力學分析中的正號與負號

陳奎孚 何坤娜

(中國農(nóng)業(yè)大學理學院74#，北京 100083)

力學分析中的正號與負號

陳奎孚 何坤娜

(中國農(nóng)業(yè)大學理學院74#，北京 100083)

力學關系的矢量形式整齊簡明，但手工計算往往傾向于投影的標量式。不少學生在標量分析過程中有正負號的糾結。筆者對如下學習情境中的正負號糾結進行了剖析：物理關系、運動量、功、力矩、力偶和力矢量圖示。指出消除正負號糾結的關鍵在于是否畫矢量形式的分析圖。基于矢量關系的演繹不需要圖示信息,但手工計算總是喜歡用圖形。有圖形情形下，方向相反的矢量關系會由圖形顯示，標量關系就無負號。理解上述原則有助于提升力學分析的教學效率。

力學教學;力矢量;力偶; 慣性力主矢；慣性力主矩;功；運動量；阻尼振子；隔離體圖

0 若干典型糾結

力學教學中常常遇到用正號還是負號的糾結，比如文獻[1]例2～5中有“小球的粘滯阻力與其運動速度成正比，即fτ=kv,k為比例常數(shù)……”，而在文獻[2]中有“物體所受的彈力f與彈簧的伸長量即物體相對平衡位置的位移x成正比，即f=-kx…”。我們知道：粘滯阻力與相對速度方向相反，但fτ=kv前沒有負號；彈力f=-kx中的負號是因為彈力與偏離平衡位置的位移x方向相反。對專業(yè)物理教師而言，上述看似沖突的表述是能理解的，但對于學習物理課程而言的學生，他們更需要清晰一致的表述。

理論力學的受力分析也經(jīng)常出現(xiàn)正負號的糾結，比如圖1(a)的受力分析畫成圖1(b)是否正確[3]。很多學生會覺得圖1(b)中的桿會向右加速而無法保持平衡，因此認為它是錯誤的。

圖1

圖2

在學習物理關系、運動量、功、力矩、力偶和力矢量等知識點過程中經(jīng)常出現(xiàn)正負號的糾結，本文將對它們逐一分析。

1 物理關系中的正負號

文獻[1]和文獻[2]的兩個例子都使用了標量符號。本質(zhì)上力是矢量，只是教學中學生對矢量的感覺比較差，所以就習慣性地使用標量了。如果回到矢量，粘滯阻力應該寫成fτ=-k，彈力應該寫成f=-kx。對這兩個矢量關系，都有負號。同樣作用力f和反作用力f′之間的關系f=-f′，慣性主矢fI=-maC(C為質(zhì)心)，也都有負號。

矢量既包含大小，也包含方向，所以采用矢量分析，無需畫矢量分析圖。運用矢量運算規(guī)則，既能得到所有信息，而且最終矢量也能夠把信息完全表達出來。

由于矢量的使用門檻相對較高，所以從啟蒙的初中物理開始，教師就習慣讓學生使用受力圖來分析受力，特別是高度頻繁出現(xiàn)的平面問題，也正適合二維圖形的表達。只要一旦有受力圖，我們就會充分地利用圖形呈現(xiàn)分析信息，特別是呈現(xiàn)其中的方向信息。因而如果圖形已經(jīng)呈現(xiàn)了恰當?shù)姆较蛐畔ⅲ敲礃肆筷P系就不再加負號了。本文開頭所舉的兩個例子正是這樣：文獻[1]關于粘滯阻力有受力圖，受力圖中fτ矢量方向與v=dy/dt指向相反，所以有fτ=kv；而文獻[2]對彈力的描述無對應的矢量圖，所以有f=-kx。

同理，如果像圖3(a)那樣畫出了作用力與反作用力的矢量分析圖，那么配合此圖的關系是f=f′，而不是f=-f′ (如果沒圖，就必須使用f=-f′)[6]。在圖3(b)中，慣性主矢方向與加速度方向相反的關系已經(jīng)由圖示虛線箭頭的方向表示了，所以fI=maC(m為剛體質(zhì)量;aC為質(zhì)心C的加速度)而不是fI=-maC。類似地，慣性力系主矩MI=JCα(α為剛體轉動的角加速度；JC為剛體繞C的轉動慣量)。

