t-Copula-GARCH模型在滬深市場聯動風險測算中的應用研究
——基于擬蒙特卡羅模擬方法

劉 新，王福豪

(重慶理工大學 經濟金融學院， 重慶 400054)

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t-Copula-GARCH模型在滬深市場聯動風險測算中的應用研究
——基于擬蒙特卡羅模擬方法

劉 新，王福豪

(重慶理工大學 經濟金融學院， 重慶 400054)

為測算滬深兩市聯動風險，以上證指數和深證成指收益率數據為研究對象。首先，根據Copula建模思想，利用GARCH(1,1)-t模型擬合滬深市場波動特征，利用t-Copula函數擬合滬深市場聯動風險特征。進而利用擬蒙特卡羅方法模擬滬深股指組合未來收益率序列，測算滬深市場聯動風險。實證結果表明：擬蒙特卡羅方法收斂速率快，模擬結果的精確性和穩定性較好。擬蒙特卡羅方法表現出的優勢可以幫助機構投資者有效管理市場風險，這對于機構投資者做出科學投資決策具有深遠意義。

機構投資者；聯動風險；Copula建模；擬蒙特卡羅模擬

伴隨當前一系列“黑天鵝”事件的發生，全球金融市場風險呈現出了新特征。金融市場風險復雜多變的特征又增加了投資機構對金融市場風險管理的難度。金融相關性分析是市場風險管理的關鍵問題。目前，在金融相關性分析領域，Copula理論發展較為成熟。根據Copula理論的建模思想，可以用Copula函數和各個風險因子的邊緣分布計算多個風險因子的聯合分布，在聯合分布的基礎上，計算多金融時間序列的在險價值，這為金融市場聯動風險測算提供了新的建模方法。

一、文獻綜述

Sklar于1959年首先提出Copula理論，并且指出，可以將一個聯合分布分解成K個邊緣分布和一個Copula函數,邊緣分布用來刻畫單項金融時間序列的變動情況，Copula函數理論上可以描述多變量金融時間序列的相關模式[1]。為推廣Copula理論，中外學者在理論和應用層面做出了諸多探討。其中Bouye等給出多元正態Copula函數形式和多元t-Copula函數形式[2]，這兩種分布函數形式都具有對稱性特征，但是t-Copula函數形式具有更厚的尾部，對多元資產序列的尾部相關性變化比較敏感，特別是能夠更好地刻畫金融市場的尾部相關性。隨著研究的不斷深入，Copula函數與ARCH類模型的結合成為研究投資組合風險的主要模型。Engle于1982年提出自回歸條件異方差(ARCH)模型用來刻畫金融時間序列的時變性和集聚特征[3]。Bollerslev于1986年將ARCH模型推廣為GARCH模型[4]。ARCH模型和GARCH模型的重要區別在于前者體現出金融時間序列的短期記憶性，而后者體現出金融時間序列的長期記憶性。

國內張堯庭引入Copula函數應用于金融風險分析并且稱其為連接函數[5]，同時探討了應該選擇什么相關性指標度量金融風險。張明恒利用混合分布和Copula連接函數，給出風險價值的Copula計量模型和計算方法[6]。韋艷華等建立Copula-GARCH-t模型對上海股市各版塊指數收益率的條件相關關系進行分析，結果表明滬市各版塊之間存在很強的正相關關系，并且具有時變特征[7]。張自然等利用Copula模型研究人民幣匯率境內SPOT市場、境內DF市場和境外NDF市場之間的相依關系[8]。謝赤等建立Copula模型分析匯改后人民幣兌美元、歐元和日元匯率的相關關系，得出人民幣兌歐元與兌日元匯率存在正相關關系，具有金融傳染性特征[9]。高波等利用時變Copula建模方法分析不同市場的流動性相關關系，以研究系統流動性風險，結果表明t-Copula函數可以較好地描述不同市場流動性相關關系，回購市場對系統流動性風險的貢獻高于同業拆借市場[10]。歐陽資生等利用Frank Copula函數研究信用利差與市場風險的相依結構，得出了較好的結果[11]。

