“微元法”在電磁感應(yīng)問題中的應(yīng)用

■湖南省新田縣第一中學(xué) 唐朝忠

“微元法”在電磁感應(yīng)問題中的應(yīng)用

■湖南省新田縣第一中學(xué) 唐朝忠

微元法又叫微小變量法,是分析、解決物理問題的常用方法之一。在由導(dǎo)體棒切割磁感線引起的電磁感應(yīng)現(xiàn)象中,若回路閉合,則導(dǎo)體棒中將產(chǎn)生感應(yīng)電流,使得導(dǎo)體棒受到安培力的作用,導(dǎo)體棒在安培力的作用下,其速度將變化,速度的變化將導(dǎo)致安培力發(fā)生變化,進(jìn)而導(dǎo)致導(dǎo)體棒的加速度也發(fā)生變化。運(yùn)用微元法求解此類電磁感應(yīng)問題將會獲得事半功倍的效果。

一、導(dǎo)體棒只受安培力作用

如圖1所示,寬度為L的光滑金屬導(dǎo)軌一端封閉,電阻不計,足夠長。導(dǎo)軌的水平部分處在方向豎直向上、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場中。質(zhì)量為m、電阻為r的導(dǎo)體棒從高度為h的導(dǎo)軌的傾斜部分上由靜止開始滑下,導(dǎo)體棒由于在磁場中受安培力的作用,在導(dǎo)軌的水平部分上滑行距離s后停下。

(1)求導(dǎo)體棒剛滑到導(dǎo)軌的水平部分上時的速度v0。

(2)寫出導(dǎo)體棒在導(dǎo)軌的水平部分上滑行的速度v與在導(dǎo)軌的水平部分上滑行的距離x的函數(shù)關(guān)系。

解析：(1)導(dǎo)體棒在從靜止開始剛好滑到導(dǎo)軌的水平部分上的過程中,由機(jī)械能守恒定律得mgh=mv20,解得v0=

(2)當(dāng)導(dǎo)體棒在磁場中的速度為v時,受到的安培力大小F=BIL=,安培力安的方向與速度v的方向相反。因為安培力是變力,所以需要使用微元法將變力問題轉(zhuǎn)化為恒力問題。在極短時間Δt內(nèi),導(dǎo)體棒受到的安培力可以看成恒力,設(shè)導(dǎo)體棒的加速度為a,則由牛頓第二定律得F安=ma,解得在極短時間Δt內(nèi),導(dǎo)體棒速度的變化量為-vΔt,又有vΔt= Δx,因此在時間t內(nèi)導(dǎo)體棒速度的變化量·vΔt=-,則v= v+Δv=。

點評:微元法是將研究的對象或過程進(jìn)行無限細(xì)分,以達(dá)到化變?yōu)楹?、化曲為直的目的。本題第(2)問利用微元法將變力問題轉(zhuǎn)化為恒力問題,分析微小恒力所遵循的物理規(guī)律,然后將與每個微小恒力相關(guān)的物理量累加求和,從而順利求得速度v與位移x的函數(shù)關(guān)系。

二、導(dǎo)體棒既受安培力又受重力作用

圖2

如圖2所示,在豎直平面內(nèi)有一邊長為L、質(zhì)量為m、電阻為R的正方形金屬線框,豎直向下的勻強(qiáng)重力場和水平方向的磁場組成了一個復(fù)合場,磁場方向與線框平面垂直,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小隨豎直向下的z軸按B=B0+kz的規(guī)律均勻增大。將線框在復(fù)合場中以初速度v0水平拋出,重力加速度為g,求:

(1)線框的豎直分速度為v1時,線框中瞬時電流的大小。

(2)如果線框從開始拋出到瞬時速度大小為v2所經(jīng)歷的時間為t,那么線框在時間t內(nèi)的豎直分位移大小為多少?

解析：(1)因為線框左右兩邊切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢抵消,線框上下兩邊所在處的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小不同,所以線框中感應(yīng)電流的大小

(2)線框受重力和安培力作用,其中重力mg為恒力,安培力為變力,因此可以把線框的運(yùn)動分解為在重力作用下的勻加速運(yùn)動和在安培力作用下的變加速運(yùn)動。線框在重力作用下,在時間t內(nèi)增加的速度(Δv)1=gt。設(shè)在極短時間Δt內(nèi),變力可以看成恒力,變加速運(yùn)動可以看成勻加速運(yùn)動,則線框在安培力作用下的加速度,在極短時間Δt內(nèi)速度的增加量Δt,又有vzΔt=Δz,因此在時間t內(nèi)線框因安培力的作用而增加的速度。由運(yùn)動的合成知在時間t內(nèi)總的增加的速度為從宏觀上看時間t內(nèi)速度的增加量為,即解得

點評:本題中線框雖然在復(fù)合場中受到重力和安培力兩個力的作用,但是因為重力是恒力,安培力是變力,所以需要先將線框的運(yùn)動分解成重力作用下的自由落體運(yùn)動和安培力作用下的變加速運(yùn)動,再利用微元法將變力問題轉(zhuǎn)化成恒力問題,最后運(yùn)用運(yùn)動的合成求解線框的位移。

三、導(dǎo)體棒受到的重力和安培力不在一條直線上

圖3

如圖3所示,兩平行光滑金屬導(dǎo)軌安裝在一光滑絕緣斜面上,導(dǎo)軌間距為L、足夠長且電阻忽略不計,斜面傾角為α。條形勻強(qiáng)磁場的寬度為d,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,磁場方向與斜面垂直。長度為2d的絕緣桿將導(dǎo)體棒和正方形單匝線框連接在一起形成一個整體裝置,其總質(zhì)量為m,置于導(dǎo)軌上。導(dǎo)體棒中通以大小恒為I的電流(由外接恒流源產(chǎn)生,圖中未畫出)。線框的邊長為d(d〈L),電阻為R,下邊與磁場區(qū)域上邊界重合。將裝置由靜止釋放,導(dǎo)體棒恰好運(yùn)動到磁場下邊界處返回。導(dǎo)體棒在整個運(yùn)動過程中始終與導(dǎo)軌垂直,重力加速度為g。求線框第一次穿越磁場所需的時間t0。

解析：設(shè)線框剛離開磁場下邊界時的速度為v1,則線框?qū)⒗^續(xù)向下運(yùn)動2d,由動能定理得,解得線框在第一次穿越磁場的過程中,裝置在磁場中受到的合力F=mgsinα-F',感應(yīng)電動勢ε=Bdv,感應(yīng)電流安培力F'=BI'd,由牛頓第二定律可知,在t到t+Δt時間內(nèi),有Δv=,則即解得t=0

點評:本題中裝置受到的重力和安培力不在一條直線上,如果按照例2的方法將導(dǎo)體棒的運(yùn)動分解成在重力作用下的運(yùn)動和在安培力作用下的變加速運(yùn)動,則會使解題過程煩瑣,且容易出錯。

(責(zé)任編輯 張 巧)