圖3

不少同學喜歡按圖3(c)的方式標注慣性力系的主矢，這很容易出現(xiàn)下面的糾結：如果沿aC寫投影方程，虛線箭頭所表示的矢量沿aC的投影應該寫成-maC還是maC呢？正確答案當然是前者。然而，如果只看該圖，虛線箭頭方向與aC相反，所以投影應該有負號，再乘上圖上標注的-maC的負號，從而得到maC，這當然是錯誤的。為了避免上述糾結，把圖中的-maC換成maC是否可行呢？答案是否定的，因為從圖上來看，虛線箭頭所示的矢量方向與aC相反，但是maC和aC卻是方向相同的矢量。與此相反，圖3b所采取的方式“矢量方向相反根據(jù)圖示，再補上代數(shù)關系fI=maC”，肯定不會出現(xiàn)困惑。

圖4

為了避免糾結，分析圖上的矢量標注盡可能使用符號，不要用-maC這樣運算式。符號盡可能唯一(不要用一個符號標注兩個以上矢量)，尤其是帶負號的情形更應避免。比如，圖3(d)物體受到力偶作用，B點受力標注成-F，這容易引發(fā)B點受力究竟是向上還是向下的困惑。如果采用A點力矢量標為FA，而B點的力矢量標為FB，再補上代數(shù)關系FA=FB=F，肯定就不會出現(xiàn)糾結(更簡潔的標注是用F和F′)。

2 運動量的正負號

在討論圖2的角位移和角速度的正負號之前，我們先看直角坐標量之間的正負號。

2.1 直角坐標

質(zhì)點運動位移r，速度和加速度a之間的關系為=dr/dt和a=d/dt，它們不涉及正負號。上述矢量關系反映到直角坐標上，就可能會有潛在的問題，如直角坐標系原點不固定的情形。

坐標原點必須固定的要求容易理解，但操作起來有時會被忘記，比如圖4(a)所示的機構, 由于B點在O的左邊，因而很多同學會把坐標原點放在B上，從B指向O為x軸。若確實這么做，那么vDx=dxD/dt還是vDx=-dxD/dt呢？

上述討論看似畫蛇添足，下面用圖5(a)的粘性阻尼振子的受力分析來體會一下(圖中c為阻尼器粘性系數(shù))。先不妨假定質(zhì)點的位移x>0。顯然質(zhì)點在x處的速度既可能向右(沿x軸正向)，也可能向左(沿x軸負向)。因為粘性阻尼力與速度方向相反，而受力圖的重要作用是反映力矢量的方向信息，所以嚴格說來，受力圖應該分別畫向左和向右兩種情形，即圖5(b)和5(c)(重力和支持力對振動無實質(zhì)貢獻，略去不畫)，圖中Fk和Fc分別為彈力和阻尼力。兩種情形下質(zhì)點所受的合力均為FR=Fk+Fc，這是矢量加，不用參考受力圖。把Fc=-c，得到FR=Fk-c，這是矢量替換，同樣也不用參考受力圖。顯然FR沿水平方向，設其與x軸指向相同，我們來寫投影式，這必須參考受力圖。對圖5(b)有

FR=-Fk-Fc

(1)

與圖5(b)相配的阻尼力標量式為Fc=cv(沒有負號，相反關系由圖中相反的箭頭所示)，代入式(1)得到(注意：代入過程不用去琢磨受力圖，忘記受力圖，直接代數(shù)運算)

圖5

(2)

而參考圖5(c)的投影方程則為

FR=-Fk+Fc

(3)

對圖5(c)，阻尼力標量式依舊為Fc=cv,代入式(3)有

FR=-Fk+cv

(4)

式(2)和式(4)形式上有差異，此外為了得到式(2)和式(4),需要畫兩幅受力圖。

(5)

(6)

(7)

(8)

中學物理大多僅討論到直線上的物理量，這使得坐標系意識淡薄，故而更容易出現(xiàn)糾結[9]。

總之，用坐標和坐標的導數(shù)，而不是用距離(速度和加速度)，分析過程會相對簡潔，出現(xiàn)類似文獻[10,11]的糾結要少一些。

2.2 角坐標

對轉動量，如角速度、角加速度，一般有“逆時針為正，順時針為負”規(guī)則。使用該規(guī)則時，我們是不參考圖形的。如果有圖形存在，我們則會參照圖形標記的轉向信息。當使用圖形來反映轉動量時，我們需要固定的參考體和參考轉向。其中固定參考體應是無轉動的剛體。參考轉向一般選擇逆時針轉向，以與“逆時針為正”規(guī)則一致(必要情況下，參考轉向也可以選擇順時針轉向)。

