夯實基礎，挖掘潛力，培養數學素養

潘楷佳

[摘 要] 對于學生，數學復習課是必不可少的. 怎么樣設計問題才能更有效呢？這些問題必須是能幫助學生夯實基礎，挖掘潛力，積累數學經驗，能培養學生數學素養的素材. 因此，數學復習課應重視例題的選擇及呈現方式的設計.

[關鍵詞] 復習課；例題；開放題；數學思想

問題的提出

裴光亞教授曾說：“復習課是一種特殊的教學方式，如何根據復習課本身的特點，根據學生第二次學習的認識規律，根據復習內容的內在邏輯，來選擇恰當的復習方法，還是一個遠沒有解決的問題”. 特別是初中數學復習課，重要又難上. 因為教材的代數、幾何知識技能是遞進安排的，而數學思想與方法蘊含在各個章節里，其呈現方式是螺旋上升的. 需要教師適時進行歸納整合，總結提高. 可是，學生的數學學習有明顯的個體差異，問題多，數學素養還很低，教師難以把握一節數學復習課的重難點. 事實上，有效地設計數學復習課也正是一線教師一直在探索的課題. 根據皮亞杰的科學認知結構和布魯納的學科基本結構原理，復習課模式可以由“知識聯系—正例同化—反例順應—聯系強化”四個環節構成，也可以是其他教學模式等. 但是例題如何選擇和呈現，才能幫助學生夯實基礎、挖掘潛力、培養數學素養呢？筆者結合教學實踐談談自己對初中數學復習課的理解和做法.

初中數學復習課的現狀

初中數學復習課按先后順序分為章節復習、階段復習（期中、期末與月考）和總復習；按知識技能可分為概念復習、原理復習、數學思想方法復習與模塊復習. 很多一線教師只在公開課、優質課評比時才精心設計復習課，更多的時候是采用作業講評輔導或以考試代替復習，講練結合，以應付各種考試，失去了教書育人的本質.

不能調動教師認真上好復習課的原因是多方面的. 從學科角度看有：①工作量大. 一個數學教師一般教2個班，每周12課時，重點學校或私立學校的數學教師帶3個班的比比皆是，成天疲于奔命. ②缺乏資源. 教學離不開解題教學，數學課也不缺題目，但能有效挖掘學生潛力、培養數學素養的問題沒有現成且適合的，需要教師把學生的問題與教材的重難點知識整合在一起，形成有梯度的能彰顯數學思想的問題. 正是因為復習題沒有統一的標準，至今沒有可共享的資源庫. ③教師忽視學情，缺乏問題鉆研能力，沒有更新教學理念，總是以考試為中心，培養尖子生，不能做到因材施教與分層次教學等.

用新課程理念指導復習課的

設計

1. 《義務教育數學課程標準》（2011版）

教師教學應該以學生的認知發展水平和已有經驗為基礎，面向全體學生，注重啟發式教學與因材施教.

課程內容的選擇要貼近學生的實際，有利于學生的體驗、理解、思考與探索，呈現層次性與多樣性.

2. 基本學情

初中生隨著數學學習、語言學習的深入，使用文字與符號表達的能力有一定發展. 在分析一些簡單問題時也有了抽象思維方式的特征，已具備一定的數感、空間觀念、數據分析觀念等. 特別是八、九年級的學生，他們對于感興趣的、具有挑戰性的問題表現出很大的興趣. 但是初中生的心理很不成熟，性格未定型，不能熟練地用數學方式思考問題，仍然屬于啟蒙階段的未成年人. 因此，在復習課上，教師需要為其提供多角度理解數學的機會，滲透數學思想，挖掘學生的潛力，提高數學素養.

基于培養學生數學素養的復習

課設計

1. 初中數學復習課的導入

人教版初中數學教學參考書對每一單元的小結都安排了2～3個課時，單元復習課的安排從時間上就有了一定的彈性. 可先設計復習知識點，補缺補漏，再設計鞏固提高性的問題. 而階段復習與總復習時對知識技能的鞏固時間可長些. 一般來說，復習課的導入通常有：①用學習任務單（安排知識點及鞏固性習題等）導入；②用類比糾錯法、實驗法、懸疑法等設置問題情境導入，所用問題應容易引起學生的興趣.

