泰勒公式在極限計算上的應用

袁利軍++曾靜

【摘要】極限計算是高等數學教學的一個非常重要的內容和難點，也是考研數學的考試重點。本文介紹將泰勒公式應用于計算各種復雜極限的基本思想和方法。

【關鍵詞】極限計算 高等數學 泰勒公式

【中圖分類號】G642.1 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）21-0246-02

極限是高等數學中的一個核心概念。高等數學中幾乎所有重要的概念都是通過極限來定義的，例如：連續、導數、定積分、級數收斂性等等。高等數學的極限教學包含三層意思：極限的概念、極限的計算，以及極限的應用。極限計算的技巧性很強，一直是教學的重點和難點。極限計算的方法較多，學生不能熟練掌握。特別是復雜極限的計算，大多數同學沒有思路，無從著手。極限計算而是考研數學的一個重要內容，而且考研數學中的極限計算題難度很高，需要在短時間內快速求解有一定困難。本文介紹用泰勒公式計算極限的基本思想和方法。泰勒公式一般可用于計算復雜極限，計算過程簡單，不容易犯錯。

一、極限的計算方法

高等數學中的常用極限計算方法可以終結歸納為：（1）定義法；（2）連續函數的定義；（3）歸結原理；（4）夾逼準則；（5）單調有界定理；（6）洛必達法則。6中方法中定義法用的最少，根據連續函數的定義只能計算簡單的極限。歸結原理一般用來證明極限不存在。夾逼準則和單調有界定理被廣泛應用于計算極限，特別是基于他們推導出來的兩個重要的極限對計算復雜極限十分重要。洛必達法則可以說是這6中極限計算方法中功能最強大、應用最廣泛的。計算復雜極限時一般首先考慮此方法。用羅必塔法則時，一般要先考慮等價無窮小替換，以簡化極限的表達式。羅必塔法則需要對表達式的分子和分母同時求導數。對于有些極限，求導后表達式會變得越來越復雜，使得極限的計算變得復雜，容易犯錯。此外，很多同學經常把羅必塔法則用錯。

泰勒公式可用于復雜極限的計算，一般羅必塔法則能夠計算的極限，泰勒公式也能計算。只要知道極限各個部分的泰勒公式，就可以很容易地計算出極限值。

通過上述例子，可以看出泰勒公式在計算極限上有很大的優勢。只需要找到分子和分母的泰勒公式，極限的計算就變得非常簡單。所以計算極限各個組成部分的泰勒公式是應用此方法的重點。要熟練運用泰勒公式法需要熟記常見函數的泰勒公式，并且知道無窮小的運算法則。

四、結語

極限的計算非常重要，也非常復雜，是考研數學和高等數學的考試和教學重點、難點內容。本文通過一些實例演示泰勒公式可用來快速簡便地計算復雜極限。只要熟記一些常用函數的泰勒公式和無窮小的運算法則，就可以快速使用泰勒公式計算極限。

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