圖2中地面無轉動，AB桿運動。如果選擇地面為參考線，逆時針轉動到AB桿，則角位移應為圖6(a)中的β(β=π-θ),這樣AB桿的角速度dβ/dt=d(π-θ)/dt=-dθ/dt。

圖6

因為參考轉向與正負號關系密切，所以筆者建議：表示角度用雙箭頭弧，而表示角位移用單箭頭弧，箭頭自參考線出發(fā)，轉到運動物體。

3 功計算中的正負號

力F作用點經(jīng)過元位移dr所做的元功為

δW=F·dr

(9)

上式進一步可表示為

δW=Fxdx+Fydy+Fzdz

(10)

式(9)不用參考任何圖形信息，式(10)需要參考坐標軸的指向信息。在手工計算中，式(10)的使用比式(9)要頻繁。

給出力的投影和作用點的微分，即可套用式(10)。比如圖4中力F1的功。按照圖4(c)的坐標系,

xA=(b-2a)cosθ,yA=bsinθ

(11)

F1的投影

Fx=F1sinθ,Fy=-F1cosθ

(12)

此處Fy右邊的負號源自F1沿y軸投影的指向與y軸指向相反。

一旦寫出式(11)和式(12),就無需再參考圖形，直接把它們代入公式(10)即可。在套用前，計算坐標的微分，即

dxA=-(b-2a)sinθdθ, dyA=bcosθdθ

(13)

注意dxA右邊括號外的負號來自對cosθ求微分的數(shù)學運算，與圖形無關，更不用參考圖形。

把式(12)和式(13)代入式(10),得到

δW=-(b-2asin2θ)F1dθ

(14)

整理后得到與式(14)相同的結果。

虛位移原理涉及虛功的計算。虛功的坐標變分與普通的坐標微分幾乎相同，所以上述正負號的討論也適用于虛功的計算。

4 力矩計算中的正負號

平面力矩的常用計算方式有兩種。第一種方式根據(jù)定義：力矩大小等于力臂與力大小乘積，正負號遵循“逆時針為正，順時針為負”。該方法通常稱幾何法，它是需要參考圖形的，因為矩心-力作用線相對位置和力指向這兩個信息需要從圖中獲得，比如根據(jù)圖7(a)的幾何信息，我們有

MO(F1)=F1d1,MO(F2)=-F2d2

(15)

圖7

第二種方式是使用下式計算(參見圖7(b))

MO(F)=xFy-yFx

(16)

其中:(x,y)為力作用點坐標;(Fx,Fy)為力的投影。采用式(16)的計算，無需參考圖形信息。計算結果MO(F)遵循“逆時針為正，順時針為負”，也不用參考圖形。當然寫(Fx,Fy)需要參考坐標系。

式(16)是正確無誤的。如果從空間的力矩矢r×F在xOy坐標面內(nèi)投影的演繹來看，它也是很自然的。然而，作為教學，力矩概念無疑都是從平面定義開始的，然后接著介紹式(16)。教學中往往只是用圖7(b)的第一象限的特殊情形對式(16)加以驗證。若嚴格驗證，則有16種情形之多。這是因為力矩計算涉及到坐標的正負號和力的指向，考慮(x,y)正負與(Fx,Fy)指向的組合，就有16種之多。顯然，采用枚舉式的驗證過程就十分冗長。為了簡化證明，可以根據(jù)合力矩等于分力矩之和的性質(zhì)，先分別考慮Fx和Fy的矩。

先看Fy。在圖7(c)中，有M(Fy)=dFy=xFy，此時為逆時針。當Fy向左移動，M(Fy)減小，當x<0時，M(Fy)=-dFy=xFy為負值，這確實對應M(Fy)的順時針轉向。在圖7(d)中Fy向下，對O點的矩為順時針，相應地M(Fy)=xFy<0(因為力的投影Fy<0，投影值參考坐標軸的指向，不是圖示的Fy指向)。當Fy向左移動到x<0，F(xiàn)y對O的力矩變成逆時針，當然M(Fy)=xFy也確實大于零了。

綜上所述M(Fy)=xFy對坐標的正負和Fy指向的所有組合都成立。類似地考慮Fx，可知M(Fx)=-yFx對坐標的正負和Fx指向的所有組合都成立。根據(jù)合力矩性質(zhì)有

