芻議初中數學開放題的編制

鮑露露

[摘 要] 本文將開放題按要素進行分類，整合相關具體題目，從四個類別詳細闡述開放題的編制方法，以及平時課堂中教師對習題的改編策略，期望能夠啟發和幫助廣大教師更好地教學.

[關鍵詞] 開放題；初中；數學

開放題是相對于封閉題而言的，是指題目中的條件或結論不完全確定的題目. 近些年，在各地的中考題中都有開放題的影子，對學生而言，數學開放題有利于調動學生的學習興趣，發展各方面的思維能力；對教師而言，教師應精于開放題的研究，學習開放題的編制策略，這樣既可以幫助學生從容應對中考，更能培養學生的數學思考能力、解題能力. 下面采用戴再平的分類方法，按命題要素分為條件開放題、策略開放題、結論開放題、綜合開放題，給出四種教師可以借鑒的開放題編制方法.

條件開放題

題目中的條件沒有給出或者部分給出，結論是固定的，要求學生從不同角度嘗試尋找使結論成立的條件，有利于培養學生思維的敏捷性以及主動分析問題、解決問題的能力.

案例1 已知3×3的網格圖都是由9個相同的小正方形組成的，每個網格圖中有3個小正方形已涂上陰影（如圖1～圖3），請在余下的6個空白小正方形中按下列要求涂上陰影：

（1）選取1個涂上陰影，使4個陰影小正方形組成一個軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形；

（2）選取1個涂上陰影，使4個陰影小正方形組成一個中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形；

（3）選取2個涂上陰影，使5個陰影小正方形組成一個軸對稱圖形.

（請將三個小題依次作答在圖1、圖2、圖3中，均只需畫出符合條件的一種情形）

這道題是2016寧波中考第20題，既是一道條件開放題，又是一道設計題. 作為一道中考題，首先答案具備規范性，便于批卷老師評分，也符合學生的最近發展區，能夠讓學生從多個角度探索問題. 本題考查學生對軸對稱圖形和中心對稱圖形的認識，學生平常接觸到的題目往往是判斷一個圖形是否是軸對稱圖形、中心對稱圖形，此題反向出題，讓學生自己去構造出滿足條件的圖形，更能考查學生的探索創新能力. 題目的要求是使陰影部分成為一個滿足條件的圖形，學生可采用枚舉法在空白處依次涂陰影來判斷. 由于題目要求“只需畫出符合條件的一種情形”，因此學生考慮的不全面也不會影響此題的答案. 但如果將此題進行變式，改為“符合條件的畫法共有幾種”或“將所有畫法全部畫出”，則對學生要求較高，需要學生思維全面. 作為教師，在對開放題進行講解以后，若進行恰當的變式，更能充分發揮開放題的用處，以拓展學生的思維能力.

結論開放題

結論作為未知要素，題目的條件是固定的，要求學生在已知條件下探索結論的多樣性，能夠培養學生對所學基本知識的應用能力以及發散思維，這也是中考中出現頻率較高的一類開放題，經常出現在填空題中，有多種答案可供學生選擇.

案例2 存在兩個變量x與y，y是x的函數，該函數同時滿足兩個條件：①圖像經過點（1，1）；②當x>0時，y隨x的增大而減小，請各寫出一個滿足條件的一次函數、反比例函數和二次函數的解析式.

本題來自一道中考真題的改編，讓學生寫出三個分別滿足條件的函數解析式，答案不唯一，重點在于學生能否把握這三個函數的特點. 要使得x>0時，y隨x的增大而減小，那么學生要知道一次函數必須滿足條件k<0，再代入點（1，1），求出滿足條件的b即可，滿足條件的一次函數有無限個. 反比例函數的表達式是y=，首先，當k>0時y隨x的增大而減小，又需經過（1，1），則k=1，滿足條件的反比例函數只有一個. 二次函數的一般表達式是y=ax2+bx+c，需滿足a<0且對稱軸x=-≤0兩個條件，即a<0，b≤0， 答案也有無限個，學生若能把握函數滿足條件的本質，題目的解答便一擊即破.

本題的原題是只要寫出一個滿足條件的任意函數即可，難度較低，學生容易想到一次函數或反比例函數，寫出一個二次函數具有一定的挑戰性. 但在此基礎上，還可以進行變式，教師可以啟發學生想出更多滿足條件的函數，既可以啟發思維又可以在一道題目中回顧舊知，達到一道開放題應有的作用.

策略開放題

解題的策略和方法是未知要素，題目的條件和結論固定，要求學生根據題目給出的信息，找出切合題意的多種解題策略，有利于幫助學生從多角度探索不同的解題方法，使學生發現和創造，培養學生思維的發散性和靈活性.

案例3 用兩種方法證明“三角形的外角和等于360°”. 如圖4，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三個外角，求證：∠BAE +∠CBF+∠ACD=360°.

證法1：因為___________，

所以∠BAE+∠1 +∠CBF+∠2+∠ACD+∠3=180°×3=540°.

所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°-（∠1 +∠2+∠3）.

因為___________，

所以∠BAE +∠CBF+∠ACD=540°-180°=360°.

請把證法1補充完整，并用不同的方法完成證法2.

這道題是2016南京中考第21題，作為一個大題，開放題出現的頻率是較低的，此題給出了一種證明方法，先讓學生補充完整，再給出另一種證法. 其中證法1采用的是平角為180°，結合三角形的內角和為180°進行證明，此外，可以考慮三角形外角與內角的關系，即∠BAE，∠CBF，∠ACD可以分別看作∠2+∠3，∠1+∠3，∠1+∠2，轉化成內角和. 還可以過點A作BD的平行線AG（圖5），通過平行線的性質得到∠CBF=∠GAB，∠ACD=∠EAG，因為∠BAE+∠GAB+∠EAG=360°，所以∠BAE +∠CBF+∠ACD=360°.

對于策略開放題，要求給出多種解題策略，教師若能在平常的上課和作業講解中就有意識地發展學生一題多解，那么學生遇到此類問題時就能得心應手地從各個方面入手給出解答，這對學生發散思維能力的培養大有裨益.

綜合開放題

只給出一定的情境，題目的條件、結論和解題策略都需要學生自行設定和尋找，這是四種開放題中開放性最強的一種，對學生的考查更具綜合性，能促使學生綜合地運用已有知識進行分析，有利于訓練學生思維的深刻性.

案例4 請你編寫一個故事，使故事情境中出現的一對變量x，y滿足圖6所示的函數關系，要求：

（1）指出變量x和y的含義；

（2）利用圖6中的數據說明這對變量變化過程的實際意義，其中需涉及“速度”這個量.

本題是2012年南京中考題第23題，題目給出一個函數圖像，讓學生自己創造符合題意的故事情境，考查學生的遷移能力. 題目也給出了提示，涉及“速度”，學生很容易想到路程、時間、速度之間的關系. 綜合開放題往往具有設計性，把題目的主動權交給學生，讓學生來做出題人，以此達到鍛煉學生應用能力的目的. 教師在平常上課時可以隨時穿插讓學生出題的情境，讓學生感受自己出題的樂趣，這會讓學生對數學題目的應用性有更深層次的理解.

除了上述詳細闡述的四種開放題分類之外，教師應了解各種開放題的編制方法，并靈活運用，更要細心對待各類習題，因為稍作變式就可能變成一道能夠考查和提升學生能力的開放題. 在課堂上探討開放題時，教師也要注意開放度適中，便于起到引導、把握課堂節奏的目的，讓開放題發揮其應有功能，開拓學生的創新能力和思維能力.