使用全場數據確定光彈材料條紋值的方法

劉曉蒙+戴曙光

摘要： 光彈性實驗中，材料條紋值是聯系光學現象和材料應力的唯一參數，因而在每次實驗前計量材料條紋值是非常必要的。條紋值的精確性與選取的實驗計量點有密切的關聯，同時應考慮殘余雙折射和殘余應力的影響。根據實驗獲取的全場數據，在試件中選取多個點構成超定方程組，結合相移技術，運用最小二乘法確定材料條紋值。這種方法不僅能夠確定條紋值，而且可以得到試樣中殘余應力的參數。最后，通過聚碳酸酯受壓圓盤實驗，驗證了新方法的可行性。

關鍵詞： 光彈性法； 條紋值； 等差線； 相移法

中圖分類號： O 348.1 文獻標志碼： A doi： 10.3969/j.issn.1005-5630.2017.03.006

Evaluation of material fringe value using whole field data in photoelasticity

LIU Xiaomeng， DAI Shuguang

（School of Optical- Electrical and Computer Engineering， University of Shanghai for Science and Technology， Shanghai 200093， China）

Abstract： In the photoelastic experiment，material fringe value is the only parameter which relates the optical phenomena to the material stresses.It is necessary to calibrate each specimen at the time of experiment.The solutions of fringe value have a strong bearing on the choice of the data points and the effect of residual birefringence should be considered.This paper takes several points in the whole field to obtain an over determined set of equations，using the least squares method combined with phase shifting technology to evaluate fringe value.In this way，not only the fringe order is calculated but also the residual birefringence or residual stress parameters of specimen are obtained.The usefulness of this method is demonstrated by analyzing a circular disc subjected to compressive loading.

Keywords： photoelasticity； fringe value； isochromatic； phase shifting

引 言

光彈性法是實驗力學的一個分支[1]，廣泛應用在全場應力的測量和分析。通過光彈實驗，可以直接獲取平面應力的方向和兩主應力之差，分別稱為等傾線和等差線[2]。光彈實驗在平面偏振光場或圓偏振光場下進行。平面偏振光場下得到的數據，是等傾線和等差線相互疊加的圖像，而在圓偏振光場下，等傾線消失，圖像僅包含等差線[3-4]。應用圖像處理技術[5]和相移技術[6-9]，可以獲取全場的等傾線和等差線。實驗得到的等傾線和等差線都是包裹的型式[10]，為得到等傾線角度和等差線條紋級數，需進行解包裹處理[11-14]。

材料條紋值是光彈性實驗中非常重要的參數，它是聯系材料應力和光學現象唯一的參數，表示材料的靈敏度。條紋值與材料和光源的波長有關，而與試件的形狀、尺寸、加載方式無關。材料的細微改變，也將引起條紋值變化。因此，在每次光彈性實驗前，計量條紋值是十分必要的。傳統方法是由補償法得出計量試件中某點的等差條紋級數，然后計算得到條紋值。如此得出的條紋值，容易受選擇點的影響，數據并不精確。本文根據計量試件的全場數據，選取若干個點，并考慮殘余應力的影響，結合相移技術，運用最小二乘法確定材料條紋值，再由實驗驗證該方法的可行性。 1 條紋值

對于各向同性的透明非晶體材料，在受力產生應力時，其特性如同各向異性的晶體，會產生雙折射現象。這種折射是暫時的，當應力解除后也隨即消失，被稱為人工雙折射。晶體中某一點的光學性質可以用折射率橢球來表示，橢球的三個主軸為該點的光學主軸，用方程表示為

式中：N1，N2，N3為主折射率。在三相應力狀態下，任意斜截面的應力可以用應力橢球表示，橢球的三個主軸為該點的應力主軸，用方程表示為

式中：σ1，σ2，σ3為主應力。根據式（1）、式（2）可以得出應力橢球和折射率橢球的主軸是重合的。Maxwell在1852年推導并經實驗證明，在平面應力（無σ3）狀態下，主折射率與其對應的主應力在數值上存在如下關系

式中：S為光程差；d為試件的厚度；C為材料的相對應力光性系數[1]。對于特定入射光波長λ，相位差

將式（3）代入式（4）得

式中：f=λC，稱為材料條紋值，是由材料和光源波長決定的常數，單位為N/mm。

式（3）、式（5）就是著名的平面應力光性定律。其物理意義是，當一束平面偏振光垂直入射平面應力試件時，必沿該點的主應力方向分解為兩列平面偏振光，由于它們在試件內的傳播速度不同，通過模型后產生的光程差與模型的厚度d及主應力差（σ1-σ2）成正比。

確定材料條紋值，是光彈性法中非常重要的基礎工作，因為它是聯系力學和光學的唯一參數。條紋值可以通過有理論解的試件標定出，如徑向受壓的圓盤，以圓心為坐標原點，根據彈性力學，其x方向的正應力分量σx，y方向的正應力分量σy和剪應力應力分量τxy可表示為