綜合以上國內外文獻，作為一種新興的多變量金融時間序列建模方法，Copula理論得到了相對完善的發展，t-Copula函數可以較好地刻畫金融市場聯動特征的尾部變化，GARCH-t模型可以較好地擬合金融時間序列的高峰厚尾、波動聚類和長記憶性等非線性特征。由此，為應對“黑天鵝”事件對我國機構投資者管理滬深市場聯動風險能力的挑戰， 論文利用t-Copula-GARCH模型描述滬深金融市場聯動風險特征，進而利用隨機模擬方法測算滬深市場聯動風險。

由此，本文對滬深市場聯動風險進行測算。首先，利用GARCH(1,1)-t模型分別描述滬深市場的波動特征，進而利用t-Copula函數捕捉滬深市場聯動風險特征，同時得出滬深市場風險因子聯合分布函數，最后利用擬蒙特卡羅方法模擬滬深市場聯動風險并且對其進行測算。

圖1 蒙特卡羅隨機數

圖2 擬蒙特卡羅隨機數

二、金融市場聯動風險測算理論基礎

(一)市場聯動風險模型

1.風險因子波動模型

選擇合適的邊緣分布模型以刻畫金融時間序列的波動特征是利用Copula函數進行金融市場聯動風險建模的重要一步。鑒于上證指數和深證指數編制方法具有科學性，可以充分反映滬深金融市場的波動特征。本文利用邊緣分布模型擬合上證指數和深證指數金融時間序列，將滬深金融市場的波動特征充分反映在邊緣分布模型中。隨著我國金融市場的不斷發展，金融衍生品層出不窮，證券市場交易量空前增長，特別是在當前一系列“黑天鵝”事件的影響下，股指收益率序列多呈現高峰、厚尾、波動聚類和長記憶性等特征。t-GARCH模型可以較好地刻畫這些波動特征，特別是厚尾特征。針對金融時間序列的波動特征，本文建立t-GARCH模型刻畫股指收益率序列的波動特征，t-GARCH模型的表現形式如下：

Rnt=μn+εnt,t=1,2,…,T

(1)

(2)

(3)

2.市場聯動風險特征的描述

根據Copula建模思想，Copula函數反映多變量時間序列的相關結構特征，在建立金融市場聯動風險測算模型過程中，這種由Copula函數描述的市場相關結構表現為市場聯動特征。由于受到金融全球化趨勢、國際巨額游資以及國內金融改革措施不斷推進的影響，特別是一系列“黑天鵝”事件的影響，我國滬深金融市場聯動特征呈現高峰厚尾、時變波動特征。二元t-Copula函數具有較厚的尾部，對尾部變化較為敏感，可以迅速捕捉金融市場聯動風險的尾部變化特征。也就是說，二元t-Copula函數能夠較為準確地預測到當一個金融市場出現上漲(下跌)時，另一個金融市場同時出現上漲(下跌)的可能性。由此，本研究結合t-Copula函數在捕捉金融市場尾部變化時的優勢，利用t-Copula函數對滬深金融市場聯動特征進行充分描述。

二元t-Copula函數分布函數和密度函數的表現形式如下：

(4)

(5)

3.市場聯動風險模型擬合檢驗

學者大多選擇AIC指標和平方歐氏距離來判斷Copula函數擬合相關模式的優劣程度。AIC的計算方法可表示為:

AIC=-2L+2n

(6)

其中,L表示極大似然函數值，n表示待估參數個數，AIC值越小表示模型擬合程度越好。

平方歐氏距離的計算公式可表示為：

(7)

其中，ui和vi分別表示上證指數和深證成指的經驗分布函數，C′(ui,vi)為經驗Copula函數，C(ui,vi)為Copula函數的估計值。d2值越小，Copula函數的擬合效果越好。

(二)市場聯動風險測算原理

論文利用擬蒙特卡羅模擬方法生成隨機數，模擬滬深股指序列的未來收益率。然而這些隨機數是一種理想化的序列，因此，需要對隨機數序列進行轉化，以服從t-Copula-GARCH市場聯動風險模型假設。從理論上分析，利用隨機數模擬的步驟如下：

第一步，生成兩個相互獨立的隨機數u和w。

第三步，重復上述步驟k次，可得到服從模型假設的兩個隨機數序列uk×1和vk×1，其中(u,v)～C(u,v)。可以根據模擬次數的需要變動k值。以模擬1 000次為例,利用擬蒙特卡羅模擬方法生成的隨機數經過轉換后的散點圖如圖3所示。圖3表示利用擬蒙特卡羅模擬方法生成的隨機數轉換后的撒點圖比較均勻。

