基于數學活動經驗的教學探索

孔進

[摘 要] 以人教版七年級數學“有理數的乘法法則”教學為例，探討在課堂教學中讓學生積累數學活動經驗的方法：注重學生的學習過程，根據授課內容創設觀察、猜想、歸納、計算、推理、交流等數學活動，讓學生在掌握數學知識、技能和方法的基礎上，積累數學觀察、數學猜想、類比遷移、歸納概括等經驗，從而提高學生數學素養，為學生的后續發展打下堅實的基礎.

[關鍵詞] 課堂教學；數學活動經驗；有理數乘法法則

《義務教育數學課程標準》（2011版）把原來的“雙基”擴展為“四基”，明確將“數學活動經驗”列入課程總目標中. 在數學教學中，如何設計和組織有效的數學活動，幫助學生積累數學活動經驗呢？下面以筆者執教的一節公開課《有理數乘法》為例，與各位同行交流.

選題的緣由

上完課后，科組老師就“有理數乘法法則”的教學展開激烈的爭論，主要原因是有理數的乘法法則是一種規定，這種規定不像有理數的加法法則一樣容易在生活中找到模型，最典型的是“負負得正”很難在生活中找到實際背景. 一部分教師認為既然沒有好的模型，學生很難理解，就不要在探索法則上花時間，應該采取“拋法則、背法則、用法則”的教法，直接告訴學生“同號得正，異號的負”的結論，讓學生把法則背熟之后，講解有理數乘法計算的例題，最后通過大量的練習加以鞏固，這樣教學既簡單又快捷，教學效果還很好. 也有部分教師認同筆者的教學設計：依托教材，把乘法法則的教學設計為數學化的實踐活動：讓學生在推導法則的過程中，積累數學觀察、猜想、類比、遷移、歸納、概括、交流等經驗，而不僅僅是積累 “接受、模仿與記憶”經驗.

教學實錄

1. 提出問題

教師：我們知道，有理數包括正數、負數和0，和有理數的加法運算類似，有理數的乘法運算可以分成哪幾類？

生1：正數乘正數、正數乘負數、正數乘0、負數乘正數、負數乘負數、負數乘0.

教師：這位同學說得很好！和加法類似，引入負數之后，會出現負數乘正數、負數乘負數、負數乘0這樣的乘法，這一節課我們就研究這一類問題.

2. 觀察發現

【數學活動1】

觀察下面的乘法算式，你能發現什么規律？

教師：大家可以觀察這些算式，有什么共同點和不同點？有沒有什么變化規律？

請同學們先自己思考，然后在小組內與同學交流，請小組派代表說說發現的規律. （讓學生自己探索，充分討論）

生2：我們小組發現，在這四個算式中，等號的左邊都是兩個數相乘，第一個因數不變，都是3，第二個因數和等號右邊的積有變化.

教師：很好！我們再請一個小組說說他們的發現.

生3：我們發現，兩數相乘，前面這個因數3不變，后面的因數減小1的話，積就減小3.

教師：這兩個小組都說得很好， 第二個因數減少1時，積減小3.

【數學活動2】

要使這個規律在引進負數后還成立，那么應有：

生4：這和前面的一樣. -2比-1小1，積就比-3小3，那么3×（-2）=-6，同樣-3比-2小1，積就比-6小3，那么 3×（-3）=-9.

教師：非常好！隨著后一乘數逐次遞減1，積逐次遞減3，我們得到了正數與負數相乘的結果是什么？

生5：正數乘負數，積是負數，積的絕對值等于各乘數絕對值的積.

3. 遷移經驗

【數學活動3】

教師：觀察下面的算式，你能發現什么規律嗎？

下列規律在引入負數之后仍然成立，下面空格應該填什么數？

請同學們先獨立完成，然后再和小組同學分享發現和結論.

教師：哪個小組派代表和大家分享一下你們的發現？

生6：我們小組發現，這組算式和前面類似，只是因數交換了順序，規律也和前面的類似，就是前一個乘數逐次遞減1，積逐次遞減3. 我們用這個規律計算，得到（-1）×3=-3，（-2）×3=-6， （-3）×3=-9 .

教師：綜合上面的算式，你能得出哪些有理數相乘的規律？

生7：負數乘正數，積是負數，積的絕對值等于各乘數絕對值的積.

