運用動量、能量觀點解決電磁感應綜合問題

■河北省衡水市鄭口中學 王洪亞

運用動量、能量觀點解決電磁感應綜合問題

■河北省衡水市鄭口中學 王洪亞

在力學知識與電磁感應的綜合問題中,往往需要運用牛頓第二定律、動能定理、功能關系、動量定理、動量守恒定律,以及能量守恒定律等物理基本規律。

一、動量觀點的運用

求解導體棒在磁場中做非勻變速運動的問題時,應用動量定理可以由動量變化來求變力的沖量,避免由于加速度變化而導致的運動學有關公式不能使用的麻煩,從而解決應用牛頓運動定律不易解答的問題。

如圖1所示,在光滑水平面上,一個豎直向上的勻強磁場分布在寬度為l的區域內。一個邊長為a的正方形閉合導線框(a〈l)以初速度v0垂直于磁場邊界沿水平面向右方向滑過該磁場區域,已知該導線框滑出磁場時的速度為v,則該導線框完全進入磁場中時的速度大小( )。

圖1

解析：導線框進入磁場和離開磁場時,由于切割磁感線而在導線框中產生感應電流,該感應電流受到安培力的作用,將改變導線框的運動狀態。因為導線框的速度和加速度均發生變化,所以運用動力學方法是不容易求解相關物理量的。若注意到導線框進入磁場和離開磁場時的磁通量變化大小是相等的,則由動量定理可求得安培力在極短時間內的沖量F·Δt=BIL·Δt=BLΔΦ。設R導線框完全進入磁場中時的速度為vx,則對導線框進入磁場的過程應用動量定理得

二、能量觀點的運用

電磁感應的過程實質上是不同形式能量轉化的過程。在電磁感應過程中產生的感應電流在磁場中必定受到安培力的作用,而要維持安培力的存在,必須有其他力克服安培力做功,即有其他形式的能轉化為電能。克服安培力做多少功,就有多少其他形式的能轉化為電能。當感應電流通過用電器時,電能轉化為內能。因此在電磁感應過程中的能量轉化特點為:機械能或其他能→電能→內能(焦耳熱)。應用能量守恒定律求解電磁感應的內能問題的基本思路為:先進行正確的受力分析,再判斷哪些力做功,做的是正功還是負功,然后明確有哪些形式的能量參與轉化,哪些能量增加哪些能量減少,最后根據能量守恒定律列式求解。

圖2

例如:如圖2所示,在水平放置的光滑平行金屬導軌上有一質量為m的金屬棒ab,導軌左端連接電阻R,其他電阻均不計,磁感應強度為B的勻強磁場垂直于導軌平面向下,金屬棒在一水平恒力F作用下由靜止開始向右運動,則隨著金屬棒運動速度的增大,感應電動勢E=BLv增大,回路中電流增大,金屬棒所受安培力F=BIL也安增大,故其加速度減小,即金屬棒做加速度減小的加速運動。當金屬棒最終做勻速運動時,外力F做功的功率等于電路中的電功率。在金屬棒運動的過程中,外力F對金屬棒做的功等于電路中產生的電能與金屬棒增加的動能之和,金屬棒克服安培力做的功等于電路中產生的電能。線運動,這時一定有當ab邊越過虛線L2的瞬間,導線框的上下兩邊均切割磁感線,該兩邊均受向上的安培力,且F安'=4F安,故導線框有向上的加速度而做減速運動。當ab邊運動到虛線L3之前的某個時刻,導線框又開始以速度v2做勻速直線運動,此時應有,解得v=。在導線框下落的過程中,盡管重力做了正功,但是并沒有出現某些同學所期望的v2〉v1。這些同學之所以會有這種錯誤認識,實際上是由忽視了安培力做負功造成的。在導線框從靜止開始到速度變為v2的過程中,設導線框的動能變化量大小為ΔEk,重力對導線框做功大小為W1,安培力對導線框做功大小為W2,則根據動能定理得ΔEk=機械能的減少量ΔE= W1-ΔEk=W2,即機械能的減少量等于導線框中產生的內能。

