(2)求△ABD面積S的取值范圍。

解析：(1)橢圓C1的方程為

(2)設A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0, y0),直線l1的方程為y=kx-1(k一定存在),則直線l2的方程為x+ky+k=0。

解法1:構建二次函數。

感悟：解決圓錐曲線中的最值與范圍問題的基本思想是建立目標函數和不等關系,根據目標函數和不等式求最值、范圍。因此,求解這類問題的關鍵是建立關于某個變量的目標函數,在建立函數的過程中要根據題意把需要的量都用我們選用的變量表示,有時在建立關系的過程中也會采用多個變量,只要在最后求解時把多個變量轉化為單個變量即可,同時要特別注意變量的取值范圍。在建立了目標函數之后,我們經常將其轉化為二次函數、雙曲線型函數、有理分式函數、三角函數等,關鍵是巧用換元法。

二、定點定值問題——從向量的角度轉化

已知圓C:(x-3)2+(y-4)2= 4,直線l1過定點A(1,0)。

(1)若l1與圓相切,求l1的方程。

(2)若l1與圓相交于P、Q兩點,線段PQ的中點為M,又l1與l2:x+2y+2=0的交點為N,判斷AM·AN是否為定值。若是,請求出定值;若不是,請說明理由。

解析：(1)①若直線l1的斜率不存在,即直線l1的方程為x=1,符合題意。

②若直線l1的斜率存在,設直線l1的方程為y=k(x-1),即kx-y-k=0。由題意知,圓心(3,4)到直線l1的距離等于圓C的半徑,即解得k=,此時直線l1的方程為3x-4y-3=0。綜上可知,直線l1的方程為x=1或3x-4y-3=0。

解法2:設點N(x,y),因為N在直線l2上,所以x+2y=-2。

感悟：處理本題時,若將直線l1的方程y=k(x-1)與圓C的方程聯立,用k表示出弦PQ的中點M的坐標,再求出l1與l2的交點N的坐標,最后代入計算AM·AN的值,這個思路清晰,但運算繁冗。而向量具有代數與幾何形式的雙重屬性,與解析幾何的本質同屬一脈,在解決線段長度問題時,可以把長度問題轉化為向量問題進行優化處理。本題因為A共線,所以AM· AN可以用表示,與單純的計算長度相比,顯得更為方便簡潔。

三、“設而不求”與“設而求之”

(1)求橢圓C的方程。

(2)設動直線l與兩定直線l1:x-2y=0和l2:x+2y=0分別交于P、Q兩點。若直線l總與橢圓C有且只有一個公共點,試探究:△OPQ的面積是否存在最小值?若存在,求出該最小值;若不存在,請說明理由。

解析：(1)橢圓方程為

(2)當直線l的斜率不存在時,方程為x=±4,此時S△OPQ=8。

解法1:兩直線l1:x-2y=0和l2:x+ 2y=0可統一表示為x2-4y2=0,由得(1-4k2)x2-8kmx-4m2=0,由韋達定理,得

感悟：解析幾何的本質就是將抽象的幾何問題轉化為易于計算的代數問題,“設而不求”和“設而求之”都是解析幾何本質的體現。很多時候,采用“設而不求”的策略可以使復雜的問題簡單化,但是再好的方法也有其適用的范圍,且這一方法有時對解題技巧及思維有較高的要求。例如本題第(2)問的解法2采用“設而求之”的方法,解題過程自然簡潔,從而收到準確、快速的解題效果。

四、借形助數，事半功倍

已知定點A(-1,0),圓C:x2+ y2-2x-23y+3=0。

(1)過點A向圓C引切線,求切線長;

(2)過點A作直線l1交圓C于P、Q兩點,且求直線l1的斜率k;

(3)定點M、N在直線l2:x=1上,對于圓C上任意一點R都滿足RN=3RM,試求M、N兩點的坐標。

解析：(1)圓C:x2+y2-2x-23y+ 3=0,可化為(x-1)2+(y-3)2=1。如圖2,過點A作圓C的切線,切點為T,連接AC、CT,故

(2)解法1:由切割線定理,AT2=AP· AQ,則6=AP·AQ=2AP2,所以AP=PQ= 3,所以圓心C到直線l1的距離,由題意知直線l的斜1率一定存在,設l1:y= k(x+1),即kx-y+k=0,所以

解法2:如圖3,取線段PQ的中點H,連接CP、CH,設CH=d,PH=a,則AP=2a。在Rt△CPH中,CH2+PH2=CP2,即a2+d2=1。在Rt△CAH中,CH2+AH2=AC2,即9a2+d2=7。解得以下同解法1。

圖2

圖3

感悟：在解答解析幾何問題的過程中,幾何條件的轉化對計算的難易有時起著決定性的作用,數形結合思想可以使某些抽象的數學問題直觀化、生動化,能夠變抽象思維為形象思維,有助于把握數學問題的本質。例如本題第(2)問,如果能將直線與圓相切的條件用好,可以收到事半功倍的效果。

(責任編輯 王福華)