【數學活動4】

利用上面歸納的結論計算：

生8：剛才我們總結了負數乘以正數，積是負數，并把乘數的絕對值相乘，因此這幾個題目的答案分別是-9，-6，-3，0. 填完之后通過觀察發現這些算式左邊第一個因數-3不變，第二個因數逐次遞減1，和前面不同，右邊的積逐次增加3.

【數學活動5】

教師：現在利用上述規律計算，再想想從中可以歸納出什么結論？

先獨立思考，再和小組內的同學交流你的發現.

生9：根據上面發現的結論，這幾個題目的答案分別是3，6，9，可以歸納出這樣的結論：負數乘負數，積為正數，積的絕對值等于各乘數絕對值的積.

4. 歸納法則

【數學活動6】

同學們，綜合以下各式，你能看出兩個有理數相乘與它們的積之間的規律嗎？

請同學們先自己思考，然后在小組內與同學交流，請小組派代表說說發現的規律.

生10：正乘正得正，正乘負得負，負乘正得負，負乘負得正，積的絕對值等于各因數絕對值的積.

教師：非常好！這位同學觀察了符號和絕對值的規律，除了這四種情況，還有補充嗎？

生11：正數乘0得0，負數乘0也得0.

教師：總結得太好了，有沒有同學能更簡潔地表達呢？

引導學生觀察、比較①和④組，②和③組算式中，兩個因數的符號有何特征，積的符號怎樣？？搖

生12：同號相乘得正，異號相乘得負.

教師：對，我們可以得到有理數的乘法法則：兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘；0乘任何數得0.

啟示

1. 在數學活動中幫助學生積累數學觀察、數學發現的經驗

觀察，是為了認識事物的本質和規律，而進行的一種有目的、有選擇的考察對象的活動，是人們認識事物的基礎. 數學活動中的觀察，是有意識地對數和形的特點進行感知的活動. 在本節課中，主要是對符號、數字所表示的數學關系式結構特點等進行的觀察. 在數學活動1中，老師引導學生從這些算式的結構、符號、絕對值等方面進行觀察，考慮以下問題：①這些算式有什么共同點？②它們有什么不同的地方？③這些變化有規律嗎？規律是什么？當學生初步積累了這些經驗后，又通過數學活動3進一步強化.

2. 在數學活動中幫助學生積累數學類比的經驗

在數學活動1中，學生觀察、發現了乘法算式的規律，通過數學活動2，進一步鞏固強化了前面的規律，并且讓學生積累了運用規律解決問題的經驗. 通過總結正數乘負數的情況，學生進一步積累有理數的運算總是先符號再絕對值的經驗.

3. 在數學活動中幫助學生積累數學遷移的經驗

學生數學活動經驗的積累是一個循環往復、螺旋上升的過程. 有了前面兩個問題的鋪墊，數學活動4、數學活動5對于學生來說不難. 把活動2的經驗遷移到活動3、4上，接著又按符號和絕對值總結乘法規律……學生在類比、抽象中逐步豐富自己的數學活動經驗，再慢慢內化為解決問題的策略. 通過這些數學活動，再一次讓學生經歷數學的探索過程，積累觀察、發現、歸納、推理的活動經驗.

4. 在數學活動中幫助學生積累歸納概括的經驗

抽象概括是學生形成數學概念、得出規律的關鍵手段，也是建立數學模型最為重要的思維方法. 學生之前學習的內容比較零散，這時要保證學生有一定的時間去觀察、發現、整理，讓學生經過觀察、思考、類比、抽象、概括等過程，去偽存真，抽象出本質屬性. 同時教師在小組間巡視，肯定學生的探索成果，盡量調動學生的學習興趣，鼓勵學生說出自己的不同想法，相互交流、補充，這樣促進學生數學活動經驗的積累和提升. 至此，乘法法則就完整地“推導”出來了.

重視過程是為了更好的結果. 可以看到，同單純的“結論性教學”相比，這種教學設計不僅僅關注學生的解題經驗——會用乘法法則運算，還給了學生足夠的時間和空間經歷有理數乘法法則的探究過程. 學生在學習中的觀察、實驗、猜想、歸納、計算、推理、驗證、交流、反思等，都是數學活動經驗的組成部分. 這些數學基本活動經驗是學生學習的重要目標之一，可以提高學生的數學素養，長遠來說對學生的發展有重要作用.