M(Fy)=M(Fy)+M(Fx)=xFy-yFx

這就證明了式(16)。

力偶矩的轉向和力矩的轉向沒有本質(zhì)差異，所以上述討論也適用于力偶矩。最常提及力偶矩規(guī)則是“逆時針為正，順時針為負”。這個規(guī)則適用的場合是沒有圖形信息，如M=40N·m表示逆時針轉向的力矩，大小為40N·m，而M=-30N·m表示順時針轉向的力矩，大小為30N·m。

然而，力學分析喜歡使用圖形。一旦有圖形，總是把圖形示意的轉向為參考轉向，比如圖8中4個帶箭頭的弧標明了參考轉向，弧箭頭旁邊的符號M1,M2,M3,M4表示力矩的數(shù)值，它要另行補充，比如M1=10N·m,M2=-20N·m,M3=30N·m,M4=-40N·m。M1=10N·m的數(shù)值與圖示的弧箭頭轉向一起表示這是大小為10N·m的逆時針轉向力偶。此時，不能因M2=-20N·m中有負號而認為它是順時針轉向，而是因為有了圖形，數(shù)值和圖示轉向一起表明M2是大小為20N·m的順時針轉向作用的力偶。M3=30N·m也不表示它是逆時針。參考圖示轉向，它是大小為30N·m的順時針轉向作用的力偶。類似地M4=-40N·m與圖示參考轉向一起，表明M4大小為40N·m的逆時針轉向作用的力偶。

圖8

5 力矢量的指向

既然平面力偶矩可以用圖示參考轉向與數(shù)值聯(lián)合的方式來表示，那么平面力矢量也當然可以用圖示參考方向與力的數(shù)值來表示。如同力偶的數(shù)值，力的數(shù)值也可以取負值。這就消除了圖1b的糾結，即圖中約束力FBx和FBy的數(shù)值取負值，從而AB能桿保持平衡。

通常說矢量有方向和大小(范數(shù)或模)兩個屬性，而平面矢量又往往用幾何圖示，而幾何大小的“常規(guī)語義”是不包括負值的。如果想刻意突出包含負值，筆者建議用矢量的“數(shù)值”這一詞匯。當然有人可能質(zhì)疑出現(xiàn)代數(shù)符號怎么辦。從詞法上講，代數(shù)也是“數(shù)”，代數(shù)值也是“數(shù)值”，就如同不等式也是“式”一樣。

圖9

為什么刻意強調(diào)力矢量的數(shù)值可以為負呢？通常，物理教學的受力分析相對簡單，學生不僅能判斷出力的作用線，而且也容易確定數(shù)值為正的指向。然而在受力比較復雜情形下，特別是當研究對象由多物體組成時，很難正確判斷出正數(shù)值的指向。這種情形下，我們把作用線方向判斷對了即可，而指向可先假定，然后由力學方程確定數(shù)值的正負。

上述處理并不影響分析結果，而且有助于復雜情形的力學分析。這里通過舉例說明。圖9(a)中F=20 kN,M=10 kN·m, 幾何信息如圖示，分析B鉸和固定端C處的約束力。

上述答案的負值，表明正數(shù)值方向(轉向)與圖示的相反。但無需重新畫圖(以便出現(xiàn)正的數(shù)值)，因為數(shù)值和圖示方向(轉向)一起給出了完整的力信息。

為了校核上述處理的合理性，圖9(d)和9(e)是把FBx和FBy按正數(shù)值指向方式畫的(本題容易知道正數(shù)值對應的指向)。對這兩個圖列平衡方程求解得到

對比式(17)和式(19),發(fā)現(xiàn)B鉸約束力的數(shù)值確實由負變正了。式(18)和(20)相同，表明B鉸約束力方向的假設并不影響其他地方的受力分析結果。

總之，對于復雜的力學分析，約束反力的作用線在受力圖中要正確，而其正數(shù)值的指向可留待由力學方程確定。也正因為圖示指向和力學方程所確定的數(shù)值一起表征了力的完整信息，所以受力圖在分析過程中不能缺席。

6 結語

力學學習中可能涉及正負號糾結的情景有物理關系、運動量、功計算、力矩、力偶和力矢量指向等。 本文對這組情景下的糾結進行了分析，得到了如下看法：

1) 用矢量表述的物理關系，不需要參考圖形信息，不存在正負號的糾結。

2) 如用圖形表示矢量信息，則矢量的方向反映在圖形上。方向相反的兩個矢量，已經(jīng)由圖形示意反向了，投影的標量式就不要再有負號了。但是隨后的計算分析必須參照圖形進行。結果解釋也要參照圖形信息。

3) 對基于圖形的分析方法，比如受力圖，因為圖形上有力的作用線和假定的指向信息，所以必須要畫出受力圖，答案才是完整的。

4) 坐標的各階導數(shù)的指向與坐標軸指向相同。利用這一性質(zhì)，可簡化動力學分析過程。

[1] 王少杰，顧牡，毛駿健.大學物理學(上冊) [M].2版.上海：同濟大學大學出版社，2002.2:29.