圖3 擬蒙特卡羅隨機數轉換

三、滬深市場聯動風險測算實證過程及結果分析

(一)數據描述性分析

本文選取上證指數(簡稱SH)和深證成指(簡稱SZ)為研究對象，選擇時間段為2010年1月4日至2016年8月22日，共1 612個數據。定義收益率Rt=ln(Pt)-ln(Pt-1)。對兩個收益率序列進行描述性統計，結果如表1。表1括號內為相應統計量的概率值。

從上證指數和深證成指收益率的描述性統計可以看出，這兩個指數收益率序列均成右偏特征，它們的峰度值都大于3，說明上證指數和深證成指收益率序列都不服從正態分布。從ADF值可以看出，上證指數和深證成指收益率序列不存在單位根。

從圖4和圖5可以看出，上證指數和深證成指收益率序列具有明顯的ARCH效應，即一個大的波動后面會有很多大的波動，一個小的波動后面會有很多小的波動。結合表1的描述性統計特征，上證指數和深證成指收益率序列具有左偏、高峰、后尾特征。

(二)滬深市場波動特征

GARCH(1,1)模型可以刻畫金融時間序列的高峰、厚尾、波動聚類和偏斜等異常波動情況，模型殘差服從t分布的假設更符合當前滬深股市的波動情況。因此，本文建立GARCH(1,1)-t模型描述上證指數和深證成指收益率序列的邊緣分布波動特征。GARCH(1,1)-t模型參數估計結果如表2所示。

根據t檢驗的結果，GARCH(1,1)-t模型對上證指數和深證成指的股指收益率序列擬合較好。由表2得出兩個指數收益率序列的自由度是不相等的，上證指數的自由度小于深證成指的自由度，這表明上證指數收益率序列的分布特征具有更厚的尾部，出現極端事件的概率較大。

表1 SH和SZ的描述性統計結果

圖4 上證指數收益率序列波動圖像

注：括號內為相應參數估計值的t統計量，***、**、*分別表示在99%、95%、90%置信水平上顯著。

(三)滬深市場聯動風險特征分析

表2中的K-S統計量及其概率值是根據對原序列殘差進行概率積分變換然后進行K-S檢驗，檢驗序列是否服從(0,1)均勻分布得到的。對GARCH(1，1)-t模型做殘差自相關檢驗，殘差自相關如圖6和圖7。圖6和圖7表明兩股指收益率序列的殘差不存在自相關。K-S統計量及其概率值表明兩個序列服從(0,1)均勻分布，并且不存在自相關，可以建立t-Copula函數模型。t-Copula函數的參數估計結果如表3所示。

圖6 SH殘差自相關

圖7 SZ殘差自相關

參數平方歐式距離(d2)AICt-Copulaρ0.93430.0153-11.5640ν4.1308

t-Copula函數對市場聯合風險的尾部變化比較敏感，可以較好捕捉金融資產相關結構的尾部特征。t-Copula函數在擬合上證指數和深證成指收益率序列的相關結構時表現出來的優勢表明滬深兩市股指收益率的波動特征呈現厚尾特征，并且基于Copula理論的相關性指標ρ的估計值接近于1，說明滬深股市的正相關性較強，協同運動特征明顯。這種波動特征反映在現實經濟交易中表現為，當上證指數出現上漲或下跌時深證成指出現上漲或下跌的概率較大，特別是在極端事件爆發時，滬深兩市之間波動傳導迅速。

(四)模擬結果分析

在得出基于滬深兩市指數收益率的聯合分布模型及其特征后，基于t-Copula-GARCH(1,1)模型，本文利用擬蒙特卡羅方法模擬滬深指數收益率序列的未來收益率變動情況，測算滬深市場聯動風險。本文首先根據“失敗頻率檢驗法”求出模擬次數在300次、500次、700次、900次、1 000 次的情況下，分別在不同置信水平上的失敗次數可接受區間，并且統計出利用擬蒙特卡羅方法在不同模擬次數和置信水平下的模擬在險價值失敗次數，結果如表4和表5所示。

表4 不同置信水平上的失敗次數可接受區間

表5 擬蒙特卡羅方法模擬在險價值的失敗次數

對比表4和表5可以看出，利用擬蒙特卡羅方法測算結果的失敗次數都落在了可接受區間內，這表明擬蒙特卡羅方法通過了回測檢驗，模擬精確度較高。從圖8—圖11可以看出，在90%、95%、99%和99.5%置信水平上，利用擬蒙特卡羅模擬方法分別在模擬次數900次、3 000次、5 000次和1 000次時，滬深市場聯動風險測算結果已經開始收斂，收斂速率較快。