式中：R為圓盤的半徑；D為直徑； P為徑向壓力。r21=x2+（R-y）2，r22=x2+（R+y）2。根據應力圓（莫爾圓）得出主應力之差為

在圓心處，式（7）可改寫為

令n為等差線條紋級數，結合暗場下的等差線公式

在圓心處的條紋值可表示為

式（10）是確定條紋值的傳統方法，采用Tardy補償法可以得到圓心處的等差線條紋級數。通常選取多個加載力P，根據各個力得到f，對其求平均值得出材料條紋值。

2 相移法獲取等差線

Tardy補償法是一種逐點獲取小數級等差級數的方法，雖然精度較高但操作費時、費力，每次只能得到一個點的等差級數。光彈性實驗中，相移法是根據空間域光強的變化，分解出全場等傾線和等差線，具有操作簡便、精度高的優點[15]。為得到小數級的等差級數，本文在圓偏振光場下運用五步相移法[3]，采集五幅圖像求出等差級數。圖1是圓偏振光場的示意圖。

運用Jones矩陣，當α=λ/2，ξ=3λ/4，其出射光強可表示為

式中：ib為背景光強度；ia為入射光的強度；θ為等傾線角度；α 和βi分別是起偏鏡偏振軸和檢偏鏡偏振軸與x軸的夾角；ξ和Φi分別是第一個1/4波片慢軸和第二個1/4波片慢軸與x軸的夾角；δ為相位差。按照表1中偏振片和1/4波片角度的安排，等差線相位由式（12）給出

與其他相移法相比，五步相移法不僅消除了背景光的影響，而且計算等差線相位時，不需要先計算等傾角[15]。

3 最小二乘法計算條紋值

光彈性法是全場應力分析法，傳統方法僅根據受壓圓盤的中心點確定條紋值，顯得不夠全面、精準。Coker等在其研究論文中指出：受載荷傳遞的影響，圓盤中心點的條紋值比理論值小4%，因而根據中心點的數據計算條紋值并不科學[16]。研究表明，在圓盤的0.3～0.5倍半徑的區域內，實驗得到的條紋值與理論值非常接近[17]，本文選取此區域內的點計算條紋值。

通常情況下，用于光彈實驗的試件，不可避免的存在殘余雙折射或殘余應力。比如聚碳酸酯材料制成的試件，是由擠壓成型的板材切割得到的，由于擠壓成型的板材存在較大的單向殘余應力，切割后的試件必須經退火去應力后才能用于光彈實驗，然而退火后的試件仍有可能存有殘余應力，因此，在確定條紋值時，考慮殘余雙折射的影響是必要的。將殘余雙折射用條紋級數的形式，表示為坐標的線性函數

結合式（9），試件的條紋級數改寫為

對光彈性實驗來說，nm 是檢測出的已知量，Sm可由式（7）得出，因此式（15）中的未知量有4個，即1/f、A、B和C。理論上，在試樣中選取4個點就可以求出材料條紋值，但考慮到實驗數據的精確性，可以選取多于4個點，構成超定方程組求解條紋值。通常使用最小二乘法解超定方程組，設采樣點數為M，誤差方程可寫為

最小二乘法算子要求

由上式可得出方程組：

用矩陣變換后寫為

可簡化為

4 實 驗

為驗證上述方法確定材料條紋值的有效性，本文選取光彈性實驗中的典型試樣Symbol～B@徑向受壓圓盤，進行實驗。圓盤直徑35 mm，厚度4 mm，材料為聚碳酸酯。實驗圓盤置于可調節下壓力的加力架內，受力部位安裝有壓力傳感器，可以實時讀取壓力數值，實驗時通過旋轉螺桿緩慢加力。圖2為五步相移法獲取的圖像，光源波長λ=632.8 nm，加載壓力為215.6 N。

通過式（12）計算出全場等差線，如圖3（a）所示，此時得到的數據是等差線的相位，經解包裹運算，可以得出等差級數。本文選取0.3 ～0.5倍半徑的區域計算條紋值，有效區域為圖3（b）中的黑色圓環區域。在有效區域內隨機選取24個點，構成超定方程組，由式（19）計算得出f=7.801 0，A=0.004 6，B=-0.005 1，C=-0.040 7。材料條紋值f在合理的區間內，三個殘余雙折射系數值都比較小，說明試樣中的殘余應力較小。實驗證明，最小二乘法能夠確定光彈性材料條紋值。

5 結 論

進行光彈性實驗時，確定材料的條紋值后，才能將實驗獲得的光學數據轉換為力學數據。傳統方法采用單點計算條紋值，使得出的數據受選取點的影響，不能精確反應條紋值。本文根據受壓圓盤的全場數據，在理想區域隨機選取多點，并考慮殘余應力的影響，構成超定方程組，運用最小二乘法確定材料條紋值。對于等差線條紋級數的確定，傳統的Tardy逐點補償法非常繁瑣，文中使用五步相移法，容易得到全場等差條紋級數，不僅消除了背景光的影響，而且計算等差線時不涉及等傾角。最后應用本文所述的方法，對徑向受壓的聚碳酸酯圓盤進行實驗，實驗結果理想，既得出材料條紋值，又得到了殘余應力的參數。

參考文獻：

[1] 天津大學材料力學教研室光彈組.光彈性原理及測試技術[M].北京：科學出版社，1980：85127.

[2] LIU X M，DAI S G.Cubic polynomial curve-guided method for isochromatic determination in three-fringe photoelasticity[J].Chinese Optics Letters，2015，13（10）：101202.

[3] RAMESH K.Digital Photoelasticity：advanced techniques and applications[M].Berlin：Heidelberg Springer，2000：1040.