[2] 王少杰，顧牡，毛駿健.大學物理學(下冊)[M].2版.上海：同濟大學大學出版社，2002.5:103.

[3] 陳奎孚.理論力學自主學習解題輔導[M].北京:中國農(nóng)業(yè)大學出版社，2014,12:5.

[4] 葉玉琴.一道力學題的求解及感悟[J].中學物理，2011,29(21):20-22. Ye Yuqin. Solving a mechanics problem and its reflections[J]. Zhongxue Wuli (Gaozhong Ban)， 2011, 29(21): 20-22. (in Chinese)

[5] 陳奎孚.中學物理教育應該強基礎重通適——一位大學教師的視角[J].物理與工程，2016,26(4):22-26. Chen Kuifu. High school physics education should highlight the corner stone knowledge and underline the universal approach[J]. Physics and Engineering. 2016, 26(4): 22-26. (in Chinese)

[6] 胡揚洋,耿愛霞.物理教材“牛頓第三定律”編寫存在的三個疑難問題[J].課程教學研究,2014,(1):76-79. Hu Yangyang, Geng Aixia. Three perplexities pertaining to the Newton Third Law in composing physics textbooks[J]. Journal of Curriculum and Instruction, 2014, (1): 76-79. (in Chinese)

[7] 陳奎孚.機械振動教程[M].北京:中國農(nóng)業(yè)大學出版社，2014,4.

[8] 劉榮暄.理論力學中的正負號問題[J].力學與實踐,1994,(2):55. Liu Rongxuan. The issue of plus and minus signs intheoretical physics[J]. Mechanics and Practice, 1994, (2): 55. (in Chinese)

[9] 龐春晨.高中物理教學如何規(guī)范使用正負號[J].理科考試研究，2015,(23):47. Pang Chunchen. How to determinelogically the plus sign or the minus sign in high school physics education[J]. Examinations Research Science, 2015, (23): 47. (in Chinese)

[10] 趙俊霞.一道錯解題的思考[J].中學物理，2013,31(3):66-67. Zhao Junxia. Reflections to afallacy solution[J]. Zhongxue Wuli(Gaozhong Ban), 2013, 31(3): 66-67. (in Chinese)

[11] 鄭永圣,黃修斌.關于《一道錯解題的思考》一文的商榷[J].中學物理，2013,31(23):43-44. Zheng Yongsheng, Huang Xiubin. Comments on ‘Reflections to afallacy solution’[J]. Zhongxue Wuli(Gaozhong Ban)， 2013, 31(23): 43-44. (in Chinese)

ON THE PLUS AND MINUS SIGNS IN MECHANICS ANALYSIS

Chen Kuifu He Kunna

(College of Sciences #74, China Agricultural University, Beijing 100083)

The vector form of mechanics relationship is concise and tidy whereas the projected scalar form is preferred to in manual computation. Plenty of students are frustrated with choosing plus or minus signs in scalar form computation. The frustration with plus or minus signs are investigated in the following contexts, physics relationship, kinematic quantities, work, force moment, force couple and force vector graphing. It is pointed that a key factor is whether the vector diagram is drawn or not. The vector form of relationship does not necessitate a vector diagram; as a result, there is no need to consider the plus or minus sign. On the other hand, a vector diagram is preferred, especially in the case of planar problems. Concerning this case, the opposite directions of two vectors are delineated in the diagram; as a result, the minus sign should not appear in the scalar relationship. Apprehending above rules benefits the educational efficacy of force analysis.

mechanics pedagogy; force vector; force couple; principal vector of inertia; principal moment of inertia; power; kinematical quantity; damped vibrator; free body diagram

2016-09-10

陳奎孚，男，教授，從事力學和振動的教學研究,chenkuifu@cau.edu.cn。

陳奎孚,何坤娜. 力學分析中的正號與負號[J]. 物理與工程，2017，27(2)：15-21.