圖8 90%置信水平上結果統計

圖9 95%置信水平上結果統計

圖10 99%置信水平上測算統計

圖11 99.5%置信水平上結果統計

四、結語

隨著金融全球化發展，金融市場波動特征發生巨大變化，特別是當前伴隨著一系列“黑天鵝”事件的發生，對機構投資者測算金融市場聯動風險的精確性和高效性提出了更高的要求。為測算滬深金融市場聯動風險，本文建立t-Copula-GARCH(1,1)模型描述滬深金融市場波動特征和相關結構特征，進而利用擬蒙特卡羅模擬方法測算滬深金融市場聯動風險。測算結果表明：擬蒙特卡羅模擬方法的收斂速率快，模擬結果都通過了回測檢驗，精確度高，這為機構投資者測算金融市場聯動風險提供了一種科學的參考方法。

[1] SKLAR A.Fonctions De Repartition a n Dimensions et Leurs Marges[J].Publication De l’Institut De Statistique de l’Universite De Pairs,1959,8:229-231.

[2] BOUYE E,DURRLEMAN V,NIKEGHBALI A et al.Copulas for finance:A reading guide and some applications[Z].Financial Econometrics Research Centre,City University Business School,London,2000.

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[4] BOLLERSLEV T.Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity[J].Journal of Economics,1986,31:307-327.

[5] 張堯庭.連接函數技術與金融風險分析[J].統計研究，2002(4)：48-51.

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[7] 韋艷華，張世英.金融市場的相關性分析——Copula-GARCH模型及其應用[J].系統工程，2004，22(4)：7-12.

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[12]向為民,張箭.蒙特卡洛模擬法在項目評估風險分析中的應用——以青島海信房地產目標成本測算工具表為例[J].重慶理工大學學報(社會科學),2015(7):48-52.

(責任編輯 魏艷君)

Application Research of t-Copula-GARCH Model on the Calculation of Shanghai and Shenzhen Markets Linkage Risk: Based on Quasi Monte Carlo Simulation Method

LIU Xin, WANG Fuhao

(School of Economics and Finance, Chongqing University of Technology, Chongqing 400054, China)

In order to calculate the financial market linkage risk of Shanghai and Shenzhen, this paper selects the return rate of Shanghai Composite Index and SZSE Component Index as research object. Firstly, according to Copula model construction theory, this paper uses the GARCH-t model and t-Copula function respectively to fit the volatility of Shanghai and Shenzhen stock index portfolio return rate and the characteristics of Shanghai and Shenzhen financial market linkage risk. Further, it applies Quasi Monte Carlo simulation method to simulate the future return rate series of Shanghai Composite Index and SZSE Component Index, and calculates the financial market linkage risk of Shanghai and Shenzhen. Empirical results show that the convergence rate of the Quasi Monte Carlo simulation method is fast, and the stability and accuracy of the result simulated by Quasi Monte Carlo are more stable and precise. The advantages of Quasi Monte method can help institutional investors to manage financial market risk effectively, which has a profound significance for institutional investors to make scientific investment decisions.

institutional investor; financial market linkage risk; copula model construction; Quasi Monte Carlo simulation method

2016-10-15

重慶理工大學研究生創新基金重點項目“基于擬蒙特卡羅方法的Copula-GARCH模型在金融風險計量中的應用研究”(YCX2015106)

劉新(1970—)，女，重慶人，教授，博士，研究方向：微觀金融、財政學。

劉新，王福豪.t-Copula-GARCH模型在滬深市場聯動風險測算中的應用研究——基于擬蒙特卡羅模擬方法[J].重慶理工大學學報(社會科學)，2017(6):36-43.

format：LIU Xin,WANG Fuhao.Application Research of t-Copula-GARCH Model on the Calculation of Shanghai and Shenzhen Markets Linkage Risk:Based on Quasi Monte Carlo Simulation Method[J].Journal of Chongqing University of Technology(Social Science)，2017(6):36-43.

10.3969/j.issn.1674-8425(s).2017.06.006

F830.9

A

1674-8425(2017)06-0036-08