2. 問題的呈現方式

鑒于以上分析，初中數學復習課應遵循以下原則：系統性原則、針對性原則、拓展性原則. 問題的呈現方式應遵循學生的認知規律，由易到難. 內容決定形式，盡量形式多樣，可借助多媒體工具動態演示，也可插入微課、微視頻輔助教學. 目的是調動全體學生參與，關注學生四基（基本知識、基本技能、基本方法、基本活動經驗）的掌握情況以及情感態度的培養等. 其中，數學活動經驗的積累是學生提高數學素養的重要標志.

3. 例題的選擇

復習課的例題應突出層次性和利于通性通法的教學，設置探索性問題、開放性問題、拓展性問題為宜. 具體選擇視教學目標與蘊含的數學思想而定. 每一節課的例題要少而精，開始的問題切入口要低，面向全體學生，逐步拓展深度與廣度，而每一次的拓展都要加大思維力度，拓展思維寬度. 故選擇探究性與開放性的問題較好，它需要學生展開觀察、試驗、類比、歸納、猜想等思維活動. 探索性問題不僅可以促進知識技能的掌握，而且更加有利于整體發展和思維品質的全面提高. 開放性問題是培養學生創造精神、創造能力最有價值的問題. 在教學內容展開的過程中，注意生成性資源的利用，及時鼓勵學生，能使復習課更具有針對性與有效性，能更好地培養學生的數學素養.

4. 例題的來源

復習課的例題來源主要從3個渠道尋找，改編整合，形成開放性的數學問題，設置變式訓練，一題多解等：①來源于作業錯題. 學生的錯誤正是重難點所在，這就為教師發現問題、改編問題提供了一條有針對性的途徑；②來源于課本，又高于課本，但拓展不能超越學生的認知水平；③來源于各地中考試卷及數學刊物等. 這樣設計復習課例題進行教學，就不再是簡單的“知識框圖+例題”的形式，而是從學生的問題出發，從生成和內化的角度出發，從學生對開放題的數學思考出發，復習通性通法及數學思想了.

例證1 二元一次方程組的復習.

現有含鹽15%的鹽水20克，含鹽40%的鹽水15克，另有足夠多的鹽和水，要配制成含鹽20%的鹽水30克. （1）試設計多種方案；（2）如果要求盡可能多地使用現有鹽水，應怎樣設計配制方案？

說明：本題是一個過程和結論都開放的習題，對學生運算能力、推理能力的培養都很有意義. 人教版初一學生沒有學過濃度，故應先向學生解釋“含鹽15%”的含義是“平均每一克鹽水里有鹽0.15克”，以啟迪思維，有利于培養學生的數學素養.

第（1）小題，直覺上有多種方案可供學生探究交流討論；第（2）小題，若設含鹽15%的鹽水x克，含鹽40%的鹽水y克，則x=24，y=6，但x=24>20是不切實際的，那么怎么設合理呢？上面不合理的x值告訴了學生：含鹽15%的鹽水都不夠用了，可見含鹽15%的鹽水要全部用上，再配上其他.

例證2 復習一次函數概念與性質.

原題：已知y=（m-1）xm2-2m+8是y關于x的一次函數，求m的值.

變式1：已知y=（m-1）x-2m+8是y關于x的一次函數，圖像過一、二、四象限，求m的取值范圍.

變式2：已知y=（m-1）x-2m+8是y關于x的一次函數，且1

變式3：已知y=（m-1）x-2m+8是y關于x的一次函數，且m<1，此時y隨著x的增大怎樣變化？

變式4：已知y=（m-1）x-2m+8是y關于x的一次函數，你能添加適當的條件，求出它的解析式嗎？

說明：這是一組變式訓練，很多資料上都能見到. 其中變式4是一個開放題：當x=2時，y恒為6，因此，函數y=（m-1）x-2m+8的圖像是過定點（2，6）的直線族. 學生只要不是添加m=1或x=2就容易得出函數解析式. 因此，此類題有利于學生數學素養的培養.

