泰勒公式在極限計(jì)算上的應(yīng)用

袁利軍++曾靜

【摘要】極限計(jì)算是高等數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)非常重要的內(nèi)容和難點(diǎn)，也是考研數(shù)學(xué)的考試重點(diǎn)。本文介紹將泰勒公式應(yīng)用于計(jì)算各種復(fù)雜極限的基本思想和方法。

【關(guān)鍵詞】極限計(jì)算 高等數(shù)學(xué) 泰勒公式

【中圖分類(lèi)號(hào)】G642.1 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2017）21-0246-02

極限是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)核心概念。高等數(shù)學(xué)中幾乎所有重要的概念都是通過(guò)極限來(lái)定義的，例如：連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、定積分、級(jí)數(shù)收斂性等等。高等數(shù)學(xué)的極限教學(xué)包含三層意思：極限的概念、極限的計(jì)算，以及極限的應(yīng)用。極限計(jì)算的技巧性很強(qiáng)，一直是教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。極限計(jì)算的方法較多，學(xué)生不能熟練掌握。特別是復(fù)雜極限的計(jì)算，大多數(shù)同學(xué)沒(méi)有思路，無(wú)從著手。極限計(jì)算而是考研數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，而且考研數(shù)學(xué)中的極限計(jì)算題難度很高，需要在短時(shí)間內(nèi)快速求解有一定困難。本文介紹用泰勒公式計(jì)算極限的基本思想和方法。泰勒公式一般可用于計(jì)算復(fù)雜極限，計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)單，不容易犯錯(cuò)。

一、極限的計(jì)算方法

高等數(shù)學(xué)中的常用極限計(jì)算方法可以終結(jié)歸納為：（1）定義法；（2）連續(xù)函數(shù)的定義；（3）歸結(jié)原理；（4）夾逼準(zhǔn)則；（5）單調(diào)有界定理；（6）洛必達(dá)法則。6中方法中定義法用的最少，根據(jù)連續(xù)函數(shù)的定義只能計(jì)算簡(jiǎn)單的極限。歸結(jié)原理一般用來(lái)證明極限不存在。夾逼準(zhǔn)則和單調(diào)有界定理被廣泛應(yīng)用于計(jì)算極限，特別是基于他們推導(dǎo)出來(lái)的兩個(gè)重要的極限對(duì)計(jì)算復(fù)雜極限十分重要。洛必達(dá)法則可以說(shuō)是這6中極限計(jì)算方法中功能最強(qiáng)大、應(yīng)用最廣泛的。計(jì)算復(fù)雜極限時(shí)一般首先考慮此方法。用羅必塔法則時(shí)，一般要先考慮等價(jià)無(wú)窮小替換，以簡(jiǎn)化極限的表達(dá)式。羅必塔法則需要對(duì)表達(dá)式的分子和分母同時(shí)求導(dǎo)數(shù)。對(duì)于有些極限，求導(dǎo)后表達(dá)式會(huì)變得越來(lái)越復(fù)雜，使得極限的計(jì)算變得復(fù)雜，容易犯錯(cuò)。此外，很多同學(xué)經(jīng)常把羅必塔法則用錯(cuò)。

泰勒公式可用于復(fù)雜極限的計(jì)算，一般羅必塔法則能夠計(jì)算的極限，泰勒公式也能計(jì)算。只要知道極限各個(gè)部分的泰勒公式，就可以很容易地計(jì)算出極限值。

通過(guò)上述例子，可以看出泰勒公式在計(jì)算極限上有很大的優(yōu)勢(shì)。只需要找到分子和分母的泰勒公式，極限的計(jì)算就變得非常簡(jiǎn)單。所以計(jì)算極限各個(gè)組成部分的泰勒公式是應(yīng)用此方法的重點(diǎn)。要熟練運(yùn)用泰勒公式法需要熟記常見(jiàn)函數(shù)的泰勒公式，并且知道無(wú)窮小的運(yùn)算法則。

四、結(jié)語(yǔ)

極限的計(jì)算非常重要，也非常復(fù)雜，是考研數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的考試和教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)內(nèi)容。本文通過(guò)一些實(shí)例演示泰勒公式可用來(lái)快速簡(jiǎn)便地計(jì)算復(fù)雜極限。只要熟記一些常用函數(shù)的泰勒公式和無(wú)窮小的運(yùn)算法則，就可以快速使用泰勒公式計(jì)算極限。

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