圖3

再如:如圖3所示,水平虛線L1與L2、L2與L3之間的距離均為l,且被虛線分成的兩個區域中分別有垂直于紙面向外、向里的勻強磁場,磁感應強度大小均為B。一個邊長也是l的正方形導線框,從虛線L1上方一定高處由靜止開始自由下落,當ab邊剛越過虛線L1進入磁場時,恰好以速度v1做勻速直如圖4所示,“凸”字形硬質金屬線框的質量為m,相鄰各邊互相垂直,且處于同一豎直平面內,ab邊長為l,cd邊長為2l, ab邊與cd邊平行,間距為2l。勻強磁場區域的上下邊界均水平,磁場方向垂直于線框所在平面。將線框由靜止釋放時, cd邊到磁場上邊界的距離為2l,從cd邊進入磁場直到ef、pq邊進入磁場前,線框做勻速運動。在ef、pq邊離開磁場后,ab邊離開磁場前,線框又做勻速運動。線框在完全穿過磁場區域的過程中產生的熱量為Q,線框在下落過程中始終處于原豎直平面內,且ab、cd邊保持水平,重力加速度為g,求:

圖4

(1)ab邊將離開磁場做勻速運動時的速度大小與cd邊剛進入磁場做勻速運動時的速度大小的比值。

(2)磁場上下邊界間的距離H。

解析：(1)設磁感應強度大小為B,cd邊剛進入磁場做勻速運動時的速度為v1,cd邊切割磁感線產生的感應電動勢為E1,由法拉第電磁感應定律得E1=2Blv1。設線框的總電阻為R,此時線框中的電流為I1,則由閉合電路歐姆定律得。設此時線框所受安培力為F1,則F1=2BI1l,由平衡條件得mg=F。聯立以上各式解得設ab邊離開磁場之前,線框做勻速運動時的速度為v,同理得因此

三、動量觀點和能量觀點的綜合運用

在雙導體棒切割磁感線的電磁感應問題中,由于兩根導體棒所受的安培力等大反向,合外力為零,若不受其他外力,則兩導體棒的總動量守恒,故解決此類問題往往需要綜合應用動量守恒定律和能量守恒定律。

如圖5所示,在光滑水平面上停放著一小車,小車上固定一邊長L=0.5m的正方形金屬線框abcd,線框的總電阻R=0.25Ω,小車與線框的總質量m=0.5kg。在小車的右側,有一寬度大于線框邊長,具有理想邊界的勻強磁場,磁感應強度大小B=1T,方向水平且與線框平面垂直。現給小車一水平速度使其向右運動并能穿過磁場,當線框的ab邊剛進入磁場時,測得小車的加速度a0=10m/s2。求:

(1)線框的ab邊剛進入磁場時,小車的速度大小。

(2)從線框的ab邊剛進入磁場開始,到其完全離開磁場,線框中產生的焦耳熱。

圖5

解析：(1)設線框剛進入磁場時,小車的速度為v0,則ab邊切割磁感線產生的感應電動勢E=BLv,線框中的電流I=E,根據牛頓第二定律得BIL=ma0,解得v0=5m/s。

(2)設線框全部進入磁場時,小車的速度為v1,線框在進入磁場的過程中,線框中的平均電流為,所用時間為Δt,則,解得v=14m/s。設線框完全離開磁場時,小車的速度為v2,線框在離開磁場的過程中,線框中的平均電流為I,所用時間為Δt,則Δt=mv-mv,解得v=12123m/s。線框從剛進入磁場到完全離開磁場產生的焦耳熱應該等于系統損失的機械能,即

1.如圖6所示,平行金屬導軌與水平面間的夾角為θ,導軌電阻不計,與阻值為R的定值電阻相連,勻強磁場垂直穿過導軌平面,磁感應強度大小為B。一質量為m、長度為l的導體棒從ab位置以平行于導軌平面、大小為v的初速度向上運動,最遠到達a'b'位置,滑行的距離為s。導體棒的電阻也為R,與導軌間的動摩擦因數為μ,則在導體棒上滑的過程中( )。

圖6

圖7

2.如圖7所示,一水平方向的勻強磁場區域的上下邊緣間的距離為h,磁感應強度大小為B,一寬度為b (b〈h)、長度為l、電阻為R、質量為m的矩形導體線框緊貼磁場區域上邊緣從靜止起豎直下落,當線框的PQ邊到達磁場下邊緣時,恰好開始做勻速運動。求:

(1)線框的MN邊剛好進入磁場時,線框的速度大小。

(2)線框從開始下落到剛好完全進入磁場所經歷的時間。

3.如圖8所示,兩根足夠長的固定平行金屬導軌位于同一水平面內,導軌間的距離為L,導軌上橫放著兩根導體棒ab和cd。已知兩導體棒的質量均為m,電阻均為R,導軌光滑且電阻不計。在整個導軌平面內有豎直向上的勻強磁場,磁感應強度大小為B。開始時,兩導體棒ab和cd有方向相反的水平初速度,且二者初速度大小分別為v0、2v0,求:

(1)兩導體棒從開始運動到最終達穩定狀態,回路中產生的焦耳熱。