案例：人教版初中數學九年級

下“第27章 相似”專題復習

1. 探究過程的設計

探究1：如圖1，已知銳角三角形ABC，畫2個不同位置的三角形，分別與△ABC相似. 畫一畫，比一比.

設計意圖 這是一個開放性問題，面向全體學生. 切入口低，學生興趣高. 構造相似三角形，用軸對稱、平移、旋轉、位似法與截取法等都容易做到. 只要能畫出來即可，不必做得很準確. 主要是培養學生空間想象能力、推理能力、動手與合作交流的情感態度.

探究2：如圖2，在四邊形ABCD中， ∠B=∠C=90°，AB=2，BC=8，DC=5，在BC上是否存在點P，使△ABP與△PCD相似？

（1）若存在，試求出BP長度，若不存在，請說明理由.

（2）若存在點P，你能用畫圖的方法找到P點的位置嗎？試一試，小組討論一下.

追問1：假設存在點P使這兩個三角形相似，但并沒有指出對應頂點，怎么辦？

追問2：假設存在點P使這兩個三角形相似，點P的位置可以用BP的長度來說明，由此就可以設BP=x，但x的值能不能求出呢？

追問3：能不能用畫圖的方法準確找出點P呢？因為分類了，所以要分別思考畫圖的方法.

（1）當△ABP ∽ △DCP時，有∠APB=∠DPC，點P的位置如何作出呢？畫一畫（如圖3）.

（2）當△ABP∽△PCD時，有∠APB+∠DPC=90°，從而∠APD=90°，由此，你能想到點P的畫法嗎？畫一畫（如圖4）.

說明：此題還可以變式為∠B=∠C，不是直角梯形了，其他條件不變，是否還有這樣的相似三角形存在？

設計意圖 此題來源于作業，是自己改編的一個拓展性問題. 用代數計算方法解決幾何問題，體現了數形結合思想，學生普遍感到困難或解答不全面. 題目并沒有指出對應頂點，需分類討論，同時，對存在性問題的一個普遍思路是假設法，學生也不適應. 本題BP=，4±的三個結果不是整數，不便于作圖，而用圓和軸對稱找出三個P點的位置，學生有很大困難，這里進行了層層點撥. 通過此題的學習，以期培養學生的探究興趣，提高學生的數學素養，啟迪學生的思維.

2. 課堂練習的設計

如圖5，矩形ABCD的邊AB=4，BC=8，在BC上是否存在點P，使△ABP與△PCD相似？

（1）若存在這樣的點P，能找出幾個？

（2）若存在點P，則△ABP與△ADP是否也相似？

教學反思

東北師范大學教授史寧中2017年在教師繼續教育網上說：“今后的教育教學質量監測應遵循4個原則：①不要求計算速度；②監測內容中蘊含數學素養；③應當有一道開放題；④關注學生的認知規律.”這就是說，新一輪基礎教育課程改革，既要面向數學素養的培養，又要面向中高考的評價和選拔. 而教學的最后任務就落在復習課上.

復習課是學生的第二次學習，學生的認知水平參差不齊，所以，復習課上應強調通性通法的解題復習、問題學生的補缺補差、數學思想的再次滲透，既夯實基礎又挖掘潛力. 特別地，中考前的復習課還應幫助學生培養良好的心態與各種考試策略. 因初中生數學學習的問題意識、獨立意識、探究能力等還不強，故初中數學復習課的教學要精心設計問題，點面結合，兼顧全體和個體差異. 當然數學復習也要注意細節和進行一定量的習題訓練.

教師在平時的教學工作中應注意積累素材，以能培養學生的數學素養為抓手去篩題、編題，梳理教材和學生錯誤，并善于發現且利用好生成性資源. 在課堂教學實施過程中，充分調動學生的學習積極性，探究問題、解決問題，才能幫助學生夯實基礎、挖掘潛力，發展學生的數學思維能力，提升數學素養. 另外，教師不僅要面向中考，更要有課題研究的精神，吃透新課標，才能得心應手地上好初中數學復習課.