關于大學物理中電勢、場強微分關系教學的一點討論

何 健

(綿陽師范學院數理學院,四川 綿陽 621000)

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關于大學物理中電勢、場強微分關系教學的一點討論

何 健

(綿陽師范學院數理學院,四川 綿陽 621000)

目前大學物理教學中關于電勢、場強微分關系的討論主要是借助場線與等勢面的幾何關系，從方向導數入手進行的。這一方法直觀性好，但不夠深刻，尤其針對諸如“法線”“方向導數”等概念的刻畫較為模糊。本文嘗試直接通過全微分導出電勢與場強關系的直角坐標表示，在此過程中遇到一些細節問題，例如“難以直接獲得關于法線方向的表示”等。通過分析造成困難的原因，指出關鍵點在于如何牢牢抓住“法向基矢n的實質就是一長度為1的有向線段”這一問題，引入其首尾兩點坐標，將其表示細化，進而給出完整證明，并對教學進行了一些反思。

梯度；方向導數；全微分；電勢；電場強度

目前，無論是物理專業的《電磁學》教學，還是《大學物理》的電磁學部分教學中，關于靜電場的電場強度(下簡稱場強)與電勢的微分關系的講解中，幾乎都是清一色從方向導數入手，借助場線與等勢面的幾何關系，最后給出電勢梯度在三維直角坐標系中的表達。這樣的方法避免了繁雜的運算，從“講原理，重物理”這個層面上來講，無可厚非。但同時也會帶來一些問題，比如：教學中，老師鼓勵學生的發散性思維，支持學生運用所學知識進行一些實際演練，這樣會有一部分同學嘗試著從梯度的方向導數表示直接通過全微分給出經典的直角坐標表示，而在此過程中，遇到了一些問題，筆者認為有必要把這些問題整理出來與大家共同探討。

1 經典的操作方法

靜電場中電場強度E與電勢U的積分關系式為[1]

(1)

設任意靜電場中，取兩個十分鄰近的等勢面1和2，電勢分別為U,U+dU,并設dU>0。則，當一正試探電荷q0從等勢面1上的P1點沿dl到達等勢面2上的P2點(圖1所示)時，電場力做功為:dA=q0(U1-U2)=q0[U-(U+dU)]=-q0dU；而由式(1)，這個功又可以寫作

q0E·dl=q0Ecosφdl

(2)

(3)

圖1 電場力做功示意圖

(4)

故，直角坐標系中電場強度E可寫成[3]

(5)

以上是目前《大學物理》及《電磁學》教材中比較普遍的推導方法。

2 全微分表示的直接推導法

(6)

由此可得

故

(7)

(8)

(9)

到此我們當然希望能夠通過方向余弦公式cos2α+cos2β+cos2γ=1化簡上式以得出最終表達式(5)，然而計算結果卻得到如下復雜表示

顯然與預期結果相去甚遠，這不禁讓人感到有些奇怪，按理說這樣的結論無論實驗還是理論都是非常成功的，但是當我們換一條道路走時，卻困難重重，這是為什么呢？

我們嘗試從矢量的特性出發，再回到式(7)，將矢量標積拆分還原，得

(10)

再由式(9)，可得

(11)

(A×B)×C=(C·A)B-(C·B)A

條件是

(12)

(13)

下面以第一個等式為例給出證明。顯然，由于x并非y的函數(彼此獨立)，直接求這樣的偏導數無意義，可以嘗試化為

(14)

=(x2-x1)i+(y2-y1)j+(z2-z1)k

(15)

(16)

3 思考與啟示

問題至此已告一段落，給我們的思考卻很多：

2) 電磁學中對于法線方向與梯度方向關系來歷的描述總是模棱兩可，一般會用語言表達“……電勢梯度，在方向上與等勢面法線方向相同……”但是關于其本源，內在聯系往往講解含混，容易造成理解不暢。這些也都反映出作者在撰寫教材時的一些想法：不希望將物理教材寫得太過數學化，用較少的數學講明白物理；其初衷是好的，但是也不能忘記：數學的語言是最簡潔最有力最不易犯錯的，很多時候遇到容易混淆的概念時，將其數學化反而更好。

3) 本文是從電場強度的矢量表達入手，分析得出證明關鍵式(13)，另外也可讓學生從電場強度大小(標量)與電勢關系入手進行討論，給出結論并進行對比分析。

[1] 趙凱華,陳熙謀.電磁學上冊[M].2版.北京：高等教育出版社,1998:89-91.

[2] 程守洙，江之永.普通物理學上冊[M].6版.北京：高等教育出版社,2006:280-281.

[3] 賈秀敏.均勻帶電圓環片的空間靜電場[J].大學物理,2010(08):29-30. Jia Xiumin. Space electrostatic field of evenly-charged round ring[J] .College Physics, 2010, 29(8): 29-30. (in Chinese)

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A DISCUSSION ON THE TEACHING OF THE DIFFERENTIAL RELATIONSHIP BETWEEN ELECTRIC POTENTIAL AND ELECTRIC FIELD STRENGTH IN COLLEGE PHYSICS

He Jian

(School of Physics and Electronics Engineering, Mianyang Normal University, Mianyang Sichuan 621000)

The current discussion on the differential relationship between the Electric potential and the field strength is carrying out by means of the geometric relations between the field line and the potential surface and Starting with the directional derivative. This method is intuitive, but it is not deep enough, especially the description of the concepts such as “normal” and “directional derivative” is relatively Ambiguous. In this paper, we try to directly express the relationship between the electric potential and the field strength by means of the total derivative. In this process, Some of the details encountered, such as “it is difficult to get the representation of the normal direction directly”. By analyzing the cause of the problem, we find the key point that “The essence of normal basis vector is a directed line segment with a length of 1”, introduce both the two coordinates, represent the refinement, and then give a complete proof. Finally, we have some reflection on the teaching.

gradient vector; directional derivative; total differential; electric potential; field strength

2016-04-01

綿陽師范學院2016年科研啟動課題，編號：QD2016A002。

何健，男，講師，主要從事物理教學科研工作,研究方向為光學、大學物理教學論，27992598@qq.com。

何健. 關于大學物理中電勢、場強微分關系教學的一點討論[J]. 物理與工程，2017，27(3)：63-66.