數(shù)學(xué)概念和定理的教學(xué)札記

曲秀英

[摘 要] 數(shù)學(xué)概念和定理的教學(xué)是高等數(shù)學(xué)教學(xué)的第一步，也是最重要的一步。因此數(shù)學(xué)概念和定理如何教學(xué)，是值得深入研究的一個課題。

[關(guān) 鍵 詞] 抓關(guān)鍵詞；實(shí)例引入；分解剖析；比較厘清

[中圖分類號] G642 [文獻(xiàn)標(biāo)志碼] A [文章編號] 2096-0603（2017）25-0176-01

數(shù)學(xué)概念和定理是數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)教師完成知識傳授的第一步，是學(xué)生數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)的基石。如果這一關(guān)把握不好，則其他教學(xué)內(nèi)容就成了無源之水，無本之木。對于這一點(diǎn)，每一個數(shù)學(xué)教師都有充分的認(rèn)識。因此，如何講解才能使學(xué)生正確迅速地掌握，就成為教師課堂教學(xué)的一個課題。本文依據(jù)自己的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，將概念和定理的教學(xué)劃分為四大類，并舉例說明：

一、抓關(guān)鍵詞

某些概念和定理敘述簡單，比較容易理解，學(xué)生自己看完就能明白。教師要做的是提醒學(xué)生抓住關(guān)鍵詞，理解寓意，將其記住或舉例說明即可。這樣的概念和定理有很多，在此就不一一列舉了。

二、實(shí)例引入

數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生和建立是數(shù)學(xué)發(fā)展的基礎(chǔ)和前提，數(shù)學(xué)研究中概念的建立要涉及其合理性和有用性，而教學(xué)過程中概念的建立則不涉及這一問題。教師只需將前人建立的概念講授給學(xué)生即可，但有些概念還必須要講清楚其建立過程。

通常這些概念的建立過程來源于具體實(shí)例，因此我們要將概念的引入過程講好，從而激發(fā)學(xué)生的興趣，并使之成為教學(xué)過程中生動有趣的部分。一般可以這樣進(jìn)行：提出具體問題，啟發(fā)學(xué)生研究該問題和以前知識的聯(lián)系和不同，不同點(diǎn)應(yīng)該如何解決？最后加以總結(jié)。

例，定積分的概念：求曲邊梯形的面積和變速直線運(yùn)動的路程。

分析：要求曲邊梯形的面積問題，梯形的一邊是彎曲的，如何解決？考慮到舊知識——矩形面積公式，若是曲邊梯形的曲邊變成直邊，則問題迎刃而解。因此引導(dǎo)學(xué)生思考這個問題：當(dāng)曲線段非常短時，將其近似地看作直線段。從這一點(diǎn)出發(fā)，我們采用分割、近似、求和、取極限來解決這一實(shí)際問題。再同樣分析變速直線的路程的解決方法，我們將共性的問題總結(jié)出來，撇掉實(shí)際意義，將其升華為一般概念。這樣，一個新的概念——定積分就被引入了。

三、分解剖析

有些概念，非常抽象，教師若是泛泛地講解，學(xué)生很難理解，從而導(dǎo)致理解和應(yīng)用上的困難，這時，可采用分解剖析法來講解。

例1：數(shù)列極限的“ε-N”定義

定義：給定數(shù)列{xn}，a是一個常數(shù)。？坌ε>0，？堝正整數(shù)N，當(dāng)n>N時，有xn-a<ε恒成立，則稱當(dāng)n→∞時，數(shù)列{xn}的極限為a。

分解剖析：（1）“？坌ε>0，”ε具有任意性和固定性。它是刻畫數(shù)列{xn}與常數(shù)a接近程度的，ε可以任意小。但xn接近于a是逐步實(shí)現(xiàn)的，即對于極限的某個時刻來說，ε又具有相對的固定性。ε一經(jīng)給出，就暫時固定下來，用于求出N。

（2）“？堝正整數(shù)N”表明N的存在性和不唯一性。N是用于標(biāo)志數(shù)列{xn}接近常數(shù)a的階段的。N一定存在。

（3）“當(dāng)n>N時，有xn-a<ε恒成立”是指數(shù)列中第N項(xiàng)以后的所有項(xiàng)與常數(shù)a之間的距離都小于前述的ε。

（4）由（3）找到了求N的方法。即解不等式，求出n，取n后面的任意正整數(shù)作為N。[1]

（5）從反面分析，可以舉反例說明。例如定義中缺少“任意”一詞，定義不成立；去掉中絕對值符號也不成立。

四、比較厘清

對于易混淆的概念和定理，這時首先要比較，指出相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，抓住其本質(zhì)。其次要厘清，主要是舉一些相似的例子，讓學(xué)生互相討論。這樣既調(diào)動了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，還對概念和定理的理解和掌握起到重要作用。

例1：定理：有界函數(shù)和無窮小的乘積仍然是無窮小和第一個重要極限公式。

比較：相同點(diǎn)——兩者皆含有三角函數(shù)；

不同點(diǎn)——第一個重要公式必須是0/0型未定式。

例2：牛頓萊布尼茲公式和無界函數(shù)廣義積分

比較：相同點(diǎn)——外形相同；

不同點(diǎn)——一個被積函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，另一個被積函數(shù)在閉區(qū)間上有無窮間斷點(diǎn)。

教師講解概念和定理的目的，是要讓學(xué)生知其然更知其所以然，會靈活掌握，舉一反三、融會貫通，具有創(chuàng)造性，所以根據(jù)不同情況選擇相應(yīng)的講授方法，使得學(xué)生能夠更好地學(xué)會、記住這些概念和定理，為能一步學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

彭輝.高等數(shù)學(xué)同步輔導(dǎo)（配同濟(jì)五版·上、下冊合訂）[M].新華